第一課：數(shù)的發(fā)展史

1、第一課：數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展人類是動物進化的產(chǎn)物，最初也完全沒有數(shù)量的概念。 但人類發(fā)達的大腦對客觀世界的認識已經(jīng)達到更加理性和 抽象的地步。就這樣經(jīng)過漫長的生活實踐，由于記事和分配 生活用品等方面的需要，便逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。在遠古時代，人們以捕獵為生。漸漸剩余的食物變多了 和每次收獲的數(shù)量各不相同，則他們就要對每次捕獲的獵物 進行記錄。他們將捕獲一頭獵物用一塊小石頭代替，捕獲兩 頭就用兩塊小石頭，將石頭放進容器。這樣人們對數(shù)就有了 最初的概念。慢慢地到后來就演變成了 “結繩記數(shù)”。對于 結繩記數(shù)這是相隔很近的古代人共同做過的事。在我國古書 易經(jīng)中就有記載“結繩而治”的思想。公元前1500年, 南

2、美秘魯印加族也習慣于“結繩記數(shù)”。傳說古代波斯王打 仗時也常用繩子打結來計算天數(shù)。后來又產(chǎn)生了很多計數(shù)方 式。例如：用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地 上計數(shù)也都是古人常用的辦法。這些辦法的不斷沿用以及各 種計數(shù)方式的層出不窮和廣泛使用，促使人類逐漸形成數(shù)的 概念和記數(shù)的符號。1、復雜而又殘缺的羅馬數(shù)字如今，在鐘表上我們也會經(jīng)?？吹綇碗s的羅馬數(shù)字。羅 馬數(shù)字起源于羅馬，它一共由七個字符組成。這套數(shù)字符號 大約產(chǎn)生在兩千五百年前，羅馬人還處在文化發(fā)展的初期， 當時他們用手指作為計算工具。為了表示一、二、三、四個 物體，就分別伸出一、二、三、四個手指；表示五個物體就 伸出一只手；表示十個物

3、體就伸出兩只手。這種習慣人類一 直沿用到現(xiàn)在。人們在日常交談中，往往就是運用這樣的手 勢來表示數(shù)字的。當時，羅馬人為了記錄這些數(shù)字，便在羊 皮上畫出i、ii、iii來代替手指的數(shù)；要表示一只手時， 就寫成“v”形，表示大指與食指張開的形狀；表示兩只手 時，就畫成“vv”形，后來又寫成一只手向上，一只手向 下的“x”，這就形成了羅馬數(shù)字的雛形。后來為了表示較 大的數(shù)，羅馬人用符號c表示一百。c是拉丁字“century” 的頭一個字母，century就是一百的意思。用符號m表示一 千。m是拉丁字“ndlle"的頭一個字母，m訂le就是一千的 意思。取字母c的一半，成為符號l,表示五十。用

4、字母d 表示五百。若在數(shù)的上面畫一橫線，這個數(shù)就擴大一千倍。 這樣一來整套的羅馬數(shù)字符號就產(chǎn)生了分別：i,v,x,l,c,d, m 它們代表 1,5, 10, 50, 100, 500, 1000o 用羅 馬數(shù)字表示極其的復雜那是因為羅馬數(shù)字中缺少“0”這也 是羅馬數(shù)字發(fā)展到現(xiàn)在的一大遺憾。其實在公元5世紀時，“0”已經(jīng)傳入羅馬。但是由于羅馬教皇的兇殘很守舊，他 嚴令禁止“0”的使用。據(jù)說曾經(jīng)有一位學者在其筆記中描 述了許多關于“0”的說明和好處。結果卻被召去施行了拶刑，從此失去了握筆的能力。這樣一來，沒有人再敢大膽的 使用“0”因此“0”就與羅馬數(shù)字失去了聯(lián)系。2、中國古代數(shù)的產(chǎn)生籌算同樣我

