(完整word版)一次函數動點問題

1、第 1頁(共 18頁) 一次函數動點問題 1 模型介紹：古希臘有一個著名的 將軍飲馬問題”，大致內容如下：古希臘 一位將軍，每天都要巡查河岸側的兩個軍營 A、B,他總是先去 A 營，再到河 邊飲馬，之后再去 B 營，如圖，他時常想，怎么走才能使每天的路程之和 最短呢？ 大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙的解決了這問題 如圖，作 B 關于直線 I 的對稱點 B,連接 AB與直線 I 交于點 C,點 C 就是所求 的位置. 請你在下列的閱讀、應用的過程中，完成解答. (1) 理由：如圖，在直線 L 上另取任一點 C,連接 AC，BC，B， 直線 I 是點 B，B的對稱軸，點 C，C 在 I 上 CB

2、= _ ，C B= _ AGCB=ACCB . 在厶 AC 中 ABv AC+C，二 AC+CB AC+C B 卩 AC+CB 最小 歸納小結： 本問題實際是利用軸對稱變換的思想，把 A、B 在直線的同側問題轉化為在直線 的兩側，從而可利用 兩點之間線段最短”，即轉化為三角形兩邊之和大于第 三邊”的問題加以解決(其中 C 為 AB與 I 的交點，即 A、C、B 三點共線). 本問題可拓展為 求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值 ”問題的 數學模型. (2) 模型應用 如圖 ，正方形 ABCD 的邊長為 2，E 為 AB 的中點，F 是 AC 上一動點. 求 EF+FB 的最小值 分析

3、：解決這個問題，可以借助上面的模型，由正方形的對稱性可知， B 與 D 關第 2頁（共 18頁） 于直線 AC 對稱，連結 ED 交 AC 于 F,則 EF+FB 的最小值就是線段 _ 的 長度，EF+FB 的最小值是 _ 如圖，一次函數 y=-2x+4 的圖象與 x, y 軸分別交于 A, B 兩點，點 0 為坐標 原點，點 C 與點 D 分別為線段 OA,AB 的中點，點 P 為 0B 上一動點，求：PC+PD 的最小值，并寫出取得最小值時 P 點坐標. 2已知一次函數圖象經過點 A (3, 5)和點 B (-4,- 9)兩點， 求此一次函數的解析式； 若點(a, 2)在該函數的圖象上，試

4、求 a 的值. 若此一次函數的圖象與 x 軸交點 C,點 P(m，n)是圖象上一個動點(不與點 C 重合)，設厶 POC 的面積是 S,試求 S 關于 m 的函數關系式. 3. 已知函數y=kx+b的圖象經過點A (4, 3)且與一次函數y=x+1的圖象平行， 點B (2, m)在一次函數 y=kx+b 的圖象上 ( 1)求此一次函數的表達式和 m 的值？ 第 3頁(共 18頁) (2) 若在 x 軸上有一動點 P (x, 0),到定點 A (4, 3)、B (2, m)的距離分別 為PA 和 PB,當點 P 的橫坐標為多少時，PA+PB 的值最小.第 4頁(共 18頁) 4. 已知：一次函數

5、圖象如圖： (1) 求一次函數的解析式； (2) 若點 P 為該一次函數圖象上一動點，且點 A 為該函數圖象與 x 軸的交點, 若SAOAF=2，求點 P 的坐標. 5 - 4 5第 5頁(共 i8頁) 5 閱讀下面的材料： 在平面幾何中，我們學過兩條直線平行的定義.下面就兩個一次函數的圖象所確 定的兩條直線給出它們平行的定義：設一次函數 y=kix+bi (冷工 0)的圖象為 直線li, 一次函數 y=k2x+b2 (k2工 0)的圖象為直線 b,若 ki=k2, 且 bi b2, 我們就稱直線 li與直線 12互相平行. 解答下面的問題： (1) 已知正比例函數 y=-x 的圖象為直線 l

