七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《軸對(duì)稱圖形典型例題》

1、軸對(duì)稱圖形典型例題例1 如下圖，已知，PBAB，PCAC，且PBPC，D是AP上一點(diǎn)求證：BDPCDP證明：PBAB，PCAC，且PBPC，PABPAC（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上），APBPAB90°，APCPAC90°，APBAPC，在PDB和PDC中，PDBPDC（SAS），BDPCDP（圖形具有明顯的軸對(duì)稱性，可以通過利用軸對(duì)稱的性質(zhì)而不用三角形的全等）注利用角平分線定理的逆定理，可以通過距離相等直接得到角相等，而不用再證明兩個(gè)三角形全等例2 已知如下圖（1），在四邊形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分ABC求證：AC180°（1）證法一：

2、過D作DEAB交BA的延長(zhǎng)線于E，DFBC于F，BD平分ABC，DEDF，在RtEAD和RtFCD中，（角平分線是常見的對(duì)稱軸，因此可以用軸對(duì)稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來(lái)證明）RtEADRtFCD（HL），CEAD，EAD BAD180°，AC180°證法二：如下圖（2），在BC上截取BEAB，連結(jié)DE，證明ABDEBD可得（2）證法三：如下圖（3），延長(zhǎng)BA到E，使BEBC，連結(jié)ED，以下同證法二（3）注本題考察一個(gè)角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等的定理來(lái)證明線段相等，關(guān)鍵是掌握遇到角的平分線的輔助線的不同的添加方法例3 已知，如下圖，AD為ABC的中線，且DE平分

3、BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F求證：BECFEF證法一：在DA截取DNDB，連結(jié)NE、NF，則DNDC，在BDE和NDE中，（遇到角平分線可以考慮利用軸對(duì)稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來(lái)解題）BDENDE（SAS），BENE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），同理可證：CFNF，在EFN中，ENFNEF（三角形兩邊之和大于第三邊），BECF>EF證法二：延長(zhǎng)ED至M，使DMED，連結(jié)CM、MF，在BDE和CDM中，（從另一個(gè)角度作輔助線）BDENDE（SAS），CMBE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），又BDE=ADE，ADFCDF，而BDEADEADFCDF180°，ADE+ADF90

4、°，即EDF90°，F(xiàn)DMEDF90°，在EDF和MDF中，EDFMDF（SAS），EFMF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），在CMF中，CFCM >EF，BECF >EF注本題綜合考察角平分線、中線的意義，關(guān)鍵是如何使題中的分散的條件集中 例4 已知，如下圖，P、Q是ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且BPPQQCAPAQ求：BAC的度數(shù)解：APPQAQ（已知），APQAQPPAQ60°（等邊三角形三個(gè)角都是60°），APBP（已知），（注意觀察圖形和條件）PBAPAB（等邊對(duì)等角），APQPBAPAB60°（三角形的一個(gè)外角等于

5、和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和），PBAPAB30°，同理QAC30°，BACBAPPAQQAC30°60°30°120°注本題考察等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握求角的步驟：（1）利用等邊對(duì)等角得到相等的角；（2）利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和得各角之間的關(guān)系；（3）利用三角形內(nèi)角和定理列方程例5 已知，如下圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)ED，并延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使DFDE，連結(jié)FC求證：FA證明：ABAC，BACB（等邊對(duì)等角），EBED，BEDB，ACBE

6、DB（等量代換），EDAC（同位角相等，兩直線平行），在BDE和AED中，BEAE=ED，連結(jié)AD可得，EADEDA，EBDEDB，EDAEDB90°，即ADBC，EDAEDB90°，即ADBC，（用什么定理判定三角形全等的？）D為BC的中點(diǎn)，BDECDF，BEDF，而BEDA，F(xiàn)A例6 已知，如下圖，ABC中，ABAC，E在CA的延長(zhǎng)線上，AEFAFE求證：EFBC證法一：作BC邊上的高AD，D為垂足，ABAC，ADBC，BADCAD（等腰三角形三線合一），又BACEAFE，AEFAFE，CADE，ADEF，ADBC，EFBC證法二：過A作AGEF于G，AEFAFE，AG