5、國古代也十分重視記數(shù)符號，在我國最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數(shù)的符號，不過難寫難認，后來就沒有 人再沿用了。到春秋戰(zhàn)國時期，生產(chǎn)迅速發(fā)展，為了適應這 一需要，我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計算方法-籌算?；I算用的算籌，算籌有竹制的小棍，也有骨制的。它是按規(guī) 定的橫豎長短順序擺好，然后就可用來記數(shù)和進行運算。隨 著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號了。算籌擺 法有橫縱兩式，都能表示同樣的數(shù)字。從算籌數(shù)碼中沒有”10” 這個數(shù)可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進 制。9位以上的數(shù)就要進一位。同一個數(shù)字放在百位上就是 幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計算法在當時是很先進 的。因為在世界

6、的其他地方真正使用十位進制時已到了公元6世紀末。遺憾的是籌算中也沒有“0” o3、零的產(chǎn)生零在現(xiàn)實生活中很常見，但是卻都沒有一個合適的符 號。就像籌算數(shù)碼中沒有"零”，遇到”零'就空位。比如"6708", 就可以表示為"-lnr"o數(shù)字中沒有"零"，是很容易發(fā)生錯誤 的。所以后來有人就把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許 與”零”的出現(xiàn)有關。不過多數(shù)人認為，”(t這一數(shù)學符號的發(fā) 明應歸功于公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（）表 示零，后來逐漸變成了”0“。說起”0”的出現(xiàn)。我國古代文字 中，"零"

7、;字出現(xiàn)很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只 表示"零碎"、"不多"的意思。女零頭"、"零星"、"零丁”。” 一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿 拉數(shù)字的引進。"105”恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0”恰好 對應，"零"也就具有了 "0”的含義。4、通用的數(shù)符的產(chǎn)生一一阿拉伯數(shù)字然而目前世界上通用的數(shù)碼是1、2、3、4、5、6、7、8、9、 0,人們稱之為阿拉伯數(shù)字。

8、實際上它們是古代印度人最早 使用的。古代印度人創(chuàng)造了阿拉伯數(shù)字后，大約到了公元7 世紀的時候，這些數(shù)字傳到了阿拉伯地區(qū)。到13世紀時， 意大利數(shù)學家斐波那契寫出了算盤書，在這本書里，他 對阿拉伯數(shù)字做了詳細的介紹。并且把古希臘的數(shù)學融進了 自己的數(shù)學中去，又把這一簡便易寫的十位進制記數(shù)法從阿 拉伯地區(qū)傳到了歐洲，歐洲人只知道這些數(shù)字是從阿拉伯地 區(qū)傳入的，所以便把這些數(shù)字叫做阿拉伯數(shù)字。以后，這些 數(shù)字又從歐洲傳到世界各國，逐漸演變成今天的阿拉伯數(shù) 字。5、負數(shù)的產(chǎn)生數(shù)就是這樣在不同的地域隨著不同區(qū)域文化以及人類 長期的實踐生活中產(chǎn)生了。然而伴隨著生產(chǎn)、生活的不斷發(fā) 展需要，簡單的自然數(shù)已遠遠

9、無法滿足。簡單的說，在實際 生活中人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義，比如增加和減 少、前進和后退、上升和下降、向東和向西。為了能過更加 形象的表示這些量，隨之就產(chǎn)生了負數(shù)。據(jù)相關記載中國是世界上首先使用負數(shù)的國家。戰(zhàn)國時 期的李悝在法經(jīng)中已出現(xiàn)使用負數(shù)的實例：“衣五人終 歲用千五百不足四百五十.”還有專家們在甘肅居延出土的 漢簡中，發(fā)現(xiàn)了大量的“負算”，如“相除以負百二十四算”、 “負二千二百四十五算”?？梢娯摂?shù)在生活實踐中是強烈被 需求的。同時負數(shù)產(chǎn)生的還有另一個原因：解方程的需要。世界 上第一部關于負數(shù)完整介紹的書是九章算術。其中解釋 負數(shù)的產(chǎn)生是這樣的：在解方程組的時候常常會碰到小數(shù)減

