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文檔簡介
1、數(shù)值計算實踐I、方程求根1、 實驗目的熟悉和掌握Newton法,割線法,拋物線法的方法思路,并能夠在matlab上編程實現(xiàn)2、 問題描述(1).給定一個三次方程,分別用Newton法,割線法,拋物線法求解.方程的構造方法:(a)根:方程的根為學號的后三位乘以倒數(shù)第二位加1再除以1000.假設你的學號為B06060141,則根為141*(4+1)/1000=0.564(b)方程:以你的學號的后三位數(shù)分別作為方程的三次項,二次項,一次項的系數(shù),根據(jù)所給的根以及三個系數(shù)確定常數(shù)項.例如:你的學號是B06060141,則你的方程是x3+4x2+x+a0=0的形式.方程的根為0.564,因此有0.564
2、3+4*0.5642+0.564+a0=0,于是a0=-2.015790144你的方程為x3+4x2+x-2.015790144=0.(2)假設方程是sinx+4x2+x+a0=0的形式(三個系數(shù)分別是學號中的數(shù)字),重新解決類似的問題(3)構造一個五次方程完成上面的工作.四次方程的構造:將三次多項式再乘以(x-p*)2得到對應的五次多項式(p*為已經(jīng)確定的方程的根,顯然,得到的五次方程有重根).(4)將(2)中的方程同樣乘以(x-p*)得到一個新的方程來求解注:(1)Newton法取0.5為初值,割線法以 0,1為初值,拋物線法以0,0.5,1為初值,(2)計算精度盡量地取高.終止準則:根據(jù)
3、來終止 (3)可供研究的問題:(一)的取值不同對收斂速度有多大的影響(二)將注(1)中的初值該為其它的初值,對收斂性以及收斂速度有無影響(三))能否求出方程的所有的根(4)實驗報告的撰寫 實驗報告包含的內容:(一)實驗目的(二)問題描述(三)算法介紹(包括基本原理)(四)程序(五)計算結果(六)結果分析(七)心得體會3、 算法介紹在本問題中,我們用到了newton法,割線法,拋物線法。1.Newton法迭代格式為: 當初值與真解足夠靠近,newton迭代法收斂,對于單根,newton收斂速度很快,對于重根,收斂較慢。2.割線法:為了回避導數(shù)值的計算,使用上的差商代替,得到割線法迭代公式:割線法
4、的收斂階雖然低于newton法,但迭代以此只需計算一次函數(shù)值,不需計算其導數(shù),所以效率高,實際問題中經(jīng)常應用。3. 拋物線法:可以通過三點做一條拋物線,產(chǎn)生迭代序列的方法稱為拋物線法。其迭代公式為:其中 是一階均差和二階均差。收斂速度比割線法更接近于newton法。對于本問題的解決就以上述理論為依據(jù)。終止準則為:本題中所有精度取1e-8。4、 程序計算結果問題一根據(jù)所給的要求,可知待求的方程為:牛頓法建立newton_1.m的源程序,源程序代碼為:function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1) x(1)=x0; b=1; i=1; while(abs(b)>eps
5、1*x(i) i=i+1; x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1)/n_df(a,n,x(i-1); b=x(i)-x(i-1); if(i>nn)error return; end end y=x(i);建立n_f.m的源程序來求待求根的實數(shù)代數(shù)方程的函數(shù),源程序代碼為:function y=n_f(a,n,x)% 待求根的實數(shù)代數(shù)方程的函數(shù) y=0.0; for i=1:(n+1) y=y+a(i)*x(n+1-i); end建立n_df.m的源程序來方程的一階導數(shù)的函數(shù),源程序代碼為:function y=n_df(a,n,x)% 方程的一階導數(shù)的函數(shù) y=0.0;
6、for i=1:n y=y+a(i)*(n+1-i)*x(n-i); end在matlab軟件中執(zhí)行下列語句并得到的最終結果截圖:割線法建立gexian.m的源程序,源程序代碼為function x=gexian(f,x0,x1,e) if nargin<4,e=1e-4;end y=x0;x=x1;i=0; while abs(x-y)>e i=i+1; z=x-(feval(f,x)*(x-y)/(feval(f,x)-feval(f,y); y=x; x=z; end i 在matlab軟件中執(zhí)行下列語句并得到的最終結果截圖:拋物線建立paowuxian.m的源程序,源程序代
