通用版2020版高考數(shù)學大一輪復習第19講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學案理新人教A版20190313357

1、第19講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)(下表中kz)函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x圖像定義域rrxxr,且xk+2,kz值域   周期性22奇偶性  奇函數(shù)單調(diào)性2k-2,2k+2上為增函數(shù);上為減函數(shù) 2k,2k+上為減函數(shù);上為增函數(shù) k-2,k+2上為增函數(shù)對稱中心 k+2,0k2,0對稱軸x=k+2 無常用結論1.函數(shù)y=asin(x+)和y=acos(x+)的最小正周期t=2|,函數(shù)y=tan(x+)的最小正周期t=|.2.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對

2、稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是14周期.正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期.3.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=asin x或y=atan x的形式,偶函數(shù)一般可化為y=acos x+b的形式.題組一常識題1.教材改編 函數(shù)y=2sin(2x-1)的最小正周期是. 2.教材改編 若函數(shù)y=asin x+1(a>0)的最大值是3,則它的最小值是. 3.教材改編 函數(shù)y=2cos x在-,0上是函數(shù),在0,上是函數(shù). 4.教材改編 函數(shù)f(x)=tanx-1的定義域為. 題組二常錯題索引:忽視y=asin

3、 x(或y=acos x)中a對函數(shù)單調(diào)性的影響;忽視函數(shù)的定義域;忽視正、余弦函數(shù)的有界性;忽視正切函數(shù)的周期性.5.函數(shù)y=1-2cos x的單調(diào)遞減區(qū)間是. 6.函數(shù)y=cos xtan x的值域是. 7.函數(shù)y=-cos2x+3cos x-1的最大值為 . 8.函數(shù)y=tanx+4圖像的對稱中心是. 探究點一三角函數(shù)的定義域例1 (1)函數(shù)f(x)=2-log2x+tanx+3的定義域為. (2)函數(shù)y=ln(2cos x+1)+sinx的定義域為.    總結反思 求三角函數(shù)的定義域實際上是解簡

4、單的三角函數(shù)不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖像來求解.變式題 (1)函數(shù)y=sinx-cosx的定義域為. (2)函數(shù)f(x)=sinx-13+2sinx的定義域是. 探究點二三角函數(shù)的值域或最值例2 (1)函數(shù)y=2cos 2x-sin x+1的最大值是. (2)2018·滄州質(zhì)檢 已知x-4,6,則函數(shù)f(x)=2cos xsinx+3-3sin2x+sin xcos x的最大值與最小值之和為.    總結反思 求解三角函數(shù)的值域(最值)的幾種方法:形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù),

5、化為y=asin(x+)+k的形式,再求值域(最值);形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可設t=sin x,化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值);形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函數(shù),可設t=sin x±cos x,化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值).變式題 (1)函數(shù)f(x)=sinx-4-cosx-4的最大值為()a.2b.2c.22d.22(2)函數(shù)y=cos x-sin x+4sin xcos x的值域是. 探究點三三角函數(shù)性質(zhì)的有關問題微點1三角函數(shù)的周期性例3 (1)在函數(shù)y=cos|2x|,y=|c

6、os x|,y=cos2x+6,y=tan2x-4中,最小正周期為的所有函數(shù)為()a.b.c.d.(2)若函數(shù)f(x)=1+asinax+6(a>0)的最大值為3,則f(x)的最小正周期為.    總結反思 (1)公式法:函數(shù)y=asin(x+)或y=acos(x+)的最小正周期t=2|,y=atan(x+)的最小正周期t=|;(2)圖像法:利用三角函數(shù)圖像的特征求周期.微點2三角函數(shù)的對稱性例4 (1)2018·廣西賀州聯(lián)考 若函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有一條相同的對稱軸,則稱這兩個函數(shù)互為同軸函數(shù).下列四個函數(shù)中,與f(x)=12x