6、i,求過點 P (1, 3)且與已知直線 li 平行的直線 12的函數表達式； (2) 設直線 I2分別與 y 軸、x 軸交于點 A、B,求 li和 12兩平行線之間的距離； (3) _ 若Q為OA 上一動點，求 QP+QB 的最小值時 Q 點的坐標為 _ . (4) 在 x 軸上找一點 M，使 BMP 為等腰三角形，求 M 的坐標.(直接寫出答 案) 卜 5 4 一 3 1 1 1 1 1 1 1 -5 -4 3 -2 -1O 12345 -4 一 第 6頁(共 18頁) 6 閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學過兩條直線互相垂直的定義，下面 就兩個一次函數的圖象所確定的兩條直線，給出它們相

7、互垂直的定義：設一 次函數y=kix+bi(站工 0)的直線為 li, 一次函數 y=k2X+b2 (k2工 0)的圖象為 直線 12.若ki?k2=- 1,我們就稱直線 li與直線 12相互垂直，現請解答下面的 問題：已知直線 I與直線 y=-二 x- 1 互相垂直，且直線 I 的圖象過點 P (- 1, 4)，且直線 I 分別與 y 軸、x 軸交于 A、B 兩點. (1) 求直線 I 的函數表達式； (2) 若點 C 是線段 AB 上一動點，求線段 OC 長度的最小值； (3) 若點 Q 是 AO 上的一動點，求 BPQ 周長的最小值，并求出此時點 Q 的坐 標； (4) 在(3)的條件下

8、，若點 P 關于 BQ 的對稱點為 P,請求出四邊形 ABOP 的 面積. 駙I 5 4 - 3 1 1 Illi 1 -5 -4 a -2 -io 12245 i 二 2 -4 -5 第 7頁（共 18頁） 一次函數動點問題 參考答案與試題解析 一 解答題（共 6 小題） 1 模型介紹：古希臘有一個著名的 將軍飲馬問題”，大致內容如下：古希臘一 位將軍，每天都要巡查河岸側的兩個軍營 A、B,他總是先去 A 營，再到河邊 飲馬，之后再去 B 營，如圖，他時常想，怎么走才能使每天的路程之和最 短呢？ 大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙的解決了這問題 如圖， 作 B 關于直線 I的對稱點 B,連接

9、AB與直線 I交于點 C,點 C 就是所求 的位置. 請你在下列的閱讀、應用的過程中，完成解答. （1）理由：如圖，在直線 L 上另取任一點 C,連接 AC，BC，B， 直線 I 是點 B，B的對稱軸，點 C，C 在 I 上 CB= CB ，C B=CB AGCB=ACCB 二 AB. 在厶 AC 中 ABv AC+C，二 AC+CB AC+C B 卩 AC+CB 最小 歸納小結： 本問題實際是利用軸對稱變換的思想，把 A、B 在直線的同側問題轉化為在直線 的兩側，從而可利用 兩點之間線段最短”，即轉化為三角形兩邊之和大于第 三邊”的問題加以解決（其中 C 為 AB與 I 的交點，即 A、C、

10、B 三點共線）. 本問題可拓展為 求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值 ”問題的 數學模型. (2)模型應用 如圖 ，正方形 ABCD 的邊長為 2, E 為 AB 的中點，F 是 AC 上一動點. 第 8頁(共 18頁) 求 EF+FB 的最小值 分析：解決這個問題，可以借助上面的模型，由正方形的對稱性可知， B 與 D 關 于直線 AC 對稱，連結 ED 交 AC 于 F，則 EF+FB 的最小值就是線段 DE 的長 度，EF+FB 的最小值是_2_. 如圖，已知。O 的直徑 CD 為 4,/ AOD 的度數為 60 ，點 B 是盒 的中點，在 直徑 CD 上找一點 P,使 BP

