多元積分知識(shí)點(diǎn)小結(jié)

1、多元積分知識(shí)點(diǎn)小結(jié)與定積分、重積分類(lèi)似，曲線(xiàn)積分及曲面積分也都是某種和式的極限, 并且有類(lèi)似的性質(zhì)，他們都是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)概念. 由于他們的實(shí)際背景有差異，故曲線(xiàn)積分及曲面積分各分成兩類(lèi)： 曲線(xiàn)積分分為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分 （第一類(lèi)曲線(xiàn)積分） 和對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分（第二類(lèi)曲線(xiàn)積分） ；曲面積分分為對(duì)面積的曲面積分（第一類(lèi)曲面積分）和對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（第二類(lèi)曲面積分）.需要特別指出的是，對(duì)于定積分、二重積分、三重積分、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分、第一類(lèi)曲面積分， 這五種類(lèi)型的積分的定義、性質(zhì)、中值定理及物理應(yīng)用都是類(lèi)似的，可以把它們的定義、性質(zhì)、中值定理及物理應(yīng)用統(tǒng)一起來(lái).首先約定，集合E 的測(cè)

2、度的含義是：如果集合E 是實(shí)軸上的區(qū)間，則E 的測(cè)度即為該區(qū)間的長(zhǎng)度；如果集合E 是平面上的區(qū)域，則E 的測(cè)度即為該區(qū)域的面積；如果集合E 是空間立體，則E 的測(cè)度即為該立體的體積； ；等等.1. 定 義 ： 設(shè) 函 數(shù) f ( P) 在 集 合 E 上 有 定 義 ， 以 任 意 方 式 把 集 合 E 分 成 n 部 分E1,E2 , En ，它們的測(cè)度分別記為E1 ,E2, ,En . 在 Ei 上任取一點(diǎn) Pi(i1,2, , n) ，n作和式f ( Pi ) Ei ，記maxEi的直徑 . 如果不論集合 E 如何分法，也不論 Pi 在 Ei 上i11 in如何取法，極限nlimf (

3、Pi ) Ei0 i1都存在并且是唯一的，則稱(chēng)函數(shù)f ( P) 在集合 E 上可積分，并稱(chēng)該極限值為函數(shù)f ( P) 在集合 E 上的積分，記為Ef ( P)dE ，即nf (P)dElimf (Pi ) Ei .E0 i 1例如，如果 E 是實(shí)軸上的區(qū)間 a,b ， f (P)f (x) 為一元函數(shù)，則上述積分即是定積bD ， f (P)f (x, y) 為二元函數(shù)，則上述積分即是分f (x)dx ；如果 E 是平面上的區(qū)域a二重積分f( , )d； ；如果E 是空間曲面，f ( P) f ( x, y, z)為三元函數(shù)，則x yD上述積分即是第一類(lèi)曲面積分f (x, y, z) dS ；等

4、等 .2. 性質(zhì)： 上述五種類(lèi)型的積分的性質(zhì)是相通的，只要在定積分的各條性質(zhì)中把bf ( P)dE ，則定積分的各條性質(zhì)就成為二重積分、f ( x)dx 換成三重積分、 第一類(lèi)曲線(xiàn)aE積分、第一類(lèi)曲面積分的共性.例如，（ 1） k 為常數(shù)，則kf (P)dEkf (P)dE ；EE（ 2）f ( P) g(P) dEf ( P)dEg ( P)dE ；EEE（ 3）dE集合 E 的測(cè)度；E（ 4）如果 EE1E2 ，且 E1E2，則f (P)dEE1f (P)dEf (P)dE ；EE23. 中值定理： 設(shè)函數(shù) f ( P) 在集合 E 上連續(xù)，則在E 上至少存在一點(diǎn)P ，使得f (P)dEf

5、 ( P )集合 E的測(cè)度.E例如，如果 P 是實(shí)軸上的區(qū)間a, b ， f (P)f ( x) 為一元函數(shù)，則bf ( x)dxaf ( )(b a) ， a, b ；如果 P 是平面上的區(qū)域 D ， f ( P)f ( x, y) 為二元函數(shù)，則f ( x, y)df ( , )區(qū)域 D 的面積， (, )D ； ；等等 .D由于考研大綱規(guī)定中值定理的考試范圍只有定積分和二重積分，所以三重積分、 第一類(lèi)曲線(xiàn)積分、第一類(lèi)曲面積分的中值定理不需要掌握.4. 物理應(yīng)用： 第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的物理意義是變力沿曲線(xiàn)所做的功，第二類(lèi)曲面積分的物理意義是流體沿曲面指定側(cè)的流量. 除此之外，二重積分，三重積分

6、、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分、第一類(lèi)曲面積分在物理上的應(yīng)用主要分為三個(gè)方面，分別是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 （慣性矩）、質(zhì)心和引力 .因?yàn)檫@些物理應(yīng)用都是類(lèi)似的，所以我們對(duì)每個(gè)物理應(yīng)用僅對(duì)上述四個(gè)積分中的部分積分作介紹 .（ 1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：設(shè)質(zhì)點(diǎn)P 的質(zhì)量為 m，質(zhì)點(diǎn) P 繞直線(xiàn) L 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為 r ，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（此處不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方向）為Imr 2.設(shè)集合 E 的密度為( P) ，在 E 上任取微元 dE ，則 dE 的質(zhì)量為( P)dE . 如果 dE 繞直線(xiàn) L 轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為r ，則 dE 繞直線(xiàn) L 轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dIr 2(x, y)dE ，從而 E繞直線(xiàn) L 轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 IEr 2( x

