2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）考點(diǎn)34 平面向量的概念與線性運(yùn)算（解析版）

1、考點(diǎn)34 平面向量的概念與線性運(yùn)算【命題解讀】平面向量是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn).往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常以平面圖形為載體，考查線性運(yùn)算、數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 1. 向量的有關(guān)概念(1)零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，其方向是不確定的(2)平行(共線)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量我們規(guī)定零向量與任一向量平行(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量(4)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(5)相反向量：與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量2. 向量的線性運(yùn)算(1)向量加法滿足交換律abba，結(jié)合律(ab)ca(bc)向量加法可以使用三角

2、形法則，平行四邊形法則(2)向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：|a|a|；當(dāng)>0時(shí)，a與a方向相同；當(dāng)<0時(shí)，a與a方向相反；當(dāng)a0時(shí)，a0；當(dāng)0時(shí)，a0(3)實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算律：設(shè)，R，a，b是向量，則有：(a)()a；()aaa；(ab)ab3. 向量共線定理：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba(a0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba1、已知下列各式：；，其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題知結(jié)果為零向量的是，故選B.2、設(shè)a，b是非零向量，則a2b是成

3、立的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由a2b可知，a，b 方向相同， 表示 a，b 方向上的單位向量，所以成立；反之不成立故選B.3、已知4e12e2，2e1te2，若M、P、Q三點(diǎn)共線，則t( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 1【答案】A【解析】M、P、Q三點(diǎn)共線，則與共線，即4e12e2(2e1te2)，得解得t1. 故選A. 4、（2019秋如皋市期末）（多選題）在梯形中，分別是，的中點(diǎn)，與交于，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是ABCD【答案】【解析】由題意可得，故正確；，故正確；，故錯(cuò)誤；，故正確故選：5、（多選題）設(shè)點(diǎn)M是ABC所在平

4、面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是()A若，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)B若2，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上C若，則點(diǎn)M是ABC的重心D若xy，且xy，則MBC的面積是ABC面積的【答案】ACD【解析】若，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故A正確；若2，即有，即，則點(diǎn)M在邊CB的延長(zhǎng)線上，故B錯(cuò)誤；若，即0，則點(diǎn)M是ABC的重心，故C正確；如圖，xy，且xy，可得22x2y，設(shè)2，則M為AN的中點(diǎn)，則MBC的面積是ABC面積的，故D正確故選ACD.6、在ABC中，則BAC_【答案】60°【解析】，得ABC是等邊三角形，BAC60°.考向一平面向量的有關(guān)概念例1、（2019年徐州開學(xué)初考試）給出下列四個(gè)

5、命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號(hào)是()A. B. C. D.【答案】A【解析】不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.正確.，|且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|，且，方向相同，因此.正確.ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故ac.不正確.當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b

6、|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號(hào)是.變式1、(多選)給出下列命題，不正確的有()A若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同B若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且，則ABCD為平行四邊形Cab的充要條件是|a|b|且abD已知，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線【答案】ACD【解析】A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；B正確，因?yàn)椋詜且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯(cuò)誤，當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要條件，而

7、是必要不充分條件；D錯(cuò)誤，當(dāng)0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線故選ACD.變式2、給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；a0(為實(shí)數(shù))，則必為零；，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3【答案】D【解析】錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)錯(cuò)誤，當(dāng)a0時(shí)，不論為何值，a0.錯(cuò)誤，當(dāng)0時(shí)，ab0，此時(shí)，a與b可以是任意向量故錯(cuò)誤的命題有3個(gè)，故選D.變式3、（山東泰安一中2019屆高三模擬）給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；a0(為實(shí)數(shù))，則必為零；，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)

8、數(shù)為()A0B.1C2 D3【答案】D【解析】錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)錯(cuò)誤，當(dāng)a0時(shí)，不論為何值，a0.錯(cuò)誤，當(dāng)0時(shí)，ab0，此時(shí)，a與b可以是任意向量故錯(cuò)誤的命題有3個(gè)，故選D.變式4、如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心（1）與相等的向量有 ；（2）與相等的向量有 ；（3）與共線的向量有 答案：（1），；（2）；（3）方法總結(jié)：向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒有限制(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任意向

9、量共線考向二 向量的線性運(yùn)算例2、(1)(2019·安徽合肥二模)在ABC中，若a，b，則()A.ab BabC.ab D.ab(2)(一題多解)(2020·廣東一模)已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足161230，則()A.123 B123C.123 D.123【答案】(1)A(2)A【解析】(1)a，b，()，ab.故選A.(2)法一：對(duì)于A.12312()3()12315，整理，可得161230，這與題干中條件相符合，故選A.法二：已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足161230，所以16120，所以123，故選A.變式1、（山西平遙中學(xué)2019屆期末）在ABC中，

