新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總

1、學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開(kāi)放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0） 、0、42、-2、1xy、xy（x0，y?0） 分析：二次根式應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“” ；第二，被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)或0知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1、二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0 時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開(kāi)

2、方數(shù)大于或等于零即可。2、二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0 時(shí)，沒(méi)有意義。例 2當(dāng) x 是多少時(shí)，31x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例 3當(dāng) x 是多少時(shí)，23x+11x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？知識(shí)點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示 a 的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎?a 的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0 的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類(lèi)似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則 a=0,b=0 ；若，則 a=0,b=0 ；若，則 a=0,

3、b=0 。例 4(1)已知 y=2x+2x+5，求xy的值 (2)若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注： 二次根式的性質(zhì)公式（） 是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過(guò)來(lái)應(yīng)用：若，則，如：，. 例 1 計(jì)算1 （32）22 （ 35）23 （56）24 （72）2 例 2 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。注：1、化簡(jiǎn)時(shí)，一定要弄明

4、白被開(kāi)方數(shù)的底數(shù)a 是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a 本身，即；若 a 是負(fù)數(shù)，則等于a 的相反數(shù) -a, 即；2、中的 a 的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a 取何值，一定有意義；3、化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)。例 1 化簡(jiǎn)（1）9（2）2( 4)（3）25（4）2( 3)例 2 填空：當(dāng)a 0 時(shí)，2a=_；當(dāng) aa，則 a 是什么數(shù)？學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)例 3 當(dāng) x2，化簡(jiǎn)2(2)x-2(1 2 )x知識(shí)點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a 的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中 a 可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)

5、實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無(wú)意義，而. 知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的乘除1、 乘法abab（a0，b 0）反過(guò)來(lái)：ab=ab（a0，b0）2、除法ab=ab（a 0，b0）反過(guò)來(lái)，ab=ab（a 0，b0）（思考： b 的取值與a 相同嗎？為什么？不相同，因?yàn)閎 在分母，所以不能為0）例 1計(jì)算（1）457（2）139（3）927（4）126例 2 化簡(jiǎn)（1）9 16（ 2）1681（3）229x y（4）54例 3判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：（1）( 4)( 9)49（2）1242525=4122525=

6、4122525=412=83例 4計(jì)算：（1）123（2）3128（3）11416（4）648例 5化簡(jiǎn)：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy例 6已知9966xxxx，且 x 為偶數(shù)，求（1+x）22541xxx的值學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)3、最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)滿(mǎn)足的條件：（1）被開(kāi)方數(shù) 不含 分母或分母中不含二次根式；（2）被開(kāi)方數(shù)中 不含 開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式（熟記20 以?xún)?nèi)數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關(guān)系，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是整式時(shí)要先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各個(gè)因式的指數(shù)是否是2（或 2的倍數(shù)），若是則說(shuō)明含有能開(kāi)方的因式，則不滿(mǎn)足條件，就不是最簡(jiǎn)二次根式）

7、例 1把下列二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式(1) 5312; (2) 2442x yx y; (3) 238x y4、化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式的方法：(1) 把被開(kāi)方數(shù) (或根號(hào)下的代數(shù)式)化成積的形式，即分解因式；(2) 化去根號(hào)內(nèi)的分母（或分母中的根號(hào)），即分母有理化；(3) 將根號(hào)內(nèi)能開(kāi)得盡方的因數(shù)(或因式 )開(kāi)出來(lái)（此步需要特別注意的是：開(kāi)到根號(hào)外的時(shí)候要帶絕對(duì)值，注意符號(hào)問(wèn)題）5. 有理化因式：一般常見(jiàn)的互為有理化因式有如下幾類(lèi)：與；與；與；與說(shuō)明：利用有理化因式的特點(diǎn)可以將分母有理化13、同類(lèi)二次根式：被開(kāi)方數(shù)相同的（最簡(jiǎn)）二次根式叫同類(lèi)二次根式。判斷是否是同類(lèi)二次根式時(shí)務(wù)必 將各個(gè)根式都化為最

8、簡(jiǎn)二次根式。如8與18知識(shí)點(diǎn)八：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式（即同類(lèi)二次根式）進(jìn)行合并。 （合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來(lái)。例 1計(jì)算（ 1）8+18（2）16x+64x分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并解： （1）8+18=22+32=（2+3）2=52（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x例 2計(jì)算（1）348-913+312（2） （48+20） +（12-5）例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求（293xx+