四川省成都市高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1課件

1、2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）問題：?jiǎn)栴}：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？ 圖形圖形標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p),(02p2px ),(02p2px ),(20p2py),(20p2py 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 與橢圓、雙曲線一樣，通過拋物線與橢圓、雙曲線一樣，通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以研究它的幾何性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)方程可以研究它的幾何性質(zhì) 以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 來(lái)研究它的幾何性質(zhì)來(lái)研究它的幾何性質(zhì) 022ppxy（1 1）范圍：）范圍： 因?yàn)?/p>

2、因?yàn)閜0，由方程可知，由方程可知 x0，所以拋物線在，所以拋物線在y軸的軸的右側(cè)，當(dāng)右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸上方和右下方無(wú)限延伸 （2 2）對(duì)稱性）對(duì)稱性yyx 以以 代代 ，方程不變，所以拋物線關(guān)于，方程不變，所以拋物線關(guān)于 軸對(duì)軸對(duì)稱我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做稱我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸拋物線的軸（3 3）頂點(diǎn)）頂點(diǎn) 拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)，在方，在方程中，當(dāng)程中，當(dāng) 時(shí)時(shí) ，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn) 0y0 x（4

3、4）離心率）離心率 拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做比，叫做拋物線的離心率拋物線的離心率，由拋物線的定義可知，由拋物線的定義可知 1e022ppxy其它三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)可類似地求得其它三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)可類似地求得: 圖形圖形 方程方程范圍范圍 對(duì)稱性對(duì)稱性 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 離心率離心率x0 (0 , 0)x 軸軸拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì) e1x 軸軸y 軸軸y 軸軸x0 y0 y0 (0 , 0)(0 , 0)(0 , 0)e1e1e1pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p 問題：?jiǎn)栴}：與橢

4、圓、雙曲線的幾何性質(zhì)比較，拋物線的與橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)比較，拋物線的幾何性質(zhì)有什么特點(diǎn)？幾何性質(zhì)有什么特點(diǎn)？ （1 1）拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以）拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒有漸近線；無(wú)限延伸，但沒有漸近線； （2 2）拋物線只有一條對(duì)稱軸，沒有對(duì)稱中心；）拋物線只有一條對(duì)稱軸，沒有對(duì)稱中心；拋物線又叫做無(wú)心圓錐曲線。拋物線又叫做無(wú)心圓錐曲線。（3 3）拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線；）拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線；（4 4）拋物線的離心率是確定的，為）拋物線的離心率是確定的，為1 1例例1. 斜率為斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的直線

5、經(jīng)過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)，的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn) A、B，求線段，求線段 AB的長(zhǎng)的長(zhǎng).解：解：知知：由由xy42 ，42 p2 p此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是. )01( ，F(xiàn).1 xyAB的方程為：的方程為：直線直線 142xyxy.0162 xx由弦長(zhǎng)公式得由弦長(zhǎng)公式得|1|212xxkAB .8 另解：另解：|BFAFAB 由已知由已知)1()1(21 xx| | |BBAA 221 xx26 .8 ABABOxyF2122124)(11|xxxxAB 焦點(diǎn)弦焦點(diǎn)弦 過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線相交的直線，過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線相交的直線，被拋物線截取

6、的線段叫拋物線的焦點(diǎn)弦被拋物線截取的線段叫拋物線的焦點(diǎn)弦.ABABOxyF拋物線拋物線 的的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式： 220ypx p 1122,A xyB xy設(shè)設(shè)則則ABAFBF 12|ABxxp 1222ppxx 2px (,0)2p焦點(diǎn)弦中與對(duì)稱軸垂直的弦叫做拋物線的焦點(diǎn)弦中與對(duì)稱軸垂直的弦叫做拋物線的通徑通徑，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為2p.這是標(biāo)準(zhǔn)方程中這是標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義的幾何意義.22(0)1,|.ypx pFlABlAB 已已知知拋拋物物線線，過過焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于， 兩兩點(diǎn)點(diǎn) 若若直直線線 的的傾傾斜斜角角為為， 求求變變式式 . .解：解：|cos

7、AFAFp ，|1cospAF ，|cosBFpBF |.1cospBF 由定義得，由定義得，xy 2pxFABKO|AB|= |AF|+|BF|1cos1cosppAB 22.sinp 思考：思考：拋物線中過焦點(diǎn)的弦有最小值嗎？如果有，拋物線中過焦點(diǎn)的弦有最小值嗎？如果有，在何處取得？在何處取得？FyOx. . . .AB由上題可知，通徑是拋物線中過焦點(diǎn)的最短弦由上題可知，通徑是拋物線中過焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為2p.這是標(biāo)準(zhǔn)方程中這是標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義的幾何意義.例例2.在拋物線在拋物線 y2=8x 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使，使P到焦點(diǎn)到焦點(diǎn)F 的距的距離與到離與到 Q(4 ，1)的距

8、離的和最小，并求最小值。的距離的和最小，并求最小值。解：解：知：知：由由xy82，82 p4 p此此拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)是是，)02(F準(zhǔn)線方程是準(zhǔn)線方程是.2 x.的距離的距離到準(zhǔn)線到準(zhǔn)線的距離等于的距離等于到焦點(diǎn)到焦點(diǎn)由定義知：由定義知：lPFP. |PKPF 即即|PQPKPQPF Q P K顯顯然然，當(dāng)當(dāng)， 三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線且且此此線線垂垂直直于于準(zhǔn)準(zhǔn)線線時(shí)時(shí)，.|有有最最小小值值PQPK ，此時(shí)此時(shí))(1PxP，此時(shí)此時(shí))181(P.6)2(4) | (min PQPFKxyQ2FO4P思考：思考： 當(dāng)當(dāng)| |PF|PQ| |為最大時(shí)，點(diǎn)為最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是_

9、例例3. 過拋物線過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)的焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，通過點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，求證：求證：y1y2=-p2，證明：證明：）的直線為：）的直線為：，（）設(shè)過焦點(diǎn)）設(shè)過焦點(diǎn)（021pF21pykx0222kppyky得得212kpy ykkABx 當(dāng)當(dāng)不不存存在在即即軸軸時(shí)時(shí)，pxy22代入代入pypy21，221pyy，)(2pxky)(0k2p ;4221pxx 又又,2,2222121pxypxy 22121224y yx xp2.4p .221pyy故故yOx. . . .ABF2(7) 以以CD為直徑的圓與弦為直徑的圓與弦AB相切于焦點(diǎn)相切于焦點(diǎn)F.221212(1),;4py ypx x 1222(2) |;sinpABxxp 2(3);2sinAOBpS (4) |1cospAF ，|;1c