7、2-x互為同軸函數(shù)的是()a.g(x)=cos(2x-1)b.g(x)=sin xc.g(x)=tan xd.g(x)=cos x(2)2018·重慶合川區(qū)三模 函數(shù)f(x)=asin(x+)a>0,>0,|<2的圖像關于直線x=3對稱,它的最小正周期為,則函數(shù)f(x)的圖像的一個對稱中心是()a.3,0b.12,0c.512,0d.-12,0   總結反思 (1)對于函數(shù)f(x)=asin(x+),其圖像的對稱軸一定經(jīng)過函數(shù)圖像的最高點或最低點,對稱中心一定是函數(shù)的零點,因此在判斷直線x=x0或點(x0,0)是否是函數(shù)圖像的對稱軸或對

8、稱中心時,可通過檢驗f(x0)的值進行判斷.(2)函數(shù)圖像的對稱性與周期t之間有如下結論:若函數(shù)圖像相鄰的兩條對稱軸分別為x=a與x=b,則最小正周期t=2|b-a|;若函數(shù)圖像相鄰的兩個對稱中心分別為(a,0),(b,0),則最小正周期t=2|b-a|;若函數(shù)圖像相鄰的對稱中心與對稱軸分別為(a,0)與x=b,則最小正周期t=4|b-a|.微點3三角函數(shù)的單調(diào)性例5 (1)2018·烏魯木齊一檢 已知3為函數(shù)f(x)=sin(2x+)0<<2的一個零點,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()a.2k-512,2k+12(kz) b.2k+12,2k+712(kz)c.k-5

9、12,k+12(kz)d.k+12,k+712(kz)(2)2018·合肥一中月考 已知>0,函數(shù)f(x)=cosx+3在3,2上單調(diào)遞增,則的取值范圍是()a.23,103b.23,103c.2,103d.2,103   總結反思 (1)形如y=asin(x+)的函數(shù)的單調(diào)性問題,一般是將x+看成一個整體,再結合圖像利用y=sin x的單調(diào)性求解;(2)如果函數(shù)中自變量的系數(shù)為負值,要根據(jù)誘導公式把自變量系數(shù)化為正值,再確定其單調(diào)性.應用演練1.【微點3】2018·西安八校聯(lián)考 已知函數(shù)f(x)=cos(x+)(0<<)在x

10、=3處取得最小值,則f(x)在0,上的單調(diào)遞增區(qū)間是()a.3,b.3,23c.0,23d.23,2.【微點3】2018·浙江余姚中學月考 設f(x)=cos x,若a=f(ln 2),b=f(ln ),c=fln13,則下列關系式正確的是()a.a>b>cb.b>c>ac.a>c>bd.b>a>c3.【微點2】2019·九江一中月考 已知函數(shù)f(x)=asinx+6的圖像上相鄰兩個對稱中心之間的距離為2,則函數(shù)的對稱軸方程可能是()a.x=1b.x=14c.x=23d.x=-14.【微點1】2018·上海金山區(qū)二模

11、 函數(shù)y=3sin2x+3的最小正周期t=. 第19講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考試說明 1.能畫出函數(shù)y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖像,了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等),理解正切函數(shù)在區(qū)間-2,2內(nèi)的單調(diào)性.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.-1,1-1,1r奇函數(shù)偶函數(shù)2k+2,2k+322k-,2k(k,0)x=k對點演練1.解析 最小正周期t=2=22=.2.-1解析 依題意得a+1=3,所以a=2,所以函數(shù)y=2sin x+1的最小值為1-2=-1.3.增減解析 由余弦函數(shù)的單調(diào)性,

12、得函數(shù)y=2cos x在-,0上是增函數(shù),在0,上是減函數(shù).4.4+k,2+k(kz)解析 由題意知tan x1,所以4+kx<2+k(kz).5.2k-,2k(kz)解析 函數(shù)y=1-2cos x的單調(diào)遞減區(qū)間即函數(shù)y=-cos x的單調(diào)遞減區(qū)間,即函數(shù)y=cos x的單調(diào)遞增區(qū)間,即為2k-,2k(kz).6.(-1,1)解析 x2+k(kz),y=cos xtan x=sin x,y=sin x(-1,1),即函數(shù)y=cos xtan x的值域是(-1,1).7.1解析 設t=cos x,則-1t1,所以y=-t2+3t-1=-t-322+54,當t=1時,函數(shù)取得最大值1.8.k

