考點13 定積分與微積分基本定理-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學（理）考點一遍過_20210103224730

1、考點13 定積分與微積分基本定理（1）了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.（2）了解微積分基本定理的含義.一、定積分1曲邊梯形的面積（1）曲邊梯形：由直線x=a、x=b(ab)、y=0和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖)（2）求曲邊梯形面積的方法與步驟：分割：把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形(如圖)；近似代替：對每個小曲邊梯形“以值代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值(如圖)；求和：把以近似代替得到的每個小曲邊梯形面積的近似值求和；取極限：當小曲邊梯形的個數(shù)趨向無窮時，各小曲邊梯形的面積之和趨向

2、一個定值，即為曲邊梯形的面積2求變速直線運動的路程如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在atb內所作的位移s.3定積分的定義和相關概念（1）如果函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點a=x0<x1<<xi1<xi<<xn=b將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1,xi上任取一點i (i=1,2, ,n)，作和式；當n時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作，即=.（2）在中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫

3、做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f (x)dx叫做被積式4定積分的性質（1）(k為常數(shù))；（2）；（3）(其中a<c<b) 【注】定積分的性質（3）稱為定積分對積分區(qū)間的可加性，其幾何意義是曲邊梯形abcd的面積等于曲邊梯形aefd與曲邊梯形ebcf的面積的和5定積分的幾何意義（1）當函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上恒為正時，定積分f (x)dx的幾何意義是由直線x=a，x=b(ab)，y=0和曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖中陰影部分)（2）一般情況下，定積分f (x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f (x)以及直線x=a，x=b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(圖中陰影部分所示)

4、，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)6定積分與曲邊梯形的面積的關系(常用結論)定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積這要結合具體圖形來確定：設陰影部分面積為s,則（1）； （2）；（3）； （4）.7定積分的物理意義（1）變速直線運動的路程做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a，b上的定積分，即.（2）變力做功一物體在恒力f(單位：n)的作用下做直線運動，如果物體沿著與f相同的方向移動了s m，則力f所做的功為w=fs.如果物體在變力f(x)的作用下沿著與f(x

5、)相同的方向從x=a移動到x=b，則變力f(x)做的功.二、微積分基本定理一般地，如果f (x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，且f(x)=f (x)，那么=f(b)f(a)這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式，其中f(x)叫做f (x)的一個原函數(shù)為了方便，我們常把f(b)f(a)記作，即=f(b)f(a)【注】常見的原函數(shù)與被積函數(shù)的關系（1）為常數(shù))；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.考向一 定積分的計算1求定積分的三種方法（1）利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強；（2）利用微積分基本定理求定積分；（3）利用定積分的幾何意義求定積分當曲邊梯形面積易求時

6、，可通過求曲邊梯形的面積求定積分例如，定積分的幾何意義是求單位圓面積的，所以.2用牛頓萊布尼茨公式求定積分的步驟（1）把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差；（2）把定積分用定積分性質變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；（3）分別用求導公式找到一個相應的原函數(shù)；（4）利用牛頓萊布尼茨公式求出各個定積分的值；（5）計算原始定積分的值.3分段函數(shù)的定積分分段函數(shù)求定積分，可先把每一段函數(shù)的定積分求出后再相加4奇偶函數(shù)的定積分（1）若奇函數(shù)y=f(x)的圖象在a，a上連續(xù)，則；（2）若偶函數(shù)y=g(x)的圖象在a，a上連續(xù)，則.典例1 a bc d【答案】a【解析】.

7、故選a【解題技巧】求定積分的關鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，為避免出錯，在求出原函數(shù)后可利用求導與積分互為逆運算的關系進行驗證.1已知，則常數(shù)的值為abcd考向二 利用定積分求平面圖形的面積利用定積分求平面圖形面積問題的常見類型及解題策略（1）利用定積分求平面圖形面積的步驟根據(jù)題意畫出圖形；借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限；把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；計算定積分，寫出答案（2）知圖形的面積求參數(shù)求解此類題的突破口：畫圖，一般是先畫出它的草圖；然后確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)，由定積分求出其面積，再由已知條件可找到關于參數(shù)的方程，從而可求出參數(shù)的值（3）與概率

8、相交匯問題解決此類問題應先利用定積分求出相應平面圖形的面積，再用相應概率公式進行計算.典例2 設拋物線c：y=x2與直線l：y=1圍成的封閉圖形為p，則圖形p的面積s等于a1 b c d【答案】d 【解析】由，得.如圖，由對稱性可知，.故選d.2已知曲線和曲線圍成一個葉形圖，則其面積為a1bcd考向三 定積分的物理意義利用定積分解決變速直線運動與變力做功問題利用定積分解決變速直線運動問題和變力做功問題時，關鍵是求出物體做變速直線運動的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達式，再利用微積分基本定理計算即得所求.典例3 一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以

9、速度(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是a125ln 5 b825ln c425ln 5 d450ln 2【答案】c 【解析】令v(t)=0得，3t24t32=0，解得t=4(舍去).汽車的剎車距離是故選c.3一質點在直線上以速度運動，從時刻到時質點運動的路程為abcd1定積分的值為a bc d2已知，若，則的值等于abcd3射線與曲線所圍成的圖形的面積為a2b4c5d64已知函數(shù)在上可導，且，則a1 bc d5汽車以作變速運動時，在第1s至2s之間的1s內經(jīng)過的路程是a bc d6在如圖算法框圖中，若，程序運行的結果為二項式的展開式中的系數(shù)的3

