圓錐曲線知識要點(diǎn)及結(jié)論個人總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)圓錐曲線知識要點(diǎn)及重要結(jié)論一、橢圓1 定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)21,ff的距離的和等于常數(shù))2(221ffaa的點(diǎn)p的軌跡叫做橢圓. 若212ffa，點(diǎn)p的軌跡是線段21ff. 若2120ffa，點(diǎn)p不存在 . 2 標(biāo)準(zhǔn)方程)0(12222babyax，兩焦點(diǎn)為)0,(),0 ,(21cfcf. )0(12222babxay，兩焦點(diǎn)為),0(),0(21cfcf. 其中222cba. 3 幾何性質(zhì)橢圓是軸對稱圖形，有兩條對稱軸. 橢圓是中心對稱圖形，對稱中心是橢圓的中心. 橢圓的頂點(diǎn)有四個，長軸長為a2，短軸長為b2，橢圓的焦點(diǎn)在長軸上. 若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為)0(12222baby

2、ax，則bybaxa,；若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為)0( 12222babxay，則ayabxb,. 二、雙曲線1 定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)21,ff的距離之差的絕對值等于常數(shù))20(221ffaa的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線. 若212ffa，點(diǎn)p的軌跡是兩條射線. 若212ffa，點(diǎn)p不存在 . 2 標(biāo)準(zhǔn)方程)0,0(12222babyax，兩焦點(diǎn)為)0,(),0 ,(21cfcf. )0,0(12222babyax，兩焦點(diǎn)為),0(),0(21cfcf. 其中222bac. 3 幾何性質(zhì)雙曲線是軸對稱圖形，有兩條對稱軸；雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是雙曲線的中心. 雙曲線的頂點(diǎn)有兩個21, aa，實(shí)軸長為a

3、2，虛軸長為b2，雙曲線的焦點(diǎn)在實(shí)軸上. 若雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為)0, 0(12222babyax，則ryaxax,或；若雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為)0,0( 12222babxay，則rxayay,或. 學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)4 漸近線雙曲線)0,0( 12222babyax有兩條漸近線xaby和xaby. 即02222byax雙曲線)0,0( 12222babxay有兩條漸近線xbay和xbay. 即02222bxay雙曲線的漸進(jìn)線是它的重要幾何特征，每一雙曲線都對應(yīng)確定雙曲線的漸進(jìn)線，但對于同一組漸進(jìn)線卻對應(yīng)無數(shù)條雙曲線. 與雙曲線)0,0( 12222babyax共漸進(jìn)線的雙曲線可表示為)0(222

4、2byax. 直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)的條件，一定要“消元后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)0”和“0”同時成立. 5 等軸雙曲線：實(shí)軸長等于虛軸長的雙曲線叫做等軸雙曲線. 等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為)0( 12222aayax或)0(12222aaxay. 等軸雙曲線的漸近線方程為xy. 6 共軛雙曲線：實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線互為共軛雙曲線. 如：)0, 0(12222babyax的共軛雙曲線為)0,0(12222baaxby，它們的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，因而在以原點(diǎn)為圓心，22ba為半徑的圓上 . 且它們的漸近線都是xaby和xaby. 三、拋物線1 定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)f和一條定直線fl(不在l上)

5、 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線. 定點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線. 2 標(biāo)準(zhǔn)方程(1) )0(22ppxy，焦點(diǎn)為)0,2(p，準(zhǔn)線方程為2px，拋物線張口向右. (2) )0(22ppxy，焦點(diǎn)為)0 ,2(p，準(zhǔn)線方程為2px，拋物線張口向左. (3) )0(22ppyx，焦點(diǎn)為)2,0(p，準(zhǔn)線方程為2py，拋物線張口向上. (4) )0(22ppyx，焦點(diǎn)為)2, 0(p，準(zhǔn)線方程為2py，拋物線張口向下. 其中p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離. 3 幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)拋物線是軸對稱圖形，有一條對稱軸. 若方程為)0(22ppxy或)0(22ppxy，則對稱軸是x軸，