10、大數(shù)的情況，為了使方程組能夠繼續(xù)解下去，數(shù)學家就發(fā)明 了負數(shù)。后來劉徽在注解九章算術時就給出了負數(shù)的定 義：“兩算得矢相反，要以正負以名之?！?在我國古代籌算中，區(qū)分正數(shù)和負數(shù)有兩種方法：一種是用 不同顏色的算籌分別表示，通常用紅籌表示正數(shù)，黑籌表示 負數(shù)；另一種是采取在正數(shù)上面斜放一支籌，來表示負數(shù)。 因為后者的思想較新，很快發(fā)展為在數(shù)的最前面一位數(shù)碼上 斜放一小橫來表示負數(shù)。1629年，法國數(shù)學家吉拉爾在代數(shù)新發(fā)現(xiàn)中用減號表 示負數(shù)和減法運算，吉拉爾的負數(shù)符號得到人們的公認，一 直沿用至今。6、分數(shù)的產(chǎn)生在數(shù)的不斷完善和發(fā)展的同時，人們發(fā)現(xiàn)在實際生活中，所遇到的要進行測量和計算中，往往不能

11、恰好得到整數(shù) 的結果。為了能過更好的這種實際的需要，于是人們就發(fā)明 創(chuàng)造了分數(shù)。分數(shù)的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個漫長的過程。開始人們 只使用簡單的分數(shù)，如一半，一半的一半等，后來才逐漸出 現(xiàn)了三分之一，三分之二等簡單的分數(shù)。分數(shù)在我國很早就有了，它是在用算籌做除法運算的基礎上產(chǎn)生的。當除不盡時，把余數(shù)作為分子，除數(shù)作為分母, 就產(chǎn)生了一個分子在上，分母在下的分數(shù)籌算形式。我國古 代有許多關于分數(shù)的記載。女口：在左傳一書中記載，春 秋時代，諸侯的城池，最大不超過周國的1/3,中等的不超 過1/5,小的不得超過1/9；秦始皇時期，擬定了一年的天 數(shù)為365又1/4天；九章算術是我國古代的一本專著， 其中第一章

12、方田里就講了分數(shù)四則算法。古代分數(shù)用“1/111”表示1/3。漢語中的分數(shù)表示法，頗為復雜。繼中國的籌算分數(shù)之后，又過了五六百年的時間，印度 才出現(xiàn)了有關分數(shù)理論的論述。印度人記錄分數(shù)的形式與我 國古代的籌算分數(shù)是一樣的，只不過使用的是阿拉伯數(shù)字。再往后，阿拉伯人發(fā)明了分數(shù)線，分數(shù)的表示法就成為現(xiàn)在 這樣了。7、數(shù)發(fā)展史上的危機一一認識上的危機數(shù)的家族不斷地在龐大，但是與此同時在這發(fā)展過程中 也有過一些不愉快的事。讓我們回到大經(jīng)貿(mào)部2500年前的希臘，那里有一個畢 達哥拉斯學派，它是由公元前5世紀古希臘著名的數(shù)學家和 哲學家畢達哥拉斯創(chuàng)立的。這是一個合數(shù)學、科學和哲學三 位一體的神秘學派。該學

13、派的基石是畢達哥拉斯提出的“萬 物皆數(shù)”。并且擁有一個堅定的信念“一切的數(shù)均可表示成 整數(shù)或整數(shù)之比”。他們認為"數(shù)"是萬物的本源，支配整個 自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結為數(shù)或數(shù)的 比例，這是世界所以美好和諧的源泉。但是學派中一個叫希 帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發(fā)現(xiàn)沒有一個能 用整數(shù)比例寫成的數(shù)可以表示它。如果設這個數(shù)為x,既然, 推導的結果即x2=20他畫了一個邊長為1的正方形，設對 角線為x,根據(jù)勾股定理x2-12+12=2,可見邊長為1的正方 形的對角線的長度即是所要找的那個數(shù)，這個數(shù)肯定是存在 的?？伤嵌嗌伲坑衷撛鯓颖硎舅?？希帕索斯等人

