淺談空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、淺談空間向量在立體幾何中的應(yīng)用立體幾何對廣大職業(yè)學(xué)校的學(xué)生來說是比較抽象，比較難解決的 知識。面對空間直線的位置關(guān)系，夾角以及線面關(guān)系等問題，學(xué)生很 容易望題生畏，找不準(zhǔn)條件，從而無從下手。而空間向量的應(yīng)用有時(shí) 可以使問題簡化。根據(jù)空間向量基本定理，空間任一向量均可由空間 不共面的三個(gè)向量線性表示出來。這樣在解決立體兒何問題吋可以先 把已知和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算，很容易得出結(jié) 論。向量是有“形”的量，研究向量不能離開其圖形。結(jié)合圖形，比較 直觀地揭示其幾何意義，這種分析判斷是最重要的方法與技巧。本文 著重談?wù)効臻g向量在中學(xué)立體幾何解題中的應(yīng)用。一、根據(jù)向量垂直的充要條件來證明

2、空間異面直線的垂直例1、如圖所示，已知空間四邊形abcd中，ab丄cd, ac丄bd,求 證：ad丄bco分析：用向量法，只需證明adbc = 0即可，為了利用已知條件，可把麗，麗用已知存在垂直關(guān)系的向量ab,cd,ac,bc表示。證明：v ab丄cd,4c丄bd.abcd = 0,acbb = 0cd = ab(ad-ac) = o又acbd = ac（ad-ab） = o.応屁=盤而 .ad（ac-ab） = o. ad 丄 bc.二、利用求向量的數(shù)量積來求兩條異面直線所成的角。例2、如圖，棱長為q的正方體mcd-4bcq屮，求異而直線ba與ac所成的角。解:兩=亦負(fù)，猶=盤+丸= baa

3、b + ba+tab+tbc4丄bc,bb|丄ab,bb丄bc.麗殛= q麗就 =o,應(yīng) 而=0,丸 荒 =0 皿況fi ac *cos < b a，ac >.cos<,ac>=-7=_ = -1,' _ （）.va"c>=i20所以異面直線與ac所成的角為60°。注：求異面直線所成的角的關(guān)鍵是求異面直線上面向量的數(shù)量積, 而要求兩向量的數(shù)量積，必須會(huì)把所求向量用空間的一組基向量來表 示。三、根據(jù)向量的數(shù)量積巧求線面所成的角和面面所成的角。 例3：如圖，在正四面體abcd中，棱長為1。(1) 求ad與平面bcd所成的角；(2) 求面ab

4、c與面bcd所成的二面角。例3圖解:(1)因?yàn)樗亩wabcd是正四面體，所以a在底而bcd的射彩是底血三角形bcd的中心0,延長do交bc于e,正是bc的中點(diǎn)，zade就是ad與平面bcd所成的角da de = pa df| cos = 1 xcos =24c0s"ycdade = da（dc-ce） = dadc + dace,da dc = lx lx cos 60° =丄，dace = dalcb=l dacb= 1 麗(而 + 麗)2 2 2 -11 11= dacd + dadb = dadb dadc2 2 2 2=|da|« db *cos60=da

5、 £>c >cos60=l+2xlx42又而鬲而卜網(wǎng) cos a -3cos (7 =cos6z4:.dade=- + o =丄2 2.73 1._v3 v3cos & = , cos 0 ，& = arccos 。2233(2)在aed中，e是bc中點(diǎn)，所以ae丄bc.de丄bc，即zaed就是二面角abcd的平面角q。ede4 = (ec + cd)(ec + cd + zm)2 2 =ec + 2ec cd + ec da + cd da + cd1 x cos 20° + 0 + 1 x 1 x cos 20° + 13 111:.cos a = , cos a -.a - arccos -4 433所以ad與平面bcd所成的角是arccos ,面abc與面bcd所3成的二面角是arccos-。3四、利用向量相等巧證線面平行。例4、如圖：四邊形abcd、adef都是正方形，m wbd,nwae,且bm=an,求證：mn/平面mdb。c證明：作 np/ad, mq/bc因?yàn)?bm=an, bd=ae （abcd, adef 為止方形）所以np =neac ad,mq = 2l.bc=.addbacnp = mq于是四邊形mnpq為平行四邊形，所以mn/pq,而pq u平面cde,所以mn/平面cde