2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）考點(diǎn)02 充要條件與量詞（解析版）

1、考點(diǎn)02 充要條件與量詞【命題解讀】充要條件.高考對(duì)命題及其關(guān)系和充分條件、必要條件的考查，主要命題形式是選擇題.由于知識(shí)載體豐富，因此題目有一定綜合性，屬于中、低檔題命題重點(diǎn)主要集中在以函數(shù)、方程、不等式、立體幾何線(xiàn)面關(guān)系、數(shù)列等為背景的充分條件和必要條件的判定關(guān)于存在性命題與全稱(chēng)命題，一般考查命題的否定【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 1、 充分條件與必要條件（1）充分條件、必要條件與充要條件的概念若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件pq且qpp是q的必要不充分條件pq且qpp是q的充要條件pqp是q的既不充分也不必要條件pq且qp（2）從集合的角度：若條件p，q以集合的形式

2、出現(xiàn)，即ax|p(x)，bx|q(x)，則由ab可得，p是q的充分條件，請(qǐng)寫(xiě)出集合a，b的其他關(guān)系對(duì)應(yīng)的條件p，q的關(guān)系提示若ab，則p是q的充分不必要條件；若ab，則p是q的必要條件；若ab，則p是q的必要不充分條件；若ab，則p是q的充要條件；若ab且ab，則p是q的既不充分也不必要條件2、全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)命題(1)全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫作全稱(chēng)量詞(2)全稱(chēng)命題：含有全稱(chēng)量詞的命題(3)全稱(chēng)命題的符號(hào)表示：形如“對(duì)m中的任意一個(gè)x，有p(x)成立”的命題，用符號(hào)簡(jiǎn)記為xm，p(x)3、存在量詞與特稱(chēng)命題(1)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作

3、存在量詞(2)特稱(chēng)命題：含有存在量詞的命題(3)特稱(chēng)命題的符號(hào)表示：形如“存在m中的元素x0，使p(x0)成立”的命題，用符號(hào)簡(jiǎn)記為x0m，p(x0)1、命題“xr，x2x0”的否定是()ax0r，xx00bx0r，xx00cxr，x2x0 dxr，x2x0【答案】b【解析】由全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題知命題b正確故選b.2、“(x1)(x2)0”是“x1”的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件【答案】b.【解析】選b若x1，則(x1)(x2)0顯然成立，但反之不成立，即若(x1)(x2)0，則x的值也可能為2.3、 命題“x0，1，x210”是_命題(選填“

4、真”或“假”)【答案】 真【解析】取x1，則x210，所以為真命題4、（江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研）已知,則“”是“直線(xiàn)平行”的_條件 （從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)）.【答案】充要【解析】當(dāng)兩直線(xiàn)平行時(shí),解得,但當(dāng)時(shí),直線(xiàn)重合,故.所以為充要條件.5、(一題兩空)已知p：|x|m(m>0)，q：1x4，若p是q的充分條件，則m的最大值為_(kāi)；若p是q的必要條件，則m的最小值為_(kāi)【答案】1 4【解析】由|x|m(m>0)，得mxm.若p是q的充分條件0<m1.則m的最大值為1.若p是q的必要條件m4.則m的

5、最小值為4.考向一、充要條件、必要條件的判斷例1、 已知直線(xiàn)l，m，平面，m，則“l(fā)m”是“l(fā)”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)【答案】 必要不充分【解析】根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的定義：若直線(xiàn)與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，則稱(chēng)這條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直現(xiàn)在是直線(xiàn)與平面內(nèi)給定的一條直線(xiàn)垂直，而不是任意一條，故由“l(fā)m”推不出“l(fā)”，但是由定義知“l(fā)”可推出“l(fā)m”，故填必要不充分變式1、.設(shè)xr，則“1<x<2”是“|x2|<1”的()a.充分不必要條件 b.必要不充分條件c.充要條件 d.既不充分也不必要條件【答案】a【解析】由|x2|<