10、倍，那么判斷框中應填入的關于的判斷條件是abcd7如圖，在矩形內隨機撒一顆黃豆，則它落在空白部分的概率為abcd8曲線與軸所圍成圖形的面積被直線分成面積相等的兩部分，則的值為a bc d9已知，則二項式的二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和的積為a0bc1d以上都不對10已知定義在上的函數(shù)與，若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，且，則_1（2015年高考湖南卷理科） 2（2015年高考天津卷理科）曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為 3（2015年高考山東卷理科）執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的t的值為  4（2015年高考福建卷理科）如圖,點a的坐標為(1,0),點c的坐標為(2,4),函數(shù)f (x

11、)=x2.若在矩形abcd內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于 5（2015年高考陜西卷理科）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值為 變式拓展1【答案】a【解析】因為，所以，所以，故選a【名師點睛】本題主要考查定積分的相關知識，相對簡單.由可得，從而可得常數(shù)的值.2【答案】d【解析】由題得函數(shù)的圖象如圖所示，聯(lián)立得交點為（1,1），所以葉形圖的面積為.故選d.【名師點睛】本題主要考查定積分的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.求解時，先作出兩個函數(shù)的圖象，再利用定積分求面積得解.3

12、【答案】b【解析】該質點從時刻到時質點運動的路程：，故選b【名師點睛】本小題主要考查定積分的計算，考查定積分在物理上的應用，屬于基礎題.求解時，根據(jù)速度的積分為位移，對分段函數(shù)的兩段解析式分別進行積分，再根據(jù)位移和路程的對應關系，求得質點運動的路程.考點沖關1【答案】a【解析】表示以為圓心，為半徑的圓，定積分等于該圓的面積的四分之一，定積分，故選a2【答案】b【解析】（）,或（舍）則的值等于故選b【名師點睛】本小題主要考查定積分的計算，考查運算求解能力，屬于基礎題.求解時，根據(jù)定積分的計算公式化簡定積分，解方程求得的值.3【答案】b【解析】將射線方程與曲線方程聯(lián)立，解得：，即射線與曲線有兩個公

13、共點，所圍成的圖形的面積為.本題正確選項為b.【名師點睛】本題考查曲邊梯形面積的求解問題，關鍵是能夠求得交點坐標后，利用定積分的知識來求解.解題時，射線與曲線方程聯(lián)立可求得交點坐標，利用積分的知識可求得結果.4【答案】c【解析】由題意得,故，得到，所以，所以.故選c.5【答案】d【解析】由題意可得在第1s至2s之間的1s內經(jīng)過的路程,故選d6【答案】c【解析】，二項式的展開式中的系數(shù)為，即，根據(jù)程序框圖，可知，s不滿足條件；，s不滿足條件；，則滿足條件輸出，故選c【名師點睛】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，求出，的值，利用模擬運行算法是解決本題的關鍵求解時，根據(jù)積分和二項式定理的內容求出，結

14、合程序框圖進行模擬運算即可7【答案】b【解析】由題意，陰影部分的面積為，又矩形的面積為，所以在矩形內隨機撒一顆黃豆，則它落在空白部分的概率為.故選b.【名師點睛】本題主要考查與面積有關的幾何概型，以及定積分的應用，熟記微積分基本定理以及幾何概型的概率計算公式即可，屬于?？碱}型.求解時，根據(jù)定積分的應用，得到陰影部分的面積為，再由題意得到矩形的面積，最后由與面積有關的幾何概型的概率公式，即可求出結果.8【答案】d【解析】如圖所示，曲線與軸的交點為和，曲線與直線的交點為和由題意和定積分的幾何意義得：，化簡得：，即，解得：故選d【名師點睛】1由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計算及應用，一般轉化為

15、定積分的計算及應用， 但一定要找準積分上限、下限及被積函數(shù)，且當圖形的邊界不同時，要討論解決具體步驟如下：(1)畫出圖形，確定圖形范圍；(2)解方程組求出圖形交點坐標，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；(4)計算定積分，求出平面圖形的面積2由函數(shù)求其定積分，能用公式的利用公式計算，有些特殊函數(shù)可根據(jù)其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分9【答案】b【解析】由定積分的運算性質，可得，又由表示圓的上半圓的面積，即，所以，又由，所以，所以二項式為的二項式系數(shù)之和為 ，令，可得展開式的各項之和為，所以二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和的積為.故選b.【名師點睛】

16、本題主要考查了定積分的性質及運算，以及二項式系數(shù)之和與項的系數(shù)之和的求解及應用，其中解答中熟練應用定積分的性質求得的值，以及合理求解二項式系數(shù)與項的系數(shù)之和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.求解時，由定積分的運算性質和定積分的幾何意義，求得，進而得二項式系數(shù)之和，再令，可得展開式的各項之和為，即可求解，得到答案.10【答案】12【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關于y軸對稱，函數(shù)的圖象關于原點對稱，【名師點睛】根據(jù)定積分的幾何意義和函數(shù)的奇偶性求解定積分的幾何意義是表示曲線以下、x軸以上和直線之間的曲邊梯形的面積，解題時要注意面積非負，而定積分的結果可以為負直通高考1【答案】0【解析】.2【答案】【解析】由題意可得封閉圖形的面積為.3【答案】116【解析】開始n=1,t=1,因為1<3