7、碼為:function x=paowuxian(f,x0,x1,x2,e) if nargin<4,e=1e-4;end x=x2;y=x1;z=x0;i=0; while abs(x-y)>e i=i+1; h1=y-z; h2=x-y; c1=(feval(f,y)-feval(f,z)/h1; c2=(feval(f,x)-feval(f,y)/h2; d=(c1-c2)/(h1+h2); w=c2+h2*d; xi=x-(2*feval(f,x)/(w+(w/abs(w)*sqrt(w2-4*feval(f,x)*d); z=y; y=x; x=xi; endi在matla
8、b軟件中執(zhí)行下列語句并得到的最終結果截圖:研究一:只改變初值由上述結果可知,方程的解在0.2附近,所以將牛頓法為0.2;割線法的初值設為0,0.4;拋物線法的初值設為0,0.2,0.4;牛頓法根據(jù)問題1中牛頓法的程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句并得到的最終結果截圖:割線法根據(jù)問題1中割線程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句并得到的最終結果截圖:拋物線法根據(jù)問題1中拋物線法程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句并得到的最終結果截圖:研究二 只改變精度將精度由1e-8改為1e-50和1e-100觀察迭代次數(shù)有何變化牛頓法:根據(jù)問題1中的牛頓法的程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句并得到的
9、最終結果截圖:精度為1e-50時精度為1e-100時割線法根據(jù)問題1中的割線法的程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句并得到的最終結果截圖:精度為1e-50時精度為1e-100時拋物線法根據(jù)問題1中的拋物線法的程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句并得到的最終結果截圖:精度為1e-50時精度為1e-100時、研究結論在只改變初值時,當初值定得越靠近初值,迭代次數(shù)就越少。在只改變精度時,當精度越來越大時,迭代次數(shù)并幾乎不變。綜上所述,初值對迭代次數(shù)的影響比較大,精度對迭代次數(shù)影響不大。問題二問題描述根據(jù)所給的要求,可知待求的方程為:問題分析仍然利用(1)中方法求解這一問題,并利用圖解法找到初值,
10、通過觀察圖像,將newton法初值設為:0.1,割線法初值設為:0,0.2。拋物線法初值設為:0,0.1,0.2。圖像見下圖:Newton法問題一的牛頓法的求解只適用于線性方程,所以在問題二中用其他方法來求解方程。建立newton1.m源程序,源程序代碼為:function x=newton1(fn,dfn,x0,e)if nargin<4,e=1e-4;endx=x0;x0=x+2*e;i=1;while abs(x0-x)>ei=i+1;x0=x;x=x0-feval(fn,x0)/feval(dfn,x0);end在matlab軟件中執(zhí)行下列語句并得到最終結果截圖割線法利用問
11、題一中的割線法程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句拋物線法利用問題一中的拋物線法程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句問題三問題描述按照題目要求對五次方程進行構造為:問題分析仍然利用一中方法求解這一問題,并利用圖解法找到初值,通過觀察圖像,將牛頓法的兩組初值為0以及0.5,割線法初值設為:0,0.5以及0,0.2。拋物線法初值設為:兩組初值為0,0.5,1以及0,0.25,0.5。牛頓法利用問題二中的程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句:初值為0時初值為0.5時割線法利用問題一中割線法的程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句:初值為0,0.5時初值為0,0.2時拋物線法利用問題一中拋物線法