6、1，得1<x<3，所以1<x<21<x<3；但1<x<31<x<2.所以“1<x<2”是“|x2|<1”的充分不必要條件.變式2、設(shè)a，b均為單位向量，則“|a3b|3ab|”是“ab”的()a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件c.充要條件 d.既不充分也不必要條件【答案】c【解析】|a3b|3ab|(a3b)2(3ab)2a26a·b9b29a26a·bb2，又|a|b|1，a·b0ab，因此|a3b|3ab|是“ab”的充要條件.變式3、下列選項(xiàng)中，是的必要不充分條件的是a；：

7、方程的曲線(xiàn)是橢圓b；：對(duì)，不等式恒成立c設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，：公比小于0；：對(duì)任意的正整數(shù)，d已知空間向量，1，0，；：向量與的夾角是【答案】：【解析】，若方程的曲線(xiàn)是橢圓，則，即且，即“”是“方程的曲線(xiàn)是橢圓”的必要不充分條件；，不等式恒成立等價(jià)于恒成立，等價(jià)于； “”是“對(duì)，不等式恒成立”必要不充分條件；是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足，但此時(shí)，則不成立，即充分性不成立，反之若，則，即，則，即成立，即必要性成立，則“”是“對(duì)任意的正整數(shù)，”的必要不充分條件：空間向量，1，0，則，解得，故“”是“向量與的夾角是”的充分不必要條件方法總結(jié)：充要條件的三種判斷方法(1)定義法：

8、根據(jù)pq，qp進(jìn)行判斷.(2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問(wèn)題，考向二 充要條件等條件的應(yīng)用例2、設(shè)命題；命題若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】：設(shè)a=x|(4x-3)21,b=x|x2-(2a+1)x+a(a+1)0,易知a=x|x1,b=x|axa+1.由p是q的充分不必要條件，即ab，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是0，.變式1、已知不等式的解集為條件，關(guān)于的不等式（）的解集為條件（1）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（

9、2）若的充分不必要條件是，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】 條件由，可得，解得，記；條件由，可得，因?yàn)椋?，所以，記?）若是的充分不必要條件，則，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）若的充分不必要條件是，則，可得，解得，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是變式2、已知p：，q：x|1mx1m，m>0(1)若m1，則p是q的什么條件？(2)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】(1)因?yàn)閜：x|2x10，q：x|1mx1m，m>0x|0x2，顯然x|0x2x|2x10，所以p是q的必要不充分條件(2)由(1)，知p：x|2x10，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以解得m9，即m9，)

10、方法總結(jié)：充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上解題時(shí)需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解考向三 含有量詞的命題例3、（1）寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷真假（1），都有；（2），；（3）至少有一個(gè)二次函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；（4）存在一個(gè)角，使得（2）下列四個(gè)命題：x(0，)，；x(0,1)，；x(0，)，x>；x，x<.其中真命題的序號(hào)為_(kāi)【解析】（1）(1)是全稱(chēng)命題：，所以是真命題(2)是全稱(chēng)命題：，如時(shí)，(1)31×(1)21，即(1)3(1)2，所以是真命題(3)是存在性

11、命題：所有二次函數(shù)都有零點(diǎn)，如二次函數(shù).，.因?yàn)槭钦婷}，所以是假命題(4)是存在性命題：，設(shè)任意角終邊與單位圓的交點(diǎn)為則顯然有，所以是真命題（2） 對(duì)于，當(dāng)x(0，)時(shí)，總有x>x成立，故是假命題；對(duì)于，當(dāng)x時(shí)，有成立，故是真命題；對(duì)于，當(dāng)0<x<時(shí)，>1>x，故是假命題；對(duì)于，x，x<1<，故是真命題變式1、設(shè)有一組圓ck：(xk1)2(y3k)22k4(kn*)下列四個(gè)命題：a存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相切； b存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相交；c存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均不相交；d所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)其中為真命題的是（ ）【答案】：b d【解析】