14、百思不 得其解，最后認定這是一個從未見過的新數(shù)。這個新數(shù)的出 現(xiàn)使畢達哥拉斯學派感到震驚，并且動搖了他們哲學思想的 核心。為了保持支撐世界的數(shù)學大廈不會坍塌，他們規(guī)定對 新數(shù)的發(fā)現(xiàn)要嚴守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個秘密 泄露了出去。據(jù)說他后來被扔進大海喂了鯊魚。然而真理是 藏不住的。這個小小的新數(shù)終究還是被公布了。然而它的產(chǎn) 生無疑對古希臘人的觀念產(chǎn)生了極大的沖擊。這個新數(shù)推翻 了完全符合常識的斷論，這是多么的荒謬??！然而面對這一 荒謬，人們卻束手無策，這樣一來直接導致了人們認識上的 危機。慢慢的人們又發(fā)現(xiàn)了很多不能單純用兩整數(shù)之比寫出 來的數(shù)，以及最重要的一個無理數(shù)一一圓周率。人們把它寫

15、 成“。逐漸地，人們對無理數(shù)的認識變得深刻了。8、虛數(shù)的產(chǎn)生有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。在實數(shù)范圍內(nèi)對各種數(shù)的 研究已達到相當高深和豐富的程度。在無理數(shù)的地位不斷地 被確定之后，數(shù)學家們又發(fā)現(xiàn)即使用上所有的實數(shù)也無法解 決代數(shù)方程的求解問題。像x"2+l=0這樣最簡單的二次方程, 在數(shù)范圍內(nèi)沒有解。12世紀的印度大數(shù)學家婆什枷羅都認為 這個方程是沒有解的。他認為正數(shù)的平方是正數(shù)，負數(shù)的平 方也是正數(shù)，因此，一個正數(shù)的平方根是兩重的；一個正數(shù) 和一個負數(shù)，負數(shù)沒有平方根，因此負數(shù)不是平方數(shù)。這等 于不承認方程的負根的存在。到了 16世紀，卡爾達諾的v 大衍術第一次大膽使用了負數(shù)平方根的概

16、念。如果不使用 負數(shù)平方根，就是可能無法解決四次方程的求解問題。雖然 他寫出了負數(shù)的平方根，但他卻猶豫不決，他不得不聲明， 這個表達式是虛構的，想象的，并且稱它為“虛數(shù)”。但是 數(shù)學家們使用它時，還是非常小心謹慎，就連著名的數(shù)學家 歐拉在使用虛數(shù)時也不得不給自己的論文加上一個評語。一 切形如的數(shù)學式，都是不可能有的、想像的數(shù)，因為它們 所表示的是負數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它 們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比 什么都不是少些什么。它們線性虛幻。雖然大師的這段話讀 起來有些拗口，但從中可以看出他用虛數(shù)時也不那么理直氣 壯。對于早期的數(shù)學家們來說，使用虛數(shù)似乎是合理的和可 以接受的倒不是像"2+1=0這樣的二次方程的求解問題，而 是具有實數(shù)根的三次方程求解問題。有趣的是虛數(shù)它就如同實數(shù)在鏡子離得映像一樣，不僅 同實數(shù)形影不離，而且與實數(shù)相結合構成復數(shù)。因此虛數(shù)在 最開始被稱為實數(shù)的靈魂。就這樣虛數(shù)闖進了數(shù)的領域，但 是人們對于它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎也沒 有要用復數(shù)來表示的量。這樣一來人們對虛數(shù)產(chǎn)生了種種