2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第九章 9.7拋物線-教師版

1、 拋物線知識(shí)梳理1拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)f)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py (p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)f到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)o(0,0)對稱軸y0x0焦點(diǎn)ffff離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yrx0，yry0，xry0，xr開口方向向右向左向上向下【知識(shí)拓展】1拋物線y22px (p>0)上一點(diǎn)p(x0，y0)到焦點(diǎn)f的距離|pf|x0，也稱為拋物線的焦半徑2y2ax的焦

2、點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.3設(shè)ab是過拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)f的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長|ab|x1x2p(為弦ab的傾斜角)(3)以弦ab為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(4)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦例題解析題型一 基礎(chǔ)【例1】判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線(×)(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，0)，準(zhǔn)線方程是x.(×)(3)拋物線既

3、是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形(×)(4)ab為拋物線y22px(p>0)的過焦點(diǎn)f(，0)的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|ab|x1x2p.()【例2】1拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()a(0,2) b(0,1)c(2,0) d(1,0)答案d解析對于拋物線y2ax，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，對于y24x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)2過拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于p(x1，y1)，q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|pq|等于()a9 b8 c7 d6答案b解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為f(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|pq|p

4、f|qf|x11x21x1x228.3設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)q，若過點(diǎn)q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()a. b2,2c1,1 d4,4答案c解析q(2,0)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k2·4k264(1k2)0，解得1k1.4已知拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2y26x70相切，則p的值為_答案2解析拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線為x，圓x2y26x70，即(x3)2y216，則圓心為(3,0)，半徑為4.又因?yàn)閽佄锞€y22px(p>0

5、)的準(zhǔn)線與圓x2y26x70相切，所以34，解得p2.題型二拋物線的定義及應(yīng)用【例3】(1)已知f是拋物線y2x的焦點(diǎn)，a，b是該拋物線上的兩點(diǎn)，|af|bf|3，則線段ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()a. b1 c. d.(2)設(shè)p是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若b(3,2)，則|pb|pf|的最小值為_答案(1)c(2)4解析(1)|af|bf|xaxb3，xaxb，線段ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.(2)如圖，過點(diǎn)b作bq垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)q，交拋物線于點(diǎn)p1，則|p1q|p1f|.則有|pb|pf|p1b|p1q|bq|4.即|pb|pf|的最小值為4.【同步練習(xí)】1若將本例(2)中的b點(diǎn)坐標(biāo)改為(

6、3,4)，試求|pb|pf|的最小值解由題意可知點(diǎn)(3,4)在拋物線的外部|pb|pf|的最小值即為b，f兩點(diǎn)間的距離，|pb|pf|bf|2，即|pb|pf|的最小值為2.2若將本例(2)中的條件改為：已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1d2的最小值解由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0)點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離d1|pf|1，所以d1d2d2|pf|1.易知d2|pf|的最小值為點(diǎn)f到直線l的距離，故d2|pf|的最小值為3，所以d1d2的最小值為31.思維升華與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)由于

7、拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑3、設(shè)p是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)p到點(diǎn)a(1,1)的距離與點(diǎn)p到直線x1的距離之和的最小值為_答案解析如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知：點(diǎn)p到直線x1的距離等于點(diǎn)p到f的距離于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)p，使點(diǎn)p到點(diǎn)a(1,1)的距離與點(diǎn)p到f(1,0)的距離之和最小，顯然，連接af與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)最小值為.題型三拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例4】已知雙曲線c1：1

8、(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線c2：x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線c1的漸近線的距離為2，則拋物線c2的方程為()ax2y bx2ycx28y dx216y答案d解析1的離心率為2，2，即4，3，.x22py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，1的漸近線方程為y±x，即y±x.由題意得2，p8.故c2的方程為x216y.命題點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)【例5】已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為f，a(x1，y1)，b(x2，y2)是過f的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：(1)y1y2p2，x1x2；(2)為定值；(3)以ab為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線

9、相切證明(1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)由題意可設(shè)直線方程為xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)則y1，y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以y1y2p2.因?yàn)閥2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因?yàn)閤1x2，x1x2|ab|p，代入上式，得(定值)(3)設(shè)ab的中點(diǎn)為m(x0，y0)，分別過a，b作準(zhǔn)線的垂線，垂足為c，d，過m作準(zhǔn)線的垂線，垂足為n，則|mn|(|ac|bd|)(|af|bf|)|ab|.所以以ab為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切思維升華(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，

10、在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此【同步練習(xí)】(1)以拋物線c的頂點(diǎn)為圓心的圓交c于a，b兩點(diǎn)，交c的準(zhǔn)線于d，e兩點(diǎn)已知|ab|4，|de|2，則c的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()a2 b4 c6 d8(2)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為f，已知點(diǎn)a、b為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足afb120°.過弦ab的中點(diǎn)m作拋物線準(zhǔn)線的垂線mn，垂足為n，則的最大值為()a. b1 c. d2答案(1)b(