7、, y)dE .如果 E 是平面區(qū)域 D ，密度為( x, y) ，相應(yīng)的 dE d， (x, y)d ， D 繞 x 軸、y 軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I xy2(x, y)d,I yx2( x, y)d，I O( x2y2 )( x, y)d.DDD如果 E 是空間區(qū)域，密度為( x, y, z) ，相應(yīng)的 dEdv ，( x, y, z)dv ，繞 x 軸、y 軸， z 軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I x( y2z2 )( x, y, z) dv,I y(x2z2 )(x, y, z)dv,I z( x2y 2 )( x, y, z)dv,I O(x2y2z2 ) ( x, y, z) dv

8、.如果 E 是平面曲線(xiàn) L ，密度為(x, y) ，相應(yīng)的 dEds ， ( x, y)ds ， L 繞 x 軸、 y軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I xy2 ( x, y)ds,I yx2( x, y)ds ， I O( x2y2 )( x, y)ds .LLL當(dāng) E 是空間曲線(xiàn)時(shí)，繞 x 軸、 y 軸， z 軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與上述類(lèi)似 .如果 E 是空間曲面，密度為( x, y, z) ，相應(yīng)的 dEdS ，(x, y, z) dS ，繞 x 軸、y 軸， z 軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I x( y2z2 )(x, y, z)dS,I y( x2z2 )( x, y, z)dS,I z( x2y

9、2 )(x, y, z)dSI O( x2y2z2 ) ( x, y, z)dS .（2）質(zhì)心：設(shè)質(zhì)點(diǎn)系 P1,P2, Pn 位 于 某 坐 標(biāo) 系 中 相 應(yīng) 于 u 軸 的 坐 標(biāo) 分 別 為u1, u2 , , un ，質(zhì)量分別為 m1, m2 , mn ,則該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心相應(yīng)于u 軸的坐標(biāo)為um1u1m2u2mn un .m1m2mn設(shè)集合 E 的密度為( P) ，在 E 上任取微元 dE ， dE 相應(yīng)的坐標(biāo)為 u ， dE 的質(zhì)量為( P)dE ，集合 E 的總質(zhì)量為E( P) dE ，則集合 E 的質(zhì)心相應(yīng)于 u 軸的坐標(biāo)為u( P) dEuE.E(P)dE如果 E 是平面區(qū)域

10、D ，密度為(x, y) ，相應(yīng)的 dE d ，則 D 的質(zhì)心相應(yīng)于x 軸和 y軸的坐標(biāo)分別為x ( x, y)dy (x, y) dxD, yD.( x, y)d( x, y)dDD特別地，當(dāng) ( x, y)常數(shù)時(shí)，上式成為xdydxD, yD，ddDD此即平面區(qū)域D 的形心坐標(biāo) .如果 E 是空間區(qū)域，密度為(x, y, z) ，相應(yīng)的 dEdv ，則的質(zhì)心相應(yīng)于x 軸，y 軸和 z 軸的坐標(biāo)分別為x ( x, y, z)dvy(x, y, z) dvz(x, y, z) dvx,y,z.(x, y, z)dv( x, y, z)dv( x, y, z) dv如果 E 是平面曲線(xiàn)L ，密度

11、為(x, y) ，相應(yīng)的 dEds ，則 L 的質(zhì)心相應(yīng)于x 軸和 y軸的坐標(biāo)分別為xLLx ( x, y)ds,yL( x, y) dsLy ( x, y)ds.(x, y)ds當(dāng) E 是空間曲線(xiàn)時(shí)時(shí)，的質(zhì)心相應(yīng)于x 軸、 y 軸， z 軸的坐標(biāo)與上述類(lèi)似.如果 E 是空間曲面，密度為(x, y, z) ，相應(yīng)的 dEdS ，則的質(zhì)心相應(yīng)于x 軸，y 軸和 z 軸的坐標(biāo)分別為x( x, y, z) dSy( x, y, z) dSz(x, y, z)dSx,y,z.( x, y, z)dS( x, y, z)dS( x, y, z)dS（ 3）引力：萬(wàn)有引力定律設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)p, P ，其質(zhì)量

12、分別為 m, M ， p 與 P 的距離為 r ，則 p 與 P 之間的引力大小為FkmM,r 2其中 k 是引力常數(shù) .設(shè)質(zhì)點(diǎn) P0 位于某坐標(biāo)系中 u 軸的坐標(biāo)為 u0 ，其質(zhì)量為 M . 設(shè)集合 E 的密度為(P) ，在 E 上任取微元 dE ， dE 相應(yīng)的坐標(biāo)為 u ， dE 的質(zhì)量為( P)dE ， dE 與 P0 的距離為 r ，則 dE 與 P0之間的引力為kM (P)dE，其中 k 是引力常數(shù)，該引力在u 軸上的分力為r2u u0 kM( P)dErr2，從而集合 E 與 P0 之間引力在 u 軸上的分力大小為kM (u u0 ) (P)dE .FuEr3如果質(zhì)點(diǎn) P0 位于 xOy 平面內(nèi)，其坐標(biāo)為 ( x0 , y0 ) ，而 E 是平面區(qū)域 D ，密度為( x, y) ，相應(yīng)的 dEd， ( x, y)d ，則 D 與 P0 之間的引力在x 軸和 y 軸上的分力分別為FxkM ( x x0 ) ( x, y)d , FykM ( y y0 ) ( x, y)3/2 d.D ( x x0 )223/222( y y0 )D ( x x0 )( y y0 )如果質(zhì)點(diǎn) P0 位于空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，其坐標(biāo)為( x0 , y0 , z0 ) ，而 E 是空間曲面，密度為(x, y, z) ，相應(yīng)的 dEdS ， ( x, y,