破解圓錐曲線離心率范圍的常見(jiàn)策略

1、s s 破解圓錐曲線離心率范圍的常見(jiàn)策略一、直接利用條件尋找ca,的關(guān)系求解例1設(shè)1a，則雙曲線1) 1(2222ayax的離心率e的取值范圍是a.)2,2( b.)5,2( c.)5,2( d.)5,2(解析根據(jù)題意得5122)1(2222aaaaae. 選b. 小結(jié)通過(guò)對(duì)題目已知條件的分析，盡可能直接建立離心率的不等關(guān)系來(lái)進(jìn)行求解.例2橢圓)0(12222babyax的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為21,ff，斜率為k的直線l過(guò)右焦點(diǎn)2f，且與橢圓交于ba,兩點(diǎn)，與y軸交于m點(diǎn). 若22bfmb，當(dāng)62|k時(shí)，求橢圓離心率的取值范圍. 解析設(shè)直線l的方程為)(cxky. 令0 x，得cky，即點(diǎn)m的坐標(biāo)為

2、),0(ck. 點(diǎn)b分2mf的比為 2，332kcycxbb，即)3,32(kccb. 點(diǎn)b在橢圓上，將點(diǎn)b的坐標(biāo)代入已知等式得1394222eek. 62| k，242k，即24139422ee. 整理得0937424ee. 又10e，121e. 小結(jié)解答本題的關(guān)鍵是如何建立k與e之間的關(guān)系， 然后再利用k的取值范圍來(lái)求解e的取值范圍，同時(shí)要注意橢圓離心率e隱含的范圍為) 1 ,0(e.例3斜率為 2的直線過(guò)中心在原點(diǎn)且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上，則雙曲線的離心率的取值范圍是a.2e b.31e c.51e d.5e解析設(shè)雙曲線的方程為)0,0(122

3、22babyax，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為)0,(c，直線l的方程為)(2cxy. 由)(212222cxybyax，得0)4(8)4(2222222bcacxaxab. 根據(jù)題意得04)4(0)4)(4(46422222212222224abbcaxxbcabaca. 于是有5.05,042222eacab. 選d. 小結(jié)解答本題時(shí)， 學(xué)生要將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立后，使判別式大于零，同s s 時(shí)注意021xx.二、利用圓錐曲線的第一定義或第二定義求解例 4雙曲線)0,0(12222babyax的兩個(gè)焦點(diǎn)為21,ff，若p為其上一點(diǎn)，且|2|21pfpf，則雙曲線離心率的取值范圍是a.)3 ,

4、1( b.3 , 1( c.), 3( d.),3解析由雙曲線的定義得apfpfapfpfpf4|2| ,2|21221. |2121ffpfpf. 3,26acca. 故雙曲線離心率的取值范圍是3 , 1(. 選b. 例5雙曲線)0,0(12222babyax的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是a.2, 1( b.),2 c.21 , 1( d.),21解析利用雙曲線的焦半徑公式有aeacaacaxeaex)1() 1(2200. 2121012112eeecae. 又雙曲線的離心率1e，所以選 c. 小結(jié)圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離或到準(zhǔn)線的距離，通常要

5、用它們的第一定義或第二定義來(lái)建立聯(lián)系.三、利用圓錐曲線的范圍( 有界性 ) 求解例6橢圓)0( 1:2222babyaxm的左、右焦點(diǎn)分別為21,ff，p為橢圓m上的任意一點(diǎn)，且21pfpf的最大取值范圍是3,22cc，其中22bac，則橢圓m的離心率e的取值范圍是a.21,41 b.22,21 c.) 1 ,22 d.)1 ,21解析設(shè)),(),0,(),0 ,(21yxpcfcf，則22221cyxpfpf. 又12222byax，22222220,axaxbby. 222222222221)1(cbxaccbxabpfpf，, 022ax. 當(dāng)22ax時(shí)，2max21|bpfpf，222

6、13222ecbc. 選b. 小結(jié)確定橢圓上點(diǎn)),(yxp與cba,的等量關(guān)系， 由橢圓的范圍， 即byax| ,|建立不等關(guān)系 . 如果涉及到曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的有關(guān)問(wèn)題，可用曲線的焦半徑公式分析.四、利用數(shù)形結(jié)合求解例7如右圖所示，橢圓)0(12222babyax和圓222)2(cbyx( 其中c為橢圓的半焦距) 有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求橢圓的離心率的取值范圍. y x o s s 解析要使橢圓與圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)，只需滿足acbb2，即222224844222cacabcbcabcb53555350535484422222222222ecaaccacacacacacacca. 小結(jié)將數(shù)用

7、形來(lái)體現(xiàn)，直接得到cba,的關(guān)系， 這無(wú)疑是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最好的一種方法，也是重要的解題途徑.從以上四種求圓錐曲線離心率的范圍的策略來(lái)看，我們要明確求離心率的范圍的關(guān)鍵是建立一個(gè)cba,的不等關(guān)系，然后利用橢圓與雙曲線中222,cba的默認(rèn)關(guān)系以及本身離心率的限制范圍，最終求出離心率的范圍. 【高考預(yù)測(cè)題 】1. 若橢圓1422ymx的離心率為21，則 m為a.316 b.3 c.3或316 d.16 2. 雙曲線221mxy的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2 倍，則ma.4 b.14 c.4 d.143. 雙曲線1422kyx的離心率ke則),2, 1(的取值范圍是a.(-6 ， 6) b.(-12，0) c.(1，3) d.(0，12) 4. 若雙曲線42x-52y=l 上一點(diǎn) p到它的右焦點(diǎn)的距離為4， 則點(diǎn) p到它的左準(zhǔn)線的距離為a.38 b.4 c.316 d.8或3165. 若橢圓)1(122mymx和雙曲線)0(122nynx有共同的焦點(diǎn)f1、f2，且 p是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則pf1f2的面積是a.1 b.21 c.2 d.4 6. 曲線22221(0,0)xyabab的右焦點(diǎn)為f，若過(guò)點(diǎn)f 且傾斜角為60o的直線與雙曲線的右支有