12、的程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句:初值為0,0.5,1時初值為0,0.25,0.5時問題四問題描述根據(jù)題目要求對方程進行構造為:問題分析仍然利用問題一中方法求解這一問題,并利用圖解法找到初值,通過觀察圖像,newton法初值選取了兩組初值為0以及0.5,割線法初值設為:0,0.5和0,0.3。拋物線法初值設為:兩組初值為0,0.2,0.4以及0,0.5,1。牛頓法利用問題二中的程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句:初值為0時初值為0.5時割線法利用問題一中割線法的程序,在matlab軟件中執(zhí)行下列語句:初值為0,0.5時初值為0,0.3時拋物線法利用問題一中拋物線法的程序,在matl
13、ab軟件中執(zhí)行下列語句:初值為0,0.1,0.2時初值為0,0.5,1時5、 計算結果及分析Newton法割線法拋物線法問題一0.2240.2240.224問題二0.14660.14660.1466問題三0.2240.2240.224問題四0.224和0.1465772585571010.224和0.14660.224和0.1466 問題一 迭代步數(shù) 問題二 迭代步數(shù) 問題三迭代步數(shù) 問題四迭代步數(shù)Newton法 6 5 37 8 9割線法 8 5 50 13 10拋物線法 9 5 63 14 13結果分析將Newton法,割線法,拋物線法進行比較可以看到在本文題中,三種方法計算得到的最終結果
14、基本相同,但是迭代步數(shù)有較大差別,綜合看來Newton法迭代步數(shù)最少,割線法次之,拋物線法最次。在各個問題的研究中,我通常都會采用不同的初值,發(fā)現(xiàn)不同初值會對應不同的迭代次數(shù),另外針對問題一,我選用了不同的精度,發(fā)現(xiàn)迭代次數(shù)并沒有很大的變化,因而一個初值的選定可以對迭代次數(shù)產(chǎn)生很大的影響,而精度的改變對迭代次數(shù)的影響很小。對每個算法單獨來看,顯然選擇初值不同對于迭代步數(shù)影響較大,對于找到根也會有影響。因此應該先通過畫圖確定根的大致位置,給出在其附近的初值。6、 心得體會在實現(xiàn)這三個算法的過程中,本身編程較易實現(xiàn),最重要的是對算法本身的理解,只有真正理解算法的含義才能更快更好的實現(xiàn)程序。II、離
15、散型最小二乘和連續(xù)型最小二乘問題一、實驗目的掌握并能夠利用離散型最小二乘和連續(xù)性最小二乘求解問題。二、問題描述1:以函數(shù)生成的6個數(shù)據(jù)點(0.25,23.1),(1.0,1.68), (1.5,1.0),(2.0,0.84),(2.4,0.826),(5.0,1.2576)為例,運行程序得到不同階對應的曲線擬合產(chǎn)生的多項式函數(shù)。2. 例題:計算f(x)=exp(x)在-1,1上的二、三次最佳平方逼近多項式。并畫圖進行比較。三、問題分析問題1是離散最小二乘問題。最小離散最小二乘就是根據(jù)一批有誤的數(shù)據(jù)()i=1,2,n確定參數(shù),并通過均方誤差來比較曲線擬合的優(yōu)劣,在本題中通過畫圖來比較不同階方程擬
16、合效果的優(yōu)劣。選擇兩種方法實現(xiàn)離散最小二乘。方法一,建立normal equation(法方程組),求解k次多項式系數(shù)。法方程組構造方法: 方法二:由于在matlab中存在ployfit函數(shù),可以即為方便的用k次多項式擬合。問題2是一個連續(xù)型最小二乘法的應用實例。對于給定的函數(shù),如果存在使得則稱S*(x)是f (x)在集合中的最佳平方逼近函數(shù)。顯然,求最佳平方逼近函數(shù)的問題可歸結為求它的系數(shù),使多元函數(shù)取得極小值,也即點()是I (a0, ,an)的極點。由于I (a0, a1, ,an)是關于a0, a1, ,an的二次函數(shù),利用多元函數(shù)取得極值的必要條件, (k = 0, 1, 2, ,
17、n)即得方程組如采用函數(shù)內積記號那么,方程組可以簡寫為.(1)這是一個包含n + 1個未知元a0, a1, , an的n + 1階線性代數(shù)方程組,寫成矩陣形式為 (2)此方程組叫做求aj (j = 0, 1, 2, , n)的法方程組。顯然,其系數(shù)行列式就是克萊姆行列式Gn = Gn (j0, j1, , jn)。由于j0, j1, , jn線性無關,故Gn ¹ 0,于是上述方程組存在唯一解。從而肯定了函數(shù)f (x)在中如果存在最佳平方逼近函數(shù),則必是 .(3)四、實驗程序問題一法一:離散最小二乘法function f=normalequation(n)syms tr=0;xx=0.