6、若方程為)0(22ppyx或)0(22ppyx，則對稱軸是y軸. 若拋物線方程為)0(22ppxy，則ryx,0. 若拋物線方程為)0(22ppxy，則ryx,0. 若拋物線方程為)0(22ppyx，則rxy,0. 若拋物線方程為)0(22ppyx，則rxy,0. 圓錐曲線的一些重要結(jié)論【幾個重要結(jié)論】1 已知橢圓)0(12222babyax的兩焦點(diǎn)為)0 ,(),0,(21cfcf，),(00yxp為橢圓上一點(diǎn)，則)1()()(22022020201axbcxycxpfaacxaacxacxaxc020202202)(2因?yàn)閍xa0，caaacxcacacxc000 ,，所以aacxpf01

7、. 同理，acxapfapf0122. 已知雙曲線)0,0(12222babyax的左、右焦點(diǎn)分別為)0 ,(),0,(21cfcf，),(00yxp為雙曲線上一點(diǎn)，則aacxpf01，aacxpf02. 2 橢圓)0(12222babyax的兩焦點(diǎn)為21,ff，p為橢圓上一點(diǎn)，若21pff，則21pff的面積為2tancos1sin22bb. 解：根據(jù)橢圓的定義可得apfpf221學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)由余弦定理可得cos242122212212pfpfpfpfffc由得)cos1(2442122pfpfca. 從而cos12221bpfpf所以，21fpf的面積為2tancos1sinsin2

8、12221bbpfpf雙曲線)0,0( 12222babyax的兩焦點(diǎn)為21, ff，p為其上一點(diǎn)，若21pff，則21pff的面積為2cotcos1sinsin212221bbpfpf. 3 已知橢圓)0(1:2222babyaxc，nm ,是c上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)p是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線pnpm ,的斜率都存在，并記為pnpmkk,時，那么pmk與pnk之積是與點(diǎn)p位置無關(guān)的定值.解：設(shè)),(),(1100yxmyxp，則),(11yxn. 01010101,xxyykxxyykpnpm，從而2120212001010101xxyyxxyyxxyykkpnpm. 又因?yàn)?,(),(1

9、100yxmyxp都在橢圓上，故1, 1221221220220byaxbyax. 兩式相減得，02212022120byyaxx，因而2221202120abxxyy即22abkkpnpm. 類似結(jié)論已知雙曲線)0,0( 12222babyax.nm ,是c上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)p是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線pnpm ,的斜率都存在，并記為pnpmkk,時，那么pmk與pnk之積是與點(diǎn)p位置無關(guān)的定值. 【常用方法】1 在求軌跡方程時，若條件滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以用定義求軌跡方程，這是常用求軌跡的數(shù)學(xué)方法，稱為定義法 . 2 本章經(jīng)常會碰到直線l與圓錐曲線c相交于兩點(diǎn)的問

10、題，若已知l過定點(diǎn)),(00yxp，則可學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)設(shè)l的方程為0 xx或)(00 xxkyy. 然后分兩種情況進(jìn)行研究，一般處理方法是把直線方程代入曲線c的方程中，整理得到關(guān)于x或y的一元二次方程(要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零 ). 韋達(dá)定理 和判別式 經(jīng)常要用到！若l的條件不明顯時，則可設(shè)l的方程為mx或mkxy. 3 本章還經(jīng)常用到 “點(diǎn)差法”： 設(shè)直線l與圓錐曲線c交于點(diǎn)),(),(2211yxbyxa, 則ba,兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足曲線c的方程， 然后把這兩個結(jié)構(gòu)相同的式子相減，整理可以得到直線ab的斜率1212xxyy的表達(dá)式，也經(jīng)常會出現(xiàn)2121,yyxx，這樣又可以與線段ab的中點(diǎn)

11、),(00yxp聯(lián)系起來！4 若三點(diǎn)),(),(),(002211yxpyxbyxa滿足以線段ab為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)p或bpap時，常用處理方法有：根據(jù)勾股定理可得222pbpaab；根據(jù)ap的斜率與bp的斜率之積為1，可得120201010 xxyyxxyy；根據(jù)),(),(, 002020101yyxxpbyyxxpapbpa可得0)()(02010201yyyyxxxx. 5 求軌跡方程的方法常見的有：直接法、定義法、待定系數(shù)法、代入法（也叫相關(guān)點(diǎn)法）. 圓錐曲線中有用的結(jié)論1 橢圓22221(0)xyabab的參數(shù)方程是cossinxayb. 離心率221cbeaa，pf1f2中，記12

