數(shù)列知識點(diǎn)回顧高三復(fù)習(xí)

1、數(shù)列知識點(diǎn)回顧第一部分：數(shù)列的基本概念1理解數(shù)列定義的四個要點(diǎn)數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強(qiáng)調(diào)有“次序”，而不強(qiáng)調(diào)有“規(guī)律”因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列在數(shù)列中同一個數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)項a及項數(shù)n是兩個根本不同的概念數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列2數(shù)列的通項公式一個數(shù)列 a的第n項a及項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果用一個公式a=來表示，就把這個公式叫做數(shù)列 a的通項公式。若給出數(shù)列 a的通項公式，則這個數(shù)列是已知的。若數(shù)列 a的前n項和記為S，則S及a的關(guān)系是：a

2、=。第二部分：等差數(shù)列1等差數(shù)列定義的幾個特點(diǎn)： 公差是從第一項起，每一項減去它前一項的差(同一常數(shù))，即d = aa(n2)或d = aa (nN)要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，必須對任意nN，aa= d (n2)或d = aa都成立一般采用的形式為： 當(dāng)n2時，有aa= d (d為常數(shù))當(dāng)n時，有aa= d (d為常數(shù))當(dāng)n2時，有aa= aa成立若判斷數(shù)列 a不是等差數(shù)列，只需有aaaa即可2等差中項若a、A、b成等差數(shù)列，即A=，則A是a及b的等差中項；若A=，則a、A、b成等差數(shù)列，故A=是a、A、b成等差數(shù)列，的充要條件。由于a=，所以，等差數(shù)列的每一項都是它前一項及后一項的等差中項。

3、3等差數(shù)列的基本性質(zhì)公差為d的等差數(shù)列，各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d公差為d的等差數(shù)列，各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd若 a、 b為等差數(shù)列，則 a±b及kab(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列對任何m、n，在等差數(shù)列 a中有：a= a+ (nm)d，特別地，當(dāng)m = 1時，便得等差數(shù)列的通項公式，此式較等差數(shù)列的通項公式更具有一般性、一般地，如果l，k，p，m，n，r，皆為自然數(shù)，且l + k + p + = m + n + r + （兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等），那么當(dāng)a為等差數(shù)列時，有：a+ a+ a+ = a+ a+ a+ 公差為d的等差數(shù)列，從

4、中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項數(shù)之差)如果 a是等差數(shù)列，公差為d，那么，a，a，a、a也是等差數(shù)列，其公差為d；在等差數(shù)列 a中，aa= aa= md (其中m、k、)在等差數(shù)列中，從第一項起，每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它前后兩項的等差中項當(dāng)公差d0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大；當(dāng)d0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減少而減??；d0時，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)設(shè)a，a，a為等差數(shù)列中的三項，且a及a，a及a的項距差之比=（1），則a=4等差數(shù)列前n項和公式S=及S= na的比較前n項和公式公式適用范圍相同點(diǎn)S=用于已知等差數(shù)列的首項和

5、末項都是等差數(shù)列的前n項和公式S= na用于已知等差數(shù)列的首項和公差5等差數(shù)列前n項和公式S的基本性質(zhì)數(shù)列 a為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列 a的前n項和S可以寫成S= an+ bn的形式(其中a、b為常數(shù))在等差數(shù)列 a中，當(dāng)項數(shù)為2n (nN)時，SS= nd，=；當(dāng)項數(shù)為(2n1) (n)時，SS= a，=若數(shù)列 a為等差數(shù)列，則S，SS，SS，仍然成等差數(shù)列，公差為若兩個等差數(shù)列 a、 b的前n項和分別是S、T(n為奇數(shù))，則=在等差數(shù)列 a中，S= a，S= b (nm)，則S=(ab)等差數(shù)列a中，是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n，）均在直線y =x + (a)上記等差數(shù)列a的前n項和為S若

6、a0，公差d0，則當(dāng)a0且a0時，S最大；若a0 ，公差d0，則當(dāng)a0且a0時，S最小第三部分：等比數(shù)列1正確理解等比數(shù)列的含義q是指從第2項起每一項及前一項的比，順序不要錯，即q = (n)或q = (n2)由定義可知，等比數(shù)列的任意一項都不為0，因而公比q也不為0要證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，必須對任意n，= q；或= q (n2)都成立2等比中項及等差中項的主要區(qū)別如果G是a及b的等比中項，那么=，即G= ab，G =±所以，只要兩個同號的數(shù)才有等比中項，而且等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)；如果A是a及b的等差中項，那么等差中項A唯一地表示為A=，其中，a及b沒有同號的限制在這里，