10、c，b，若點(diǎn)D滿足2，則等于()A.bcB.cbC.bc Dbc【答案】A【解析】2，22()，32，bc.變式2、(2019·衡水中學(xué)五調(diào))如圖所示，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則()A. B .B. D .【答案】D【解析】，.E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，()，又，.故選D.變式3、1在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則等于()A. B.C. D.2如圖，在等腰梯形ABCD中，DCAB，BCCDDA，DEAC于點(diǎn)E，則等于()A. B.C. D.【答案】1A2A【解析】1作出示意圖如圖所示×()().故選A.2因?yàn)镈CAB，B

11、CCDDA，DEAC，所以E是AC的中點(diǎn)，可得()，故選A.變式4、（2019無錫區(qū)期末）如圖，在平行四邊形中，下列計(jì)算錯(cuò)誤的是A BCD【答案】【解析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量加法的幾何意義，正確；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，正確故選：變式5、（2019宿遷期末）如圖所示，四邊形為梯形，其中，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是ABCD【答案】【解析】因?yàn)樗倪呅螢樘菪危渲?，分別為，的中點(diǎn)，；對(duì)為的中線；對(duì)；的、對(duì)；錯(cuò)；方法總結(jié)：向量的線性運(yùn)算，即用幾個(gè)已知向量表示某個(gè)向量，基本技巧為：一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則考向三 共線定理的應(yīng)用

12、例3、如圖，在ABO中，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)a，b.試用a和b表示.【解析】設(shè)manb，則manba(m1)anb.ab.又A、M、D三點(diǎn)共線，與共線存在實(shí)數(shù)t，使得t，即(m1)anbt(ab)(m1)anbtatb.消去t得，m12n，即m2n1.又manba(m)anb，baab.又C、M、B三點(diǎn)共線，與共線存在實(shí)數(shù)t1，使得t1，(m)anbt1(ab)，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.變式1、(2019·河南鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O不在直線l上，則使等式x2x0成立的實(shí)數(shù)x的取值集合為()A.0 B.C.1 D.0，1【答案

13、】C【解析】方法一若要x2x0成立，必須與x2x共線，由于與共線，所以和的系數(shù)必須互為相反數(shù)，則x2x，解得x0或x1，而當(dāng)x0時(shí)，0，此時(shí)B，C兩點(diǎn)重合，不合題意，舍去.故x1.方法二，x2x0，即x2(x1)，A，B，C三點(diǎn)共線，x2(x1)1，即x2x0，解得x0或x1.當(dāng)x0時(shí)，x2x0，此時(shí)B，C兩點(diǎn)重合，不合題意，舍去.故x1.變式2、（2019秋清遠(yuǎn)期末）等邊三角形中，與交于，則下列結(jié)論正確的是ABC D【答案】【解析】如圖，為的中點(diǎn)，正確；，錯(cuò)誤；設(shè)，且，三點(diǎn)共線，解得，正確；，錯(cuò)誤故選：變式3、設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(1)ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共

14、線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線【解析】(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)5(ab)5，共線，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，k210.k±1.方法總結(jié)：利用共線向量定理解題的方法(1)abab(b0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線即A，B，C三點(diǎn)共線，共線(3)若a與b不共線且ab，

15、則0.(4) (，為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則1.1、在ABC中，點(diǎn)G滿足0.若存在點(diǎn)O，使得，且mn，則mn等于()A2 B2 C1 D1【答案】D【解析】 0，0，()()，可得，m，n，mn1，故選D.2、A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合)，若(，R)，則的取值范圍是()A(0,1) B(1，)C(1， D(1,0)【答案】B【解析】設(shè)m，則m>1，因?yàn)?，所以m，即，又知A，B，D三點(diǎn)共線，所以1，即m，所以>1，故選B.3、【2018年高考全國(guó)I卷理數(shù)】在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則ABCD【答案】A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法

16、則，可得 ，所以.故選A.4、.在ABC中，下列命題正確的是( )A.B.0C.若()·()0，則ABC為等腰三角形D.若·0，則ABC為銳角三角形【答案】BC【解析】由向量的運(yùn)算法則知；0，故A錯(cuò)，B對(duì)；()·()220，22，即ABAC，ABC為等腰三角形，故C對(duì)；·0，角A為銳角，但三角形不一定是銳角三角形故選BC.5、（2020屆山東省泰安市高三上期末）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則（ ）ABCD【答案】ABC【解析】 ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法則得，A對(duì)；，又F為AE的中點(diǎn)，B對(duì)；，C對(duì)；，D錯(cuò)；故選：ABC6、【江蘇卷】在ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是_【答案】【解析】三點(diǎn)共線，可設(shè)，即，若且，則三點(diǎn)共線，即，,，設(shè)，則，.根據(jù)余弦定理可得，解得，的長(zhǎng)度為.當(dāng)時(shí)， ，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.7、在四邊形ABCD中，(1,1)，···，則四邊形A