11、2)a解析(1)不妨設(shè)拋物線c：y22px(p>0)，則圓的方程可設(shè)為x2y2r2(r>0)，如圖，又可設(shè)a(x0,2)，點(diǎn)a(x0,2)在拋物線y22px上，82px0，點(diǎn)a(x0,2)在圓x2y2r2上，x8r2，點(diǎn)d在圓x2y2r2上，52r2，聯(lián)立，解得p4，即c的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p4，故選b.(2)設(shè)|af|a，|bf|b，分別過a、b作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為q、p，由拋物線的定義知，|af|aq|，|bf|bp|，在梯形abpq中，2|mn|aq|bp|ab.|ab|2a2b22abcos 120°a2b2ab(ab)2ab.又ab()2，所以(ab)2ab

12、(ab)2(ab)2(ab)2，得到|ab|(ab)，所以，即的最大值為.題型四直線與拋物線的綜合問題命題點(diǎn)1直線與拋物線的交點(diǎn)問題【例6】已知拋物線c：y28x與點(diǎn)m(2,2)，過c的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與c交于a、b兩點(diǎn)若·0，則k_.答案2解析拋物線c的焦點(diǎn)為f(2,0)，則直線方程為yk(x2)，與拋物線方程聯(lián)立，消去y化簡得k2x2(4k28)x4k20.設(shè)點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)則x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因?yàn)?#183;(x12，y12)·(x22，y22)(x12)(x22)

13、(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，將上面各個(gè)量代入，化簡得k24k40，所以k2.命題點(diǎn)2與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題【例7】已知拋物線c：y22x的焦點(diǎn)為f，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交c于a，b兩點(diǎn)，交c的準(zhǔn)線于p，q兩點(diǎn)(1)若f在線段ab上，r是pq的中點(diǎn)，證明：arfq；(2)若pqf的面積是abf的面積的兩倍，求ab中點(diǎn)的軌跡方程(1)證明由題意知，f，設(shè)l1：ya，l2：yb，則ab0，且a，b，p，q，r.記過a，b兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.由于f在線段ab上，故1ab0.記ar的斜率為k1，fq的斜率為k2，則

14、k1bk2.所以arfq.(2)解設(shè)過ab的直線為l，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為d(x1,0)，則sabf|ba|fd|ba|，spqf.由題意可得|ba|，所以x11，x10(舍去)設(shè)滿足條件的ab的中點(diǎn)為e(x，y)當(dāng)ab與x軸不垂直時(shí)，由kabkde可得(x1)而y，所以y2x1(x1)當(dāng)ab與x軸垂直時(shí)，e與d重合，此時(shí)e點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以，所求軌跡方程為y2x1(x1)思維升華(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不過焦點(diǎn)

15、，則必須用一般弦長公式(3)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解【同步練習(xí)】1、已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為f，直線l過點(diǎn)m(4,0)(1)若點(diǎn)f到直線l的距離為，求直線l的斜率；(2)設(shè)a，b為拋物線上兩點(diǎn)，且ab不垂直于x軸，若線段ab的垂直平分線恰過點(diǎn)m，求證：線段ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值(1)解由已知，得x4不合題意，設(shè)直線l的方程為yk(x4)，由已知，得拋物線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，因?yàn)辄c(diǎn) f到直線l的距離為，所以，解得k±，所以直線l的斜率為±.(2)證

16、明設(shè)線段ab中點(diǎn)的坐標(biāo)為n(x0，y0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，因?yàn)閍b不垂直于x軸，則直線mn的斜率為，直線ab的斜率為，直線ab的方程為yy0(xx0)，聯(lián)立方程消去x得(1)y2y0yyx0(x04)0，所以y1y2，因?yàn)閚是ab中點(diǎn)，所以y0，即y0，所以x02，即線段ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2.2、已知拋物線c：ymx2(m>0)，焦點(diǎn)為f，直線2xy20交拋物線c于a，b兩點(diǎn)，p是線段ab的中點(diǎn)，過p作x軸的垂線交拋物線c于點(diǎn)q.(1)求拋物線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線c上有一點(diǎn)r(xr ,2)到焦點(diǎn)f的距離為3，求此時(shí)m的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使abq是以

17、q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由思維點(diǎn)撥(3)中證明·0.規(guī)范解答解(1)拋物線c：x2y，它的焦點(diǎn)f(0，)3分(2)|rf|yr，23，得m.5分(3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20，依題意，有(2)24×m×(2)>0m>.7分設(shè)a(x1，mx)，b(x2，mx)，則(*)p是線段ab的中點(diǎn)，p(，)，即p(，yp)，q(，)9分得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在實(shí)數(shù)m，使abq是以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則·0，即(x1)·(x2)(mx)(mx)0，12分結(jié)合(*)化簡得40

18、，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，)存在實(shí)數(shù)m2，使abq是以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形14分解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程；第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出>0時(shí)參數(shù)范圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點(diǎn))；第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果；第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況.課后練習(xí)1若拋物線yax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，則a等于()a1 b. c2 d.答案d解析因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，則有1，a，故選d.2已知拋物線c的頂點(diǎn)是原點(diǎn)o，