13、2-4,0(kz)解析 由x+4=k2(kz),得x=k2-4(kz),所以函數(shù)y=tanx+4圖像的對稱中心為k2-4,0(kz).【課堂考點探究】例1思路點撥 根據(jù)偶次根式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及正切函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)列出關于x的不等式組求解.(1)x0<x4且x6且x76(2)x2kx<2k+23,kz解析 (1)依題意得2-log2x0,x+3k+2,kz,得0<x4且xk+6,kz,所以函數(shù)f(x)的定義域是x0<x4且x6且x76.(2)由題意得2cosx+1>0,sinx0,即cosx>-12,sinx0,解得2k-23<x<

14、;2k+23,kz,2kx2k+,kz,所以2kx<2k+23,kz,所以函數(shù)的定義域為x2kx<2k+23,kz.變式題(1)x2k+4x2k+54,kz(2)x2k-3<x<2k+43,kz解析 (1)由題意知sin x-cos x0.作出函數(shù)y=sin x和y=cos x的圖像,如圖所示.在0,2內(nèi),滿足sin x=cos x的x的值為4,54,再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是2,得原函數(shù)的定義域為x2k+4x2k+54,kz.(2)依題意知,3+2sin x>0,即sin x>-32,結合函數(shù)y=sin x的圖像(圖略),可得函數(shù)f(x)的定義域為x2k

15、-3<x<2k+43,kz.例2思路點撥 (1)將函數(shù)轉化為以sin x為自變量的二次函數(shù)求最值;(2)將函數(shù)化為f(x)=asin(x+)+k的形式,再利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.(1)4916(2)1解析 (1)由題知,y=2cos 2x-sin x+1=2-4sin2x-sin x+1=-4sinx+182+4916,當sin x=-18時,函數(shù)取得最大值,最大值為4916.(2)由題可知,f(x)=2cos xsinxcos3+cosxsin3-3sin2x+sin xcos x=2sin xcos x+3cos2x-3sin2x=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+3

16、. 因為x-4,6,所以2x+3-6,23,所以當2x+3=2,即x=12時,函數(shù)取得最大值,即為2sin2=2;當2x+3=-6,即x=-4時,函數(shù)取得最小值,即為2sin-6=-1.所以最大值與最小值之和為2-1=1.變式題(1)b(2)-2-2,178解析 (1)f(x)=sinx-4-cosx-4=2sinx-4-4=2sinx-2=-2cos x,當x=(2k+1)(kz)時,f(x)取得最大值2.(2)令t=cos x-sin x,則t=2cosx+4-2,2,又t2=1-2sin xcos x,所以sin xcos x=1-t22,所以y=t+4·1-t22=-2t2+

17、t+2=-2t-142+178.因為t-2,2,所以當t=14時,y取得最大值178;當t=-2時,y取得最小值-2-2.所以函數(shù)的值域是-2-2,178.例3思路點撥 (1)根據(jù)三角函數(shù)的周期性,求出各個函數(shù)的最小正周期,從而得出結論;(2)首先求出參數(shù)a,再求最小正周期.(1)a(2)解析 (1)對于,y=cos|2x|=cos 2x,則它的最小正周期為22=;對于,y=|cos x|的最小正周期為12×21=;對于,y=cos2x+6的最小正周期為22=;對于,y=tan2x-4的最小正周期為2.故選a.(2)函數(shù)f(x)=1+asinax+6(a>0)的最大值為1+a,

18、1+a=3,a=2,因此f(x)的最小正周期為2a=.例4思路點撥 (1)函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸為直線x=1,逐一驗證各選項,可得符合條件的函數(shù);(2)由周期求出=2,再由圖像關于直線x=3對稱,求得=-6,進而可求得f(x)的圖像的對稱中心.(1)d(2)b解析 (1)易知f(x)=12x2-x的圖像關于直線x=1對稱.對于選項a,函數(shù)g(x)的圖像的對稱軸為直線x=12+k2(kz);對于選項b,函數(shù)g(x)的圖像的對稱軸為直線x=12+k(kz);對于選項c,函數(shù)g(x)的圖像不存在對稱軸;對于選項d,函數(shù)g(x)的圖像的對稱軸為直線x=k(kz),當k=1時,其中有一條對稱軸為直線

