高等數(shù)學連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性學習教案

1、會計學1高等數(shù)學連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)高等數(shù)學連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性性第一頁，編輯于星期三：七點 四十八分。 定理1 有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù) =f(x0)+g(x0)=F(x0)，這就證明了兩個在點x0連續(xù)的函數(shù)之和在點x0連續(xù)類似地可證明有限個函數(shù)之和的情形 證明 考慮兩個在點x0連續(xù)的函數(shù)f(x)、g(x)的和：F(x)=f(x)+g(x)由函數(shù)的連續(xù)性定義，有第1頁/共17頁第二頁，編輯于星期三：七點 四十八分。一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性 定理2 有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù) 定理3

2、兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù)，只要分母在該點不為零 定理1 有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)第2頁/共17頁第三頁，編輯于星期三：七點 四十八分。 例1 函數(shù) x2 、 sin x 和cos x 都在區(qū)間(-，+)內連續(xù) 由定理3， tan x 和cot x 在它們的定義域內是連續(xù)的 由定理1，x2+sin x、 x2+cos x、sinx +cos x在區(qū)間(-，+)內都是連續(xù)的 由定理2，x2 sin x、 x2 cos x 、sin x cos x在區(qū)間(-，+)內都是連續(xù)的第3頁/共17頁第四頁，編輯于星期三：七點 四十八分。加且連續(xù)，所以它的反函數(shù)y

3、=arcsin x 在區(qū)間-1,1上也是單調增加且連續(xù)的1反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性 定理4 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix 上單調增加(或單調減少)且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=j(y)也在對應的區(qū)間 Iy=y|y=f(x)，xI x上單調增加（或單調減少）且連續(xù)第4頁/共17頁第五頁，編輯于星期三：七點 四十八分。 同樣，y=arccos x 在區(qū)間-1，1上也是單調減少且連續(xù)； y=arctan x 在區(qū)間(-，+)內單調增加且連續(xù)；y=arccot x 在區(qū)間(-，+)內單調減少且連續(xù) 總之，反三角函數(shù)arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它們的定義域內都是

4、連續(xù)的第5頁/共17頁第六頁，編輯于星期三：七點 四十八分。2復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性而函數(shù)y=f(u)在點u=a連續(xù)，那么注1： 把定理5 中的x x 0換成x ，可得類似的定理注2： 在定理5中，因為有所以有第6頁/共17頁第七頁，編輯于星期三：七點 四十八分。所以2復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性而函數(shù)y=f(u)在點u=a連續(xù)，那么 定理 5 設0limxxj(x)=a ，0limxx fj(x)=f(a) 第7頁/共17頁第八頁，編輯于星期三：七點 四十八分。 注：在定理6的條件下有 定理6 設函數(shù)u=j(x)在點x=x0連續(xù)，且j(x0)=u0，而函數(shù)y=f(u)在點u=u

5、0連續(xù)，那么復合函數(shù)=fj(x)在點x=x0也是連續(xù)的2復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性而函數(shù)y=f(u)在點u=a連續(xù)，那么 定理 5 設0limxxj(x)=a ，0limxx fj(x)=f(a) 第8頁/共17頁第九頁，編輯于星期三：七點 四十八分。第9頁/共17頁第十頁，編輯于星期三：七點 四十八分。三角函數(shù)： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ；基本的連續(xù)函數(shù)：反三角函數(shù)：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ；指數(shù)函數(shù)：a x (a0，a 1)；對數(shù)函數(shù)：log ax (a0，a 1)； 證明 指數(shù)函數(shù)ax (a0，a1)

6、對于一切實數(shù)x 都有定義，且在區(qū)間(-，+)內是單調的和連續(xù)的，它的值域為(0，+)由定理4，對數(shù)函數(shù)logax (a0，a1)作為指數(shù)函數(shù)ax的反函數(shù)在區(qū)間(0，+)內單調且連續(xù)第10頁/共17頁第十一頁，編輯于星期三：七點 四十八分。冪函數(shù)：xm 三角函數(shù)： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ；基本的連續(xù)函數(shù)：反三角函數(shù)：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ；指數(shù)函數(shù)：a x (a0，a 1)；對數(shù)函數(shù)：log ax (a0，a 1)；第11頁/共17頁第十二頁，編輯于星期三：七點 四十八分。因此，冪函數(shù)xm可看作是由y=au ，

7、u=m logax 復合而成的，由此，根據(jù)定理6，它在(0，+)內連續(xù)如果對于m取各種不同值加以分別討論，可以證明冪函數(shù)在它的定義域內是連續(xù)的冪函數(shù)連續(xù)性的證明： 冪函數(shù)y=x m 的定義域隨m 的值而異，但無論m 為何值，在區(qū)間(0，+)內冪函數(shù)總是有定義的可以證明，在區(qū)間(0，+)內冪函數(shù)是連續(xù)的事實上，設x0，則第12頁/共17頁第十三頁，編輯于星期三：七點 四十八分。結論1：基本初等函數(shù)在它們的定義域內都是連續(xù)的結論2：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的注：所謂定義區(qū)間，就是包含在定義域內的區(qū)間冪函數(shù)：xm 三角函數(shù)： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ；三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性基本的連續(xù)函數(shù)：反三角函數(shù)：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ；指數(shù)函數(shù)：a x (a0，a 1)；對數(shù)函數(shù)：log ax (a0，a 1)；第13頁/共17頁第十四頁，編輯于星期三：七點 四十八分。 如果f(x)是初等函數(shù)，且x0是f(x)的定義區(qū)間內的點，則初等函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應用：第14頁/共17頁第十五頁，編輯