7、AG，AGEAGF90°，AGEAGF（ASA），ABAC，BC，又EAFBC，（請(qǐng)對(duì)比多種證法的優(yōu)劣）EAGGAFBC，EAGC，AGBC，AGEF，EFBC證法三：過E作EHBC交BA的延長(zhǎng)線于H，ABAC，BC，HBCAEH，AEFAFE，HAFEFEH180°，HAEHAEFAFE180°，AEFAEH90°，即FEH90°，EFEH，又EHBC，EFBC證法四：延長(zhǎng)EF交BC于K，ABAC，BC，B（180°BAC），AEFAFE，AFE（180°EAF），BFKAFE，BFK（180°EAF），BBFK

8、（180°BAC）（180°EAF） 360°（EAFBAC），EAFBAC180°，BBFK90°，即FKB90°，EFBC注本題考察等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過添加輔助線，建立EF與BC的聯(lián)系，仔細(xì)體會(huì)以上各種不同的添加輔助線的方法 例7 如下圖，ABAC，DBDC，P是AD上一點(diǎn)求證：ABPACP證明：連結(jié)BC，ABAC（已知），ABCACB（等邊對(duì)等角），又點(diǎn)A、D在線段BC的垂直平分線上（與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上），而兩點(diǎn)確定一條直線，AD就是線段BC的垂直平分線，PBPC（線

9、段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），PBCPCB（等邊對(duì)等角），（線段垂直平分線的性質(zhì)）ABCPBCACBPCB（等式性質(zhì)），即ABPACP注本題若用三角形全等，至少需要證兩次，現(xiàn)用線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，就顯得比較簡(jiǎn)潔例8 如下圖，ABAC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E，若ABC的周長(zhǎng)為28，BC8，求BCE的周長(zhǎng)解：等腰ABC的周長(zhǎng)28，BC8，2ACBC28，AC10，（理由是什么？）DE垂直平分AB，AEBE，BCE的周長(zhǎng)BEECBCAEECBCACBC10818注本題考察線段垂直平分線的性質(zhì)定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系例9 已知

10、，如下圖，ABC中，ABAC，BAC120°，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E，求證：證法一：連結(jié)AF，則AFBF，BFAB（等邊對(duì)等角），ABAC，BC（等邊對(duì)等角），BAC120°，BC（三角形內(nèi)角和定理），F(xiàn)AB30°，F(xiàn)ACBACFAB120°30°90°，又C30°，（線段的垂直平分線是常見的對(duì)稱軸之一）（直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），證法二：連結(jié)AF，過A作AGEF交FC于G，EF為AB的垂直平分線，AFBF，又B30°，AFG60°， BAG9

11、0°，AGB60°，AFG為等邊三角形，又C30°，GAC30°，AGGC，（構(gòu)造等邊三角形是證明線段相等的一種好方法）BFFGGC例10 已知，如下圖，ABBC，CDBC，AMB75°，DMC45°，AMMD求證：ABBC思路分析從結(jié)論分析，要證ABBC，可連結(jié)AC，使BC與AB能落在一個(gè)三角形內(nèi)，再看BAC與BCA能否相等？證明：連結(jié)AC，交DM于H，AMB75°，DMC45°（已知），AMD60°（平角定義）又AMMD，AMD為等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形），AMA

12、D（等邊三角形三邊相等），CDBC，DCM90°，DMC45°，MDC45°（三角形內(nèi)角和定理），CDCM（等角對(duì)等邊），AC是DM的垂直平分線（和線段兩端點(diǎn)等距離的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上），MHC90°，HCM45°，B90°，BAC45°，ABBC（等角對(duì)等邊） 【典型熱點(diǎn)考題】例1 如圖715，等腰ABC的對(duì)稱軸與底邊BC相交于點(diǎn)D，請(qǐng)回答下列問題：(1)AD是哪個(gè)角的平分線；(2)AD是哪條線段的垂直平分線；(3)有哪幾條相等的邊；(4)有哪幾對(duì)相等的角點(diǎn)悟：本題主要考查等腰三角形的所有特征所以應(yīng)該根據(jù)等