18、25,1.0,1.5,2.0,2.4,5.0;yy=23.1,1.68,1.0,0.84,0.826,1.2576;x=zeros(n,n);y=zeros(n,1);for i=1:n for k=1:6 x(i,i)=xx(k).(2*i-2)+x(i,i); y(i,1)=yy(k).*xx(k).(i-1)+y(i,1); endendfor i=2:n for j=1:i-1 for k=1:6 x(i,j)=xx(k).(i+j-2)+x(i,j); x(j,i)=x(i,j); end endendz=xy;for i=1:n r=z(i,1)*t(i-1)+r;endvpa(r
19、,5)法二:用matlab中的ployfit函數(shù)對k次多項式進行擬合。建立number2.m文件,帶入如下:x=0.25,1.0,1.5,2.0,2.4,5.0;y=23.1,1.68,1.0,0.84,0.826,1.2576;plot(x,y,'o')p1=polyfit(x,y,1) %利用線性擬合xi=-0.25:0.01:6.0;y1=polyval(p1,xi);plot(x,y,'o',xi,y1,'r:');hold on;p2=polyfit(x,y,2) %二次擬合y2=polyval(p2,xi);plot(x,y,'
20、;o',xi,y2,'m');hold on;p3=polyfit(x,y,3) %三次擬合y3=polyval(p3,xi);plot(x,y,'o',xi,y3,'b:');hold on;p4=polyfit(x,y,4) %四次擬合y4=polyval(p4,xi);plot(x,y,'o',xi,y4,'c');hold on;p5=polyfit(x,y,5) %五次擬合y5=polyval(p5,xi);plot(x,y,'o',xi,y5,'g');hold
21、off;legend('初始點','y=-2.3840*x+9.8499','初始點','y=2.1793*x2-15.8845*x+22.3999','初始點','y=-2.0143*x3+18.3499*x2-45.2167*x+32.7386','初始點','y=1.4828*x4-16.0435*x3+56.3154*x2-79.4994*x+39.6688','初始點','y=-0.9961*x5+12.1743*x4-55.2367
22、*x3+116.6262*x2-116.7266*x+45.8090');問題二:最佳平方逼近算法(1)輸入被逼近函數(shù)f(x)和對應的逼近區(qū)間a,b并選擇逼近函數(shù)系和權函數(shù);(2)解方程組(1)或(2),其中方程組的系數(shù)矩陣和右端的項由式(3)得到;(3)由式(3)得到函數(shù)的最佳平方逼近。將上述算法編寫成MATLAB程序共需三個程序:第一個程序(函數(shù)名Sapproach.m)計算最佳逼近函數(shù)的系數(shù):function S=Sapproach(a,b,n) %定義逼近函數(shù)global i;global j; if nargin<3 n=1;end %判斷X=zeros(n+1,n+1
23、);for i=0:n for j=0:n; X(i+1,j+1)=quad(fan,a,b); %求fan積分 end endY=zeros(n+1,1);for i=0:n Y(i+1)=quad(yb,a,b); %求yb積分end s=XY第二個程序(函數(shù)名:fan.m)function y=fan(x) global i;global j;y=(poly(x,i).*poly(x,j);第三個程序(函數(shù)名:yb.m)function y=yb(x) global i;y=(poly(x,i).*exp(x);編寫多項式函數(shù)function y=poly(x,k) %多項式函數(shù)if k
24、=0 y=ones(size(x);elsey=x.k;end5、 實驗結果及圖像問題一:(1)最小二乘法normalequation.m運行結果為:線性擬合:二次擬合:三次擬合:四次擬合:五次擬合:用方法二得到的結果如下:number2.m運行結果為:因此得到線性擬合多項式為:二次擬合多項式為:三次擬合多項式為:四次擬合多項式為:五次擬合多項式為:繪制的各多項式擬合圖像為:問題2:當求二次逼近時,有以下結果:繪制兩者的圖形:>> fun='exp(x)'>> fplot(fun,-1,1)>> hold on>> xi=-1:0
