高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破難點(diǎn)03運(yùn)用向量法解題

1、高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破 難點(diǎn)03運(yùn)用向量法解題難點(diǎn)3運(yùn)用向量法解題平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國(guó)使川新教材的高考試題逐漸加人 了對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主耍是幫助考生運(yùn)用向量法來(lái)分析，解決一些相關(guān) 問(wèn)題.難點(diǎn)磁場(chǎng)()三角形 abc 中,a(5, 一1)、b(-l, 7)、c(l, 2),求：(1)bc 邊上的中線 am的長(zhǎng)；(2) zcab的平分線ad的長(zhǎng)；(3)cosabc的值.案例探究例1如圖，已知平行六面體abcda1b1c1d1的底面abcd是菱形，且zc1cb二zc1cd二zbcd.(1) 求證：c1c丄bd.(2) 當(dāng)cd的值為多少時(shí)，能使a1c丄平面c1bd?

2、請(qǐng)給出證明.cc1命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問(wèn)題以及對(duì)立體兒何圖 形的解讀能力.知識(shí)依托：解答木題的閃光點(diǎn)是以向量來(lái)論證立體兒何小的垂直問(wèn)題，這就使兒何問(wèn)題 代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡(jiǎn)單錯(cuò)解分析：木題難點(diǎn)是考生理不清題u中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就 是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用a丄b ab二0來(lái)證明兩肓線垂直，只耍證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù) 量積為零即nj.(1) 證明：設(shè)二紅，=b, ccl=c,依題意，|a| = |b|,、 cc1中兩兩所成夾角為0 ,于是 =ab, cc1 =c (ab) =c ac b=

3、| c | |a|cos9|c| b | cos 6 =0, /.c1c 丄 bd.(2) 解：若使a1c丄平而c1bd,只須證a1c丄bd, a1c丄dc1,由cai cl ( aa1) ( cc1)=(a+b+c) (ac) = |a|2+a b b c |c|2=|a|2 |c|2+|b| |a|cos 0 |b| |c| cos o =0,得當(dāng)|a| = |c|時(shí)，a1c丄dc1,同理可證當(dāng)|a| = |c|時(shí)，a1c丄bd, .*.cd=1時(shí)，a1c丄平面 c1bd. cc1例2如圖，直三棱柱abca1b1c1,底面aabc中,ca二cb二1,zbca二90° , aa1=

4、2, m、n 分別是 a1bk a1a 的中點(diǎn).(1) 求的長(zhǎng)；(2) 求 cos<bal,cbl>的值;i(3) 求證：a1b 丄c1m.命題意圖：木題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題屬級(jí)題 fi.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系0 xm,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo) 和求出向量的坐標(biāo).錯(cuò)解分析：木題的難點(diǎn)是建系后，考牛不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面x()y內(nèi)的a、b、c點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方 向來(lái)找出其他的點(diǎn)的處標(biāo).(1) 解：如圖，以c為原點(diǎn)建立空間玄飭坐標(biāo)系0-xyz.依題意得:b(0, 1, 0), n(l,

5、 0, 1)a | | = (1 0)2(0 1)2(1 0)2 .(2) 解:依題意得:al(l, 0, 2), c(0, 0, 0), bl(0, 1, 2).ba1 二(1,1,2),cb1=(o, 1, 2)bai cbl = lx0+(-l) x1+2x2=3 |ba11 = (10)2(01)2(2 0)2|cb1|(0 0)2(1 0)2(2 0)2cos ba1,cb1 113630. 10(3) 證明：依題意得：cl(0, 0, 2), m(,2) 112211c1(, ,o),a1( 1, 1,2) 2211aa1 cl ( 1)1( 2)0 0, al cl, 22a1b

6、丄c1m.錦囊妙計(jì)i 解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，-要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地 進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的木質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相 轉(zhuǎn)化和密切結(jié)介的思想.2. 向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾幷等問(wèn)題中.常用向量的 直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題；禾i用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩 條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題.3. 用空間向量解決立體兒何問(wèn)題一般可按以卜過(guò)程進(jìn)行思考：(1) 要解決的問(wèn)題對(duì)用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？ii(2) 所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量豈接表示？(3

7、) 所需要的向量若不能玄接丿ijc知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易川哪個(gè)未 知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？(4) 怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1. ( )設(shè) a、b、c、d 四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(一1, 0), (0, 2), (4, 3), (3, 1),則 四邊形abcd%()a.正方形b.矩形c.菱形d.平行四邊形2. ()已知zabc 中,=a, a b<0, saabc=b, 15, |a|=3, |b|=5,則 a 與 b 的夾角是()4a. 30° b. -150° c. 15