7、等差中項及等比中項既有數(shù)量上的差異，又有限制條件的不同3等比數(shù)列的基本性質(zhì)公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為q( m為等距離的項數(shù)之差)對任何m、n，在等比數(shù)列 a中有：a= a· q，特別地，當(dāng)m = 1時，便得等比數(shù)列的通項公式，此式較等比數(shù)列的通項公式更具有普遍性一般地，如果t ，k，p，m，n，r，皆為自然數(shù)，且t + k，p，m + = m + n + r + (兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等)，那么當(dāng)a為等比數(shù)列時，有：aaa = aaa 若 a是公比為q的等比數(shù)列，則| a|、a、ka、也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |、q、q

8、、如果 a是等比數(shù)列，公比為q，那么，a，a，a，a，是以q為公比的等比數(shù)列如果 a是等比數(shù)列，那么對任意在n，都有a·a= a·q0兩個等比數(shù)列各對應(yīng)項的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個數(shù)列的公比的積當(dāng)q1且a0或0q1且a0時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)a0且0q1或a0且q1時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時，等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)q0時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列4等比數(shù)列前n項和公式S的基本性質(zhì)如果數(shù)列a是公比為q 的等比數(shù)列，那么，它的前n項和公式是S=也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q = 1處因此，使用等

9、比數(shù)列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q1進(jìn)行討論當(dāng)已知a，q，n時，用公式S=；當(dāng)已知a，q，a時，用公式S=若S是以q為公比的等比數(shù)列，則有S= SqS若數(shù)列 a為等比數(shù)列，則S，SS，SS，仍然成等比數(shù)列若項數(shù)為3n的等比數(shù)列(q1)前n項和及前n項積分別為S及T，次n項和及次n項積分別為S及T，最后n項和及n項積分別為S及T，則S，S，S成等比數(shù)列，T，T，T亦成等比數(shù)列二、難點(diǎn)突破1并不是所有的數(shù)列都有通項公式，一個數(shù)列有通項公式在形式上也不一定唯一已知一個數(shù)列的前幾項，這個數(shù)列的通項公式更不是唯一的2等差(比)數(shù)列的定

10、義中有兩個要點(diǎn)：一是“從第2項起”，二是“每一項及它前一項的差(比)等于同一個常數(shù)”這里的“從第2項起”是為了使每一項及它前面一項都確實存在，而“同一個常數(shù)”則是保證至少含有3項所以，一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列的必要非充分條件是這個數(shù)列至少含有3項3數(shù)列的表示方法應(yīng)注意的兩個問題： a及a是不同的，前者表示數(shù)列a，a，a，而后者僅表示這個數(shù)列的第n項；數(shù)列a，a，a，及集合 a，a，a，不同，差別有兩點(diǎn)：數(shù)列是一列有序排布的數(shù)，而集合是一個有確定范圍的整體；數(shù)列的項有明確的順序性，而集合的元素間沒有順序性4注意設(shè)元的技巧時，等比數(shù)列的奇數(shù)個項及偶數(shù)個項有區(qū)別，即：對連續(xù)奇數(shù)個項的等比數(shù)列，若已知

11、其積為S，則通常設(shè)，aq， aq， a，aq，aq，；對連續(xù)偶數(shù)個項同號的等比數(shù)列，若已知其積為S，則通常設(shè)，aq， aq， aq，aq，5一個數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是該數(shù)列各項均不為0，因此，在研究等比數(shù)列時，要注意a0，因為當(dāng)a= 0時，雖有a= a· a成立，但a不是等比數(shù)列，即“b= a · c”是a、b、 c成等比數(shù)列的必要非充分條件；對比等差數(shù)列a，“2b = a + c”是a、b、 c成等差數(shù)列的充要條件，這一點(diǎn)同學(xué)們要分清6由等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列各項均不為0，因此，判斷一數(shù)列是否成等比數(shù)列，首先要注意特殊情況“0”等比數(shù)列的前n項和公式蘊(yùn)含著分類討論思

12、想，需分分q = 1和q1進(jìn)行分類討論，在具體運(yùn)用公式時，常常因考慮不周而出錯另外，對于等差數(shù)列的求法，在進(jìn)行詳細(xì)總結(jié)，注意最后一種不動點(diǎn)法不要求掌握，其實是因為老師從來沒講過。數(shù)列通項公式的求法一、公式法等差、等比數(shù)列公式.例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式。二、累加法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項公式。例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通