12、：圓ck：(xk1)2(y3k)22k4的圓心坐標(biāo)為(k1,3k)，則圓心在直線(xiàn)3xy30上，由k1,2,3可作圖觀察出所有圓都與y軸相交，即(k1)2(y3k)22k4關(guān)于y的方程有解；所有圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即關(guān)于k的方程(k1)29k22k4，即2k410k22k10，沒(méi)有正整數(shù)解，因此四個(gè)命題中b d正確方法總結(jié)：1、判定全稱(chēng)命題“xm，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合m中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判定存在性命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x，使p(x)成立2、全稱(chēng)(或存在性)命題的否定是將其全稱(chēng)(或存在)量詞改為存在量詞(或全稱(chēng)量詞)，并把結(jié)論否定考向四 全稱(chēng)（存在）量詞命

13、題的綜合應(yīng)用例4、已知函數(shù)，若對(duì)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】：因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以；因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以若命題成立，只要，則，所以變式1、若命題“xr，x2mxm<0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】4,0【解析】“xr，x2mxm<0”是假命題，則“xr，x2mxm0”是真命題即m24m0，4m0變式2、若命題“x0r，使得3x2ax01<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】：，【解析】命題“x0r，使得3x2ax01<0”是假命題，即“xr,3x22ax10”是真命題，故4a2120，解得a .變式3、 若命題“存在xr，ax24xa0”為

14、假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】 (2，)【解析】“存在xr，ax24xa0”為假命題，則其否定“對(duì)任意xr，ax24xa>0”為真命題，當(dāng)a0,4x>0不恒成立，故不成立；當(dāng)a0時(shí)，解得a>2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，)方法總結(jié)：應(yīng)用含有量詞的命題求參數(shù)的策略：（1）對(duì)于全稱(chēng)量詞命題（或）為真的問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求的最大值（或最小值），即（或）（2）對(duì)于存在量詞命題（或）為真的問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求的最小值（或最大值），即（或）1、【2019年高考全國(guó)卷理數(shù)】設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是（ ）a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行 b內(nèi)

15、有兩條相交直線(xiàn)與平行 c，平行于同一條直線(xiàn) d，垂直于同一平面【答案】b【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都與平行是的充分條件；由面面平行的性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線(xiàn)都與平行，所以?xún)?nèi)有兩條相交直線(xiàn)都與平行是的必要條件.故的充要條件是內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與平行.故選b2、 (2018·北京卷)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a3b|3ab|”是“ab”的()a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件c.充要條件 d.既不充分也不必要條件【答案】c【解析】|a3b|3ab|(a3b)2(3ab)2a26a·b9b29a26a·bb2，又|a|b|1，a&#

16、183;b0ab，因此|a3b|3ab|是“ab”的充要條件.3、.(2018·浙江卷)已知平面，直線(xiàn)m，n滿(mǎn)足m，n，則“mn”是“m”的()a.充分不必要條件 b.必要不充分條件c.充要條件 d.既不充分也不必要條件【答案】a【解析】若m，n，mn，由線(xiàn)面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直線(xiàn)m與n可能異面，故“mn”是“m”的充分不必要條件.4、（2020屆山東省泰安市高三上期末）“”是“，”的（ ）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件【答案】a【解析】必要性：設(shè)，當(dāng)時(shí)，所以，即；當(dāng)時(shí)，所以，即.故或.充分性：取，當(dāng)時(shí)，成立.答案選a

17、5、（江蘇省南通市通州區(qū)2019-2020學(xué)年高三第一次調(diào)研抽測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.則“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的_條件，（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中選填一個(gè)）【答案】充分不必要【解析】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得的圖像，當(dāng)時(shí)，可得，顯然為偶函數(shù)，所以“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充分條件；若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，不能推出，所以“”不是“函數(shù)為偶函數(shù)”的必要條件，因此“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要6、（2020屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(二)）已知集合，集合，若ya是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)【答案】【解析】集合,；又集合,而ya是的必要