8、0° d. 30° 或 150°二、填空題3. ()將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y二2x 5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3, 1),則向量滬.4. ()等腰 abc和等腰rtaabd有公共的底邊ab,它們所在的平而成60°角，若 ab=16 cm, ac二 17 cm,則 cd二.三、解答題5. ( )如圖，在zxabc 中，設(shè)二q, =b,=c,=xa, (0<x<l), =ub(0<u<l),試用向量 a, b 表示 c.6. ()正三棱柱abca1b1c1的底面邊氏為3,側(cè)棱長(zhǎng)為2a.(1) 建立適當(dāng)

9、的坐標(biāo)系,并寫(xiě)出a、b、a、c1的坐標(biāo);(2) 求ac1與側(cè)而abb1a1所成的角.7. ()知兩點(diǎn)m(-l, 0), n(l, 0), a點(diǎn)p使，成公差小于零的等差 數(shù)列.點(diǎn)p的軌跡是什么曲線?(2)若點(diǎn)p坐標(biāo)為(xo, yo), q為與的夾角,求tan().& ()已知e、f、g、ii分別是空間四邊形abcd的邊ab、bc、cd、da的中 點(diǎn).(1) 用向量法證明e、f、g、ii四點(diǎn)共面；(2) 用向量法證明:bd平® efgh；設(shè)m是eg和fh的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)0,有iii 1().4參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解：(1)點(diǎn) m 的坐標(biāo)為 xm二 117 299 o;ym

10、,m(0,) 2222221. 29| |(5 0)2( 1)2 2(2) | |(51)2(17)210,| |(51)2(12)2 5d點(diǎn)分的比為2.xd二121172 211 ,yd 12312311114| |(5 )2(1)2 2. 333(3) zabc 是與的夾角,而=(6, 8) , =(2, 一5).cosabc 6 2(8)( 5)62( 8)2 22( 5)2 521029 2629 145殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：二(1, 2) ,=(1, 2),=, ，又線段ab與線段dc無(wú)公共點(diǎn)，abdc且|ab|二|dc|, abcd是平行四邊形,又| |二,=(5, 3) ,

11、|=34,i i i, abcd不是菱形,更不是正方形;又=(4, 1),1 4+2 - 1二6h0,不垂直于,aabcd也不是矩形，故選d.答案:d2.解析：v15113 5sina 得 sin a 二，則 a =30° 或 a =150。. 242又tabvo,a =150° .答案：c二、3. (2, 0) 4. 13 cm三、5.解：與共線,/.=m=m()=m(u ba), /.=+=a+m(y ba) = (lm)a+mu b® tv又與共線, =n=n()=n(x ab),=+=b+n(x ab)=n x a+(ln)b由，得(1m) a+ u mb

12、= x na+ (1n) b.1 m a n m 10 va 與 b 不共線，：即 m 1 nn m 10解方程組得：m二11 l,n代入式得c=(lm)a+mu b= (1 u )a+ u (1 111入)b.6. 解：(1)以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)0,以ab所在直線為oy軸，以aa1所在直線為0z軸，以 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面abb1a1垂直的直線為ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知,得 a(0, 0, 0) , b(0, a, 0) , al (0, 0, 2a), cl (-aa, 222a).a, 0,0) , 2(2)取 a1b1 的中點(diǎn) m,于是有 m(0, ,2a),連 am, mci,有

13、mc1=(-且二(0, a, 0 ) ,aa1= (0,02a) a2由于mci =0, mci aa1=o,所以mc1±ffiabblal, .ac1與am所成的角就是ac1與側(cè) 而 abb1a1 所成的角.vac 1=( 3aaa, 2a),(0, 2a), 222a29 ac1 02a2 a 4492a32a a2 cos ac1,所以ac1與所成的角,即ac1與側(cè)abb1a1所成的角為30° .7. 解：設(shè) p(x, y)，由 m(1, 0) , n(l, 0)得，=(1x, y) ,=(1x,y), =(2, 0), /.=2(l+x), 二 x2+y2 1,=2(1x).于是，v ,是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于1 22 x2 y 3 x y 1 2 仃 x) 2(1 x)即2x02(1 x) 2(1 x) 0所以，點(diǎn)p的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的右半圓.點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x0, y0)xo yo 12,|(1x)2 y0(1xo)2 yo(4 2x0) (42x0)24xocos4 x022222210 xocos1,0,23sincos2lsin