12、f pf, 12pf f,12f f p，則有sinsinsincea. 線到中心的距離為2ac，焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離( 焦準(zhǔn)距 )2bpc。過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：22ba. 學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)2 橢圓22221(0)xyabab焦半徑公式及兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積: 21()apfe xaexc，22()apfexaexc；1221|tan2f pfpf pfsc yb。3 橢圓的的內(nèi)外部: （1）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓22221(0)xyabab的內(nèi)部2200221xyab. （2）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓22221(0)xyabab的外部2200221xya

13、b. 4 橢圓的切線方程: (1) 橢圓22221(0)xyabab上一點(diǎn)00(,)p xy處的切線方程是00221x xy yab. （2）過橢圓22221xyab外一點(diǎn)00(,)p xy所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是00221x xy yab. （ 3 ） 橢 圓22221(0)xyabab與 直 線0axbyc相 切 的 條 件 是22222a ab bc. 5 雙曲線22221(0,0)xyabab的離心率221cbeaa，pf1f2中，記12f pf, 12pf f,12f f p，則有sinsinsincea. 焦點(diǎn)在 x 軸的2222x(0)ym mab與焦點(diǎn)在 y 軸的2222x(

14、0)yn nba共漸近線，它們離心率滿足關(guān)系22111xyee準(zhǔn)線到中心的距離為2ac，焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離( 焦準(zhǔn)距 )2bpc。過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：22ba. 焦半徑公式21| ()| |apfe xaexc，22| () | |apfexaexc，兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積1221cot2f pff pfsb。6 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系: (1 ）若雙曲線方程為12222byax漸近線方程：22220 xyabxaby. (2) 若漸近線方程為xaby0byax雙曲線可設(shè)為2222byax. 學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)(3) 若雙曲線與12222byax有公共漸近

15、線，可設(shè)為2222byax（0，焦點(diǎn)在x 軸上，0，焦點(diǎn)在y 軸上） . (4) 焦點(diǎn)到漸近線的距離總是b。7 雙曲線的切線方程: (1)雙曲線22221(0,0)xyabab上一點(diǎn)00(,)p xy處的切線方程是00221x xy yab. (2)過雙曲線22221xyab外一點(diǎn)00(,)p xy所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是00221x xy yab. （ 3）雙曲線22221xyab與直線0axbyc相切的條件是22222a ab bc. 8 拋物線pxy22的焦半徑公式: 拋物線22(0)ypx p焦半徑02pcfx. 過焦點(diǎn)弦長pxxpxpxcd212122=22sinp9 直線與圓錐曲

16、線相交的弦長公式221212()()abxxyy或222221211212(1)()4| 1tan| 1tabkxxxxxxyyco（弦端點(diǎn)a),(),(2211yxbyx，由方程0)y,x(fbkxy消去 y 得到02cbxax0,為直線的傾斜角，k為直線斜率，2121212|()4xxxxx x10. 經(jīng)過拋物線y2=2px (p0) (*) 的焦點(diǎn)作一條直線l交拋物線于a(x1 ,y1)、b(x2, y2) ,則l 的方程為x=2p(通經(jīng)所在直線)，或 y=k(x2p) (*) (*) 、(*) 兩式聯(lián)立：消 x 得2022kpkyyp，得 y1y2=p2（定值）消y 得方程22222(

17、2)04k pk xk pp x，得 x1x2=24p(定值 ) 例題： 若 p1(x1 ,y1), p2(x2, y2)是拋物線y2=2px (p0)上不同的兩點(diǎn)， 則 “y1y2=p2”是 “直線 p1p2過拋物線焦點(diǎn)f”的充要條件11.以焦點(diǎn)弦ab 為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切。以焦半徑為直徑的圓必與y 軸相切（請證明！ ）過 a、 b 作準(zhǔn)線的垂線， 焦點(diǎn)弦 ab 與準(zhǔn)線形成的直角梯形abb/a/ 的對角線的交點(diǎn)是原點(diǎn)t（2p,0 ）是拋物線y2=2px 對稱軸 y=0 上的特殊點(diǎn)，過此點(diǎn)的弦與拋物線交于p、q，則有 poq=90o或說0opoq。12. 中點(diǎn)弦公式1. ab 是橢圓22221xyab的不平行于對稱軸的弦，m),(00yx為 ab的中點(diǎn)，學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)則22omabbkka，即0202yaxbkab