13、腰三角形是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)來(lái)解答問題解：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，直線AD是它的對(duì)稱軸(1)AD是頂角BAC的平分線(2)AD是線段BC的垂直平分線(3)ABAC，BDDC(4)BADCAD，ABCACB，ADBADC 例2 如圖716，已知PBAB，PCAC，且PBPC，D是AP上一點(diǎn)求證：BDPCDP 點(diǎn)悟：利用三角形全等證明兩個(gè)角相等最直觀，但因?yàn)閳D形具有明顯的軸對(duì)稱性，可以通過利用軸對(duì)稱的性質(zhì)而不用三角形全等同樣可以，證明： PBAB，PCAC，且PBPC， PABPAC(到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上) APBPAB90°，APCPAC90

14、6;， APBAPC在PDB和PDC中， PDBPDC(SAS) BDPCDP例3 如圖717，先找出下列各圖形中的軸對(duì)稱圖形，再畫出它們的對(duì)稱軸(有幾條，畫幾條)點(diǎn)悟：先確定是否是軸對(duì)稱圖形，如果是軸對(duì)稱圖形，就將它們的對(duì)稱軸全部畫出來(lái)解：(1)是，它有3條對(duì)稱軸(2)是，它有2條對(duì)稱軸(3)是，它有2條對(duì)稱軸(4)是，它只有一條對(duì)稱軸(5)它不是軸對(duì)稱圖形，故沒有對(duì)稱軸(6)它是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸圖均略 例4 如圖718，ABC中，ABAC，D在BC上，且BDAD，DCAC，將圖中的等腰三角形全部寫出來(lái)，并求出B的度數(shù)點(diǎn)悟：圖中共有三個(gè)等腰三角形，要將它們一一寫出來(lái)，不能遺

15、漏在計(jì)算B的度數(shù)時(shí)，要充分利用三角形的一個(gè)外角等于它的兩個(gè)不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解：圖中共有三個(gè)等腰三角形，它們分別是：ABC，ABD，CAD設(shè)Bx，則CxBAD，ADCDAC2x BCBACBCBADDACxxx2x5x180°  例5 如圖719，在金水河的同一側(cè)居住兩個(gè)村莊A、B要從河邊同一點(diǎn)修兩條水渠到A、B兩村澆灌蔬菜，問抽水站應(yīng)修在金水河MN何處兩條水渠最短?點(diǎn)悟：先將具體問題抽象成數(shù)學(xué)模型河流為直線MN，在直線MN的同一側(cè)有A、B兩點(diǎn)在直線MN上找一點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小這里就要充分運(yùn)用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)加以解決解：如圖719所示作B點(diǎn)關(guān)于直線M

16、N的對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)AB，與MN相交于P，則P點(diǎn)即為所求事實(shí)上，如果不是P點(diǎn)而是點(diǎn)時(shí)，則連結(jié)和由軸對(duì)稱性知道，所以到A、B的距離之和，而P到A、B的距離之和在中，三角形兩邊之和大于第三邊，所以P點(diǎn)即為所求的點(diǎn) 例6 如圖720，已知，AD為ABC的中線，且DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F求證：BECFEF點(diǎn)悟：遇到角平分線就可以考慮利用軸對(duì)稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來(lái)解決問題證法一：在DA上截取DNDB連結(jié)NE、NF則DNDC在BDE和NDE中， BDENDE BENE同理可得，CFNF在EFN中，ENFNEF(三角形兩邊之和大于第三邊) BECFEF證法二：如圖72

17、1，延長(zhǎng)DE至M，使DMED，連結(jié)CM、MF在BDE和CDM中， BDECDM(SAS) CMBE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)又 BDEADE，ADFCDF，而BDEADEADFCDF180° ADEADF90°，即EDF90° FDMEDF90°在EDF和MDF中， EDFMDF(SAS) EFMF(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)在CMF中，CFCMMF， BECFEF點(diǎn)撥：本題綜合考查角平分線，中線的意義，三角形全等及線段之間的等量關(guān)系，關(guān)鍵是要把題目中的已知條件集中巧妙應(yīng)用 【易錯(cuò)例題分析】例 已知如圖722，在四邊形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分ABC求證：AC180°證法一：如圖722，過D作DEAB交BA的延長(zhǎng)線于E，DFBC于F BD平