25、.1:1;>> yi=polyval(S,xi);>> plot(xi,yi,'r:')得到以下結果:當三次逼近時,有以下結果繪制圖形如下:>> fun='exp(x)'>> fplot(fun,-1,1)>> hold on>> xi=-1:0.1:1;>> yi=polyval(S,xi);>> plot(xi,yi,'r:')得到如下所得圖形:六、結果分析顯然離散最小二乘中次數(shù)較高擬合的效果較好,但由于本問題中初始點較少,并不能完全反應函數(shù)本身的
26、特點,同時在本問題中,選擇了兩種方式,結果接近,也可以互相驗證正確性。在連續(xù)最小二乘法的實驗中較順利的達到了預期的結果。從試驗結果看出三次逼近沒有二次逼近效果理想,驗證了最佳平方逼近理論。七、心得體會 在離散最小二乘與連續(xù)最小二乘程序設計的過程中,要么通過均差來表示函數(shù)擬合的優(yōu)劣,要么通過圖像來評價,本問題中選擇了圖像,更加清晰直觀。III、數(shù)值積分1、 實驗目的熟悉并掌握數(shù)值積分的方法,重要訓練復化梯形公式,復化simpson公式以及romberg積分。2、 問題描述問題三數(shù)值積分橢圓周長的計算。考慮橢圓,為計算其周長,只要計算其第一象限的長度即可.用參數(shù)方程可以表示為,計算公式為為計算方便
27、,我們可以令,即計算下面的積分 (可以歸結為上面的形式)采用復化梯形公式,復化Simpson公式以及Romberg積分的方法計算積分給出通用程序,該通用程序可以計算任何一個函數(shù)在任意一個區(qū)間在給定的精度下的數(shù)值積分。程序輸出為計算出的數(shù)值積分值以及計算函數(shù)值的次數(shù)。利用你的程序計算5個橢圓的周長。3、 算法介紹首先利用給出的各迭代公式,設計程序。在matlab對話框中輸入要計算的函數(shù),給出區(qū)間和精度。復化梯形的迭代公式為:復化simpson迭代公式為:Romberg迭代公式為:4、 算法程序復化梯形公式和復化simpson公式我們放在jifen.m中。(%標記后的程序可用來把b看為變量時的算法
28、實現(xiàn))%復化梯形公式function y=jifen(f,n,a,b) (說明:f表示任一函數(shù),n精度,a,b為區(qū)間)fi=f(a)+f(b);h=(b-a)/n;d=1;%function f=jifen(n,a,b,c)%syms t%y=sqrt(1+(c2-1)*cos(t)2);%ya=subs(y,t,a);%yb=subs(y,t,b);%fi=ya+yb;for i=1:n-1 x=a+i*h; fi=fi+2*f(x); d=d+1; %yx=subs(y,t,x); %fi=fi+2*yx;endf4=h/2*fi,d%復化simposon公式f1=0;f2=0;dd=1;
29、for i=1:n-1 dd=dd+1; if rem(i,2)=0; x1=a+i*h; f1=f1+f(x1); else rem(i,2)=0; x2=a+i*h; f2=f2+f(x2) ; end endf3=(h/3)*(f(a)+4*f1+2*f2+f(b),dd romberg積分建立romberg.m文件function y=romberg(f,n,a,b) (說明:f表示任一函數(shù),n精度,a,b為區(qū)間)z=zeros(n,n);h=b-a;z(1,1)=(h/2)*(f(a)+f(b);f1=0;for i=2:n for k=1:2(i-2) f1=f1+f(a+(k-0
30、.5)*h); end z(i,1)=0.5*z(i-1,1)+0.5*h*f1; h=h/2; f1=0; for j=2:i z(i,j)=z(i,j-1)+(z(i,j-1)-z(i-1,j-1)/(4(j-1)-1); endendz,n5、 實驗結果(1)對于復化梯形公式和復化simpson公式,我們運行下列語句并得到結果:題中將橢圓中的未知量a取為1,b取為0.5。f4為復化梯形公式得到的1/4個橢圓周長,f3為復化simpson公式得到的1/4個橢圓周長。從而得到橢圓的周長為4*1.2111=4.8444 。(2) 對于romberg,運行下列語句并最終得到結果為:題中將橢圓中的