19、x=1,符合題意.故選d.(2)由題意可得2=,=2,f(x)=asin(2x+).函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=3對稱,f3=asin23+=±a,即sin23+=±1.|<2,=-6,故函數(shù)f(x)=asin2x-6.令2x-6=k,kz,可得x=k2+12,kz,故函數(shù)f(x)的圖像的對稱中心為k2+12,0,kz.結合選項可知, 函數(shù)f(x)的圖像的一個對稱中心是12,0.故選b.例5思路點撥 (1)由條件求出,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解;(2)先求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,由3,2是所求單調(diào)遞增區(qū)間的子集得出的取值范圍.(1)c(2)c解析 (1)3為函數(shù)

20、f(x)=sin(2x+)0<<2的一個零點,f3=sin23+=0,23+=k(kz),解得=k-23(kz).0<<2,=3,f(x)=sin2x+3,令-2+2k2x+32+2k(kz),則k-512xk+12(kz),故選c.(2)令2k-x+32k,kz,>0,2k-43x2k-3,kz,函數(shù)f(x)=cosx+3的單調(diào)遞增區(qū)間為2k-43,2k-3,kz.f(x)在3,2上單調(diào)遞增,22k-3,32k-43,kz,解得6k-44k-23,kz.由題意知,2-312×2,0<6,2103.應用演練1.a解析 函數(shù)f(x)=cos(x+)(

21、0<<)在x=3處取得最小值,cos3+=-1,3+=+2k,kz,又0<<,=23,即f(x)=cosx+23.令-+2kx+232k,kz,解得-53+2kx-23+2k,kz,又x0,k=1,f(x)在0,上的單調(diào)遞增區(qū)間是3,故選a.2.c解析 因為函數(shù)f(x)=cos x是偶函數(shù),所以c=fln13=f(ln 3).因為0<ln 2<ln 3<ln <,且函數(shù)f(x)在0,上單調(diào)遞減,所以f(ln 2)>f(ln 3)>f(ln ),即a>c>b.故選c.3.c解析 由題可知,函數(shù)的最小正周期t=2×2

22、=4,所以=24=2.令2x+6=k+2,kz,解得x=2k+23,kz,結合選項可知,x=23滿足條件.故選c.4.解析 易知t=22=.【備選理由】 例1考查余弦函數(shù)的有界性、二次函數(shù)在指定區(qū)間上的值域問題;例2考查根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)無最值求參數(shù)范圍的問題;例3考查抽象函數(shù)比較大小的問題,考查函數(shù)的單調(diào)性和對稱性以及三角函數(shù)的知識,是較好的綜合題;例4綜合考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性,并結合充要條件進行考查.例1配合例2使用 已知函數(shù)f(x)=1+4cos x-4sin2x,x-4,23,則f(x)的值域為. 答案 -4,5解析 f(x)=1+4cos x-4sin2x=1+

23、4cos x-4(1-cos2x)=4cos2x+4cos x-3=4cosx+122-4,因為x-4,23,所以cos x-12,1,所以4cosx+122-4-4,5,故函數(shù)f(x)的值域為-4,5.例2配合例2使用 若函數(shù)f(x)=sinx+6(>0)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒有最值,則的取值范圍是()a.0,11214,23b.0,1613,23c.14,23d.13,23解析 b由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)y=sin x的單調(diào)區(qū)間為k+2,k+32,kz.由k+2x+6k+32,kz,得k+3xk+43,kz.函數(shù)f(x)=sinx+6(>0)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒有最值,函數(shù)f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)單調(diào),(,2)k+3,k+43,kz,即k+3,k+432,kz,解得k+13k2+23,kz.由k+13<k2+23,