13、項公式。三、累乘法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項公式。四、取倒數(shù)法例 已知數(shù)列中，其中，且當(dāng)n2時，求通項公式。解 將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項是，公差為2，所以，即.五、待定系數(shù)法(這個我們老師特殊講過啦，可以根據(jù)例題鞏固一下)例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式，最后再

14、求數(shù)列的通項公式。六、對數(shù)變換法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。七、迭代法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而。八、數(shù)學(xué)歸納法（這個東西最好是不要用，除非是你實在不會做的情況下就最好用一下，因為這樣可以使得不會做的題目也可以拿分，在一般的選擇填空題里面也最好用一下，可以節(jié)約大量時間的。在很多給定的條件求不出的情況下，其實那是要我們就是用這個方法的，相當(dāng)于

15、周期函數(shù)啦，還有就是常數(shù)函數(shù)。）例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得。由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)時，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，由此可知，當(dāng)時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。九、換元法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，代入得。即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得十、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法例 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式.【解析】【反思?xì)w納】遞推關(guān)系形如“” 適用于待定系數(shù)法或特征根法：令； 在中令，；由得，.例 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式.【解析】，令【反思

16、歸納】遞推關(guān)系形如“”通過適當(dāng)變形可轉(zhuǎn)化為：“”或“求解.十一、不動點(diǎn)法（對于這種方法，個人覺得十分有用，其實是我們老師沒講，然后立達(dá)的老師講了啦，一般只有復(fù)雜的數(shù)列題中會遇到。不過覺得被你看到復(fù)雜的數(shù)列題就會跳過的。）例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動點(diǎn)。因為，所以評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式再總結(jié)一下求和的技巧：這個稍稍復(fù)雜很多。四、數(shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、 等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：前個正整數(shù)的和前個正整數(shù)的平方和前個正整數(shù)的立方和公式

17、法求和注意事項（1）弄準(zhǔn)求和項數(shù)的值；（2）等比數(shù)列公比未知時，運(yùn)用前項和公式要分類。例 已知，求的前n項和.例 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 當(dāng) ，即n8時，二、錯位相減法求和（一定要小心計算）這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。例：（2009全國卷理）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項公式（II）求數(shù)列的前項和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項公式:()（II）由（I）知,

18、=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得=三、 倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它及原數(shù)列相加，就可以得到n個.例 求證：證明： 設(shè)四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項和：，解：設(shè)當(dāng)a1時，當(dāng)時，例：（2019全國卷2文）（18）（本小題滿分12分）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和。五、裂項法求和這是分解及組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的

19、每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（注意這個，能記得話盡量記下來，我們老師以前講的時候就出過幾個這樣的題目，相信要是考試中有的話肯定死一片）（3）（列項相消法） （4）（我想說的是，這個也有過）（5）（這個可以算是新知識咯）(6) 例 求數(shù)列的前n項和.則 例 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和.解： （這些例題在我沒看這個之前我想我肯定一個都不會）六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn. 例 數(shù)列an：，求S2019.(

20、很顯然就是糅合周期函數(shù)來解題)解：設(shè)S2019S2019 5例 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) 10七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例 求之和.解：由于除此之外，我再增加幾種題型：前n項的最值問題等差數(shù)列前n項和最值問題的快速解法1. 1二次函數(shù)法：即用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項和的最值（但要注意的是：），借助于及二次函數(shù)之間的關(guān)系，確定出對稱軸的取值范圍，然后確定n值，使最大（?。４_定n值的方法是找出離對稱軸最近的正整數(shù)。等差數(shù)列前n項和公式是，記住拋物線對稱軸方程.最值一定在離對稱軸最近的整數(shù)中取到.圖像是過原點(diǎn)的拋物線上的一些離散點(diǎn)，由于二次函數(shù)圖像的對稱性，一旦給出關(guān)系式，則馬上知道拋物線的對稱軸方程為，即兩足標(biāo)和的一半！關(guān)于的最值問題可以轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解。其實，它還有一個零點(diǎn)式方程， 設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則拋物線的兩個零點(diǎn)為0和，則可設(shè)（圖像中x軸對應(yīng)n軸，y軸對應(yīng)軸，等差最值問題要立刻想到這2個圖像?。├? 等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。速解：拋物線對稱軸方程為，則可設(shè)，由時，例2 在等差數(shù)列中,已知,前項和為,且,求當(dāng)取何值時,有最大值,并求它的最大值。解：拋物