11、+AP 的值最小，貝 U BP+AP 的最小值是 ； 如圖，一次函數 y=-2x+4 的圖象與 x，y 軸分別交于 A，B 兩點，點 O 為坐標 原點，點 C 與點 D 分別為線段 OA,AB 的中點，點 P 為 OB 上一動點，求：POPD 的最小值，并寫出取得最小值時 P 點坐標. 【解答】解：(1)理由：如圖，在直線 L 上另取任一點 C，連接 AC，BC，B， 直線 I 是點 B，B的對稱軸，點 C，C 在 l 上 CB=CB CB=CB AGCB=ACCB =AB 在厶 AC 中 ABv AC+C，二 AC+CB=5 I -4k+b=-9 第 11頁（共 18頁） 將點(a, 2)代

12、入 y=2x- 1 中，得 2a-仁 2,第 12頁(共 18頁) 由 y=2x- 1，令 y=0 得 x, C (- 又點 P (m, n)在直線 y=2x- 1 上, n=2m 1, 3. 已知函數 y=kx+b 的圖象經過點 A （4, 3）且與一次函數 y=x+1 的圖象平行, 點 B（2, m）在一次函數 y=kx+b 的圖象上 （1）求此一次函數的表達式和 m 的值？ （2）若在 x 軸上有一動點 P（x, 0）,到定點 A（4, 3）、B（2, m）的距離分別 為PA 和 PB,當點 P 的橫坐標為多少時，PA+PB 的值最小. 【解答】解：（1）：函數 y=kx+b 的圖象經過

13、點 A （4, 3）且與一次函數 y=x+1 的圖象平行， f4k+b=3 ，解得： 店 1 仏二 1 片-L 一次函數的表達式為 y=x- 1. 當 x=2 時，m=x- 1=2 仁 1, m 的值為 1. （2）作點 B 關于 x 軸的對稱點 B,連接 AB交 x 軸于點 P,此時 PA+PB 取最小值, 如圖所示. 點 B 的坐標為（2, 1）, 點 B的坐標為（2, 1）. 設直線 AB的表達式為 y=ax+c, 將（2, 1）、（4, 3）代入 y=ax+c, 2 廿 ，解得： r a=2 14atc=3 1.C- ,0), S 丄 一1吧1 (2m -1) |=| 1 m 1 2

14、4 第 13頁（共 18頁） 直線 AB的表達式為 y=2x 5. 當 y=0 時，2x 5=0,第 14頁（共 18頁） 4. 已知：一次函數圖象如圖: （1） 求一次函數的解析式； （2） 若點 P 為該一次函數圖象上一動點，且點 A 為該函數圖象與 x 軸的交點, 若SAOAP=2，求點 P 的坐標. 5 “ : : 1 L ? 1 卜 1 J . y 4 -S -2 -10 -1 ri 3 4 5 x -2 : -4 -5 - 【解答】解：（1）設一次函數解析式為 y=kx+b, 所以一次函數解析式為 y=- x+1； (2)當 y=0 時，-x+1=0,解得 x=1,則 A ( 1,

15、 0), 設 P (t，-t+1), 因為 SAOAP=2 , 所以丄X1X | - t+1| =2,解得 t=- 3 或 t=5, 所以 P 點坐標為（-3, 4）或（5,- 4）. 5. 閱讀下面的材料： 在平面幾何中，我們學過兩條直線平行的定義.下面就兩個一次函數的圖象所確 定的兩條直線給出它們平行的定義：設一次函數 y=kix+bi (冷工 0)的圖象為 直線 li, 把(-2, 3)、(2, 分別代入得嚴 ， 解得 2k+b=-l PA+PB 的值最P的橫-1) 第 i3頁(共 i8頁) 一次函數 y=k2x+b2 (k2工 0)的圖象為直線 b,若 ki=k2，且 bib2, 我們