31、未知量a取為1,b取為0.5。用romberg算法對橢圓的周長進行計算的到橢圓的周長為4.8442 。6、 結果分析我們計算了當橢圓長軸為1,短軸為0.5時的周長。通過上述三種方法的計算可以看到,結果相差不大。根據(jù)橢圓周長的一個計算公式我們可以得到L=4.283。因此三種方法都較好的接近真值。7、 心得體會我們應該熟練掌握這三種方法,才能在編程時正確快速的寫出迭代公式。同時在一種思想的前提下可以尋找多種方法實現(xiàn)算法,互相驗證,從而得到更準確的結果。IV、newton差值和hermite差值方法1、 實驗目的掌握并能夠利用newton差值和hermite差值方法解決問題。2、 問題描述上述函數(shù)的
32、導數(shù)為采用三種方法中最好的方法計算這一積分(1)利用數(shù)值積分的方法給出在(可以直接計算精確值的,用精確值),用Newton插值方法得到5個橢圓的周長(2)利用數(shù)值積分的方法給出在(可以直接計算精確值的,用精確值),用Hermite插值方法得到5個橢圓的周長(3) 選做題:利用以及導數(shù)更多的值來進行插值,插值誤差會有什么變化?(4)選做題:采用其它的插值方法改進插值的效果。3、 算法介紹a確定,對于給定的b值都對應著一個橢圓,在本問題中用newton插值法和hermite得到的多項式代替橢圓周長公式中的進行積分,首先畫出圖像,選擇初始點。圖像的實現(xiàn)代碼見picture1.m。newton插值法迭
33、代公式:Hermite法迭代公式:作圖時建立picture.m文件畫出和其導數(shù)圖像。(注:此圖像為b=0.5時)根據(jù)圖像,我們選取我們選取0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5為初始點。4、 算法程序(1)建立newtondedai1.m文件。function z=newtondedai1(f,n)syms xia=zeros(n,n);x=0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5;y=feval(f,x);a(:,1)=y;for i=2:n for j=2:i a(i,j)=(a(i,j-1)-a(i-1,j-1)/(x(1,i)-x(1,i-j+1); endendt=xi-x(1
34、,1);p=a(1,1);for i=2:n p=p+a(i,i)*t; t=t*(xi-x(1,i);endp=collect(vpa(p)(2)建立hermite3.m文件。function z=hermite3(fn,dfn,n)syms xia=zeros(2*n,2*n);x=0.3 0.6 0.9; xx=0.3 0.3 0.6 0.6 0.9 0.9;y=feval(fn,x);yy=feval(dfn,x); for i=1:n z(1,2*i)=x(1,i); z(1,2*i-1)=x(1,i); a(2*i,1)=y(1,i); a(2*i-1,1)=y(1,i); a(2
35、*i,2)=yy(1,i); end for i=1:n if 2*i<6 a(2*i+1,2)=(a(2*i+1,1)-a(2*i,1)/(z(1,2*i+1)-z(1,2*i); end end for i=3:(2*n) for j=3:i a(i,j)=(a(i,j-1)-a(i-1,j-1)/(z(1,i)-z(1,i-j+1); end end p=a(1,1); t=xi-xx(1,1); for i=2:2*n p=a(i,i)*t+p; t=t*(xi-xx(1,i); end p=vpa(collect(p) %p=vpa(collect(p),8)5、 實驗結果問題(1)newton插值法,首先得到當a=1,b=0.5時用newton插值得到的多項式逼近橢圓周長表達式。執(zhí)行下列語句其中p所表示的多項式就是newton插值方法得到的多項式。若保留3位小數(shù),既接下來將得到的p多項式,調用復化梯形公式和復化simpson公式。說明即對newton插值法在(0,2pi)上積分得到橢圓周長為4.8440和4.8436 。問題(2)hermite插值法首先得到當a=1,b=0.5時用hermite插值得到的多項式逼近橢圓周長表達式。其中p所表示
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