19、焦點(diǎn)f在x軸的正半軸上，經(jīng)過f的直線與拋物線c交于a、b兩點(diǎn)，如果·12，那么拋物線c的方程為()ax28y bx24ycy28x dy24x答案c解析由題意，設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，直線方程為xmy，聯(lián)立消去x得y22pmyp20，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y1y22pm，y1y2p2，得·x1x2y1y2(my1)·(my2)y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212p4，即拋物線c的方程為y28x.3已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于a、b兩點(diǎn)，若線段ab的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物

20、線的準(zhǔn)線方程為()ax1 bx1 cx2 dx2答案b解析y22px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為yx，即xy，將其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y1y22p，p2，拋物線的方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1.4已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)p到直線l1和l2的距離之和的最小值為()a. b. c3 d2答案d解析直線l2：x1是拋物線y24x的準(zhǔn)線，拋物線y24x的焦點(diǎn)為f(1,0)，則點(diǎn)p到直線l2：x1的距離等于|pf|，過點(diǎn)f作直線l1：4x3y60的垂

21、線，和拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)p，所以點(diǎn)p到直線l1：4x3y60的距離和直線l2：x1的距離之和的最小值就是點(diǎn)f(1,0)到直線l1：4x3y60的距離，所以最小值為2，故選d.5過拋物線y28x的焦點(diǎn)f的直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)c，若|af|6，則的值為()a. b. c. d3答案d解析設(shè)a(x1，y1)(y1>0)，b(x2，y2)，c(2，y3)，則x126，解得x14，則y14，則直線ab的方程為y2(x2)，令x2，得c(2，8)，聯(lián)立解得或則b(1，2)，|bf|123，|bc|9，3，故選d.6.已知直線yk(x2)(k>0)與拋物線c：y28x相交

22、于a，b兩點(diǎn)，f為c的焦點(diǎn)，若|fa|2|fb|，則k的值為()a. b. c. d.答案c解析拋物線c的準(zhǔn)線為l：x2，直線yk(x2)恒過定點(diǎn)p(2，0)，如圖，過a，b分別作aml于m，bnl于n，由|fa|2|fb|，得|am|2|bn|，從而點(diǎn)b為ap的中點(diǎn)，連接ob，則|ob|af|，所以|ob|bf|，從而點(diǎn)b的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)b的坐標(biāo)為(1,2)，所以k，故選c.7設(shè)f為拋物線c：y23x的焦點(diǎn)，過f且傾斜角為30°的直線交c于a，b兩點(diǎn)，則|ab|_.答案12解析焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為，方法一直線ab的斜率為，所以直線ab的方程為y，即yx，代入y23x，得x2x0.設(shè)a(x

23、1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，所以|ab|x1x2p12.方法二由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得|ab|12.8已知拋物線c：y22px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過m(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)a，與c的一個(gè)交點(diǎn)為b，若，則p_.答案2解析如圖， 由ab的斜率為，知60°，又，m為ab的中點(diǎn)過點(diǎn)b作bp垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)p，則abp60°，bap30°，|bp|ab|bm|.m為焦點(diǎn)，即1，p2.9已知橢圓e的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，e的右焦點(diǎn)與拋物線c：y28x的焦點(diǎn)重合，a，b是c的準(zhǔn)線與e的兩個(gè)交點(diǎn)，則|ab|_.答案6解析拋物線y28x的焦點(diǎn)為

24、(2,0)，準(zhǔn)線方程為x2.設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，由題意，c2，可得a4，b216412.故橢圓方程為1.把x2代入橢圓方程，解得y±3.從而|ab|6.10.設(shè)直線l與拋物線y24x相交于a，b兩點(diǎn)，與圓(x5)2y2r2(r>0)相切于點(diǎn)m，且m為線段ab的中點(diǎn)若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是_答案(2,4)解析如圖，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)，則兩式相減得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條當(dāng)k存在時(shí)，x1x2，則有·2，又y1y22y0，所以y0k2.由c

25、mab，得k·1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即m必在直線x3上將x3代入y24x，得y212，則有2<y0<2.因?yàn)辄c(diǎn)m在圓上，所以(x05)2yr2，故r2y4<12416.又y4>4(為保證有4條，在k存在時(shí)，y00)，所以4<r2<16，即2<r<4.11已知過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|ab|9.(1)求該拋物線的方程；(2)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，c為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值解(1)直線ab的方程是y2(x)，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20.所以x1x2，由拋物線定義得|ab|x1x2pp9，所以p4，從而拋物線方程為y28x.(2)由于p4，則4x25pxp20，即x25x40，從而x11，x24，于是y12，y24，從而b(4,4)設(shè)c(x3，y3)，則(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，即2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2.12拋物線e：x22py(p>0)的焦點(diǎn)為f，以a(x1，y1)(x10)為直角頂點(diǎn)的等腰直角abc的三個(gè)頂點(diǎn)a，b，c均在拋物線e上(1)過q(0，3)作拋物線e的切線l，切點(diǎn)為r，點(diǎn)f