16、就稱直線 li與直線 12互相平行. 解答下面的問題： (1) 已知正比例函數 y=-x 的圖象為直線 li,求過點 P (1, 3)且與已知直線 li 平行的直線 12的函數表達式； (2) 設直線 12分別與 y 軸、x 軸交于點 A、B,求 li和|2兩平行線之間的距離； (3) 若 Q 為 OA 上一動點，求 QF+QB 的最小值時 Q 點的坐標為 Q(0,= . 5 (4) 在 x 軸上找一點 M，使 BMP 為等腰三角形，求 M 的坐標.(直接寫出答 案) 5 斗 3 1 1 1 1 1 5 -4 3 -2 -1O 12345 *1 -3 5 【解答】解：(i)根據正比例函數 y=

17、-x 的圖象為直線 li,設直線 12的函數表達 式為 y=- x+b, 把 P (i , 3)代入得：3=- i+b，即 b=4, 則過點 P (i, 3)且與已知直線 li平行的直線|2的函數表達式為 y=-x+4; (2)過 O 作 ON 丄 AB,如圖 i 所示，ON 為 li和 l2兩平行線之間的距離，* a 9 5 -4 3 -2 -1O 圉1 : -5 - 第 16頁(共 18頁) 對于直線 y=- x+4,令 x=0,得到 y=4;令 y=0,得到 x=4, A (0, 4), B (4, 0),即 OA=OB=4 ABC 為等腰直角三角形， AB= .=4.爲且 ON 為斜邊

18、上的中線， ON=AB=2_ 則 li和 12兩平行線之間的距離為 2 ：; (3) 找出 B 關于 y 軸的對稱點 B (- 4, 0),連接 PB,與 y 軸交于點 Q,連接 PQ,此時 QP+QB 最小， 設直線 BP勺解析式為 y=mx+n, 把 B 和 P 坐標代入得：嚴謚岸, 解得：m,n 丄二, 5 5 直線 BP勺解析式為 yx+二, 5 5 令 x=0，得到 y 丄,即 Q (0,學)； 故答案為：Q (0,); (4) 如圖 2 所示,分三種情況考慮： 當 PMi=PB 時，由對稱性得到 Mi (- 2, 0); 當 PM2=BM2時，M2為線段 PB 垂直平分線與 x 軸

19、的交點， 直線 PB 的解析式為 y=-x+4,且線段 PB 中點坐標為(2.5, 1.5), 線段 PB 垂直平分線解析式為 y- 1.5=x- 2.5, 即卩 y=x- 1, 令 y=0,得到 x=1,即 M2 (1, 0)； 當 PB=MbB= - - ： ； . =3 打|時，OM3=OB+BM3=4+3 二，此時 M3(4- 3 :, 0), M3 (4+恥,0). 綜上，M 的坐標為(-2, 0)或(1, 0)或(4-3 :, 0)或(4+3 / , 0). 6. 閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學過兩條直線互相垂直的定義，下面 就兩個第 17頁(共 18頁) 一次函數的圖象所確

20、定的兩條直線， 給出它們相互垂直的定義： 設一 次函數 y=kx+b1 (陽工 0)的直線為 11, 一次函數 y=k2X+b2 (k2工 0)的圖象為 直線 12.若 k1?k2=- 1,我們就稱直線11與直線12相互垂直， 現請解答下面的 問題： 已知直線I與直線y=-x- 1 互相垂直，且直線 I 的圖象過點 P (- 1, 4),且直線 I 分別與 y 軸、x 軸交于 A、B 兩點. (1) 求直線 I 的函數表達式； (2) 若點 C 是線段 AB 上一動點，求線段 OC 長度的最小值； (3) 若點 Q 是 AO 上的一動點，求 BPQ 周長的最小值，并求出此時點 Q 的坐 標； (4) 在(3)的條件下，若點 P 關于 BQ 的對稱點為 P,請求出四邊形 ABOP 的 面積.第 18頁(共 18頁) 旳1 5 4 3 2 1 L 1 1111 冷 -5 -4 -3 J -1 ) 12345 -1 2 - -3 -4 -5 【解答】解： (1) 設直線 I 的解析式為 y=kx+b, 直線 I 與直線 y=-丄 x- 1 互相垂直， 2 -丄 k=- 1，解得 k=2, 2 直線 I 的圖象過點 P (- 1, 4), - k+