專題根與系數(shù)的關(guān)系含答案

1、專題：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系例1已知關(guān)于x的方程 mx2- (2m-1) x+ m-2=0 .(1 )當(dāng)m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若xi、X2為方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且滿足 xi2+X22-xiX2=2，求m 的值.例2.已知關(guān)于x的方程x2-4mx+4 m2-9=0 .(1) 求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為xi, X2,其中xiv x2.若2xi=X2+1 ,求?m 的值.例 3.已知關(guān)于 x 的方程 mx2+ (4-3m) x+2 m-8=0 (m> 0).(1 )求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；1(2)設(shè)方程的兩個(gè)

2、根分別為X1、X2 (xy X2),若n=X2-xqm,且點(diǎn)B(m, n)在x軸上，求m的值.例4.已知關(guān)于x的一元二次方程：x2-2 (m+1 ) x+ m2+5=0有兩個(gè)不相 等的實(shí)數(shù)根.(1 )求m的取值范圍；(2)若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為X1、X2 ,且滿足X12+ X22 = | X1| + | X2|+2 X1X2, 求m的值.例5.已知關(guān)于x的方程x2- (2k+1 ) x+4 (k-寸)=0 .(1)求證：無論k取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根;(2) 能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若能找到， 求出k的值；若不能，請(qǐng)說明理由.(3) 當(dāng)?shù)妊切蜛BC的邊長a=

3、4 ,另兩邊的長b、c恰好是這個(gè)方程 的兩根時(shí)，求 ABC的周長.訓(xùn)練1已知關(guān)于 x 的方程 mx2- ( m+2 ) x+2=0(mz 0).(1 )求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；1 1(2)已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 a, B,滿足?<+?=1 ,求m的值.2. 已知一元二次方程 x2-2x+ m=0(1) 若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 m的范圍；(2) 若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 *和X2，且*+3x2=3，求m的值.(3) 若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 X1和X2，且X12-X22=0 ,求m的值.3. 已知關(guān)于 x 的方程 x2+ (m-3) x-m (2m-3) =0(1)證明：無論m為何值方程都

4、有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)是否存在正數(shù)m,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于 26?若存在, 求出滿足條件的正數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.4已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x-k2=0 (k為常數(shù)).(1 )求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)Xi、X2為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且2xi + X2=14，試求出方程的兩 個(gè)實(shí)數(shù)根和k的值.5已知關(guān)于x的方程x2- (2k-3) x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xi、x2 .(1 )求k的取值范圍；(2)若 Xi、X2滿足|xi|+| x2|=2| xiX2|-3，求 k 的值.i6已知關(guān)于x的一元二次方程x2- (m-2) x+-m-3=0(1)

5、求證：無論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 xi，X2,且2xi + x2=m+1，求m的值.7已知關(guān)于x的一元二次方程(a-1) x例4.當(dāng)m>丄且mz 0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 4例5.(2)v X1、x2為方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，冶2?-1?-2例 6. X1+x2=亍,X1x2=齊,- X12+ X22-X1X2= ( X1+X2) 2-3X1X2= () 2-3(?；)=?,例 8. 解得：m1= V2+1 , m2= -v2+1 (舍去)； m= V2+1 . 例9.例 10. 解：(1) = (-4m) 2-4 (4m2-

6、9) =36 > 0,例11.此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；-5x+4a-2=0的一個(gè)根為x=3 .(1 )求a的值及方程的另一個(gè)根;(2)如果一個(gè)等腰三角形(底和腰不相等)的三邊長都是這個(gè)方程的 根，求這個(gè)三角形的周長.8.設(shè)xi, X2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2 ax+ a2+4 a-2=0的兩實(shí)根，當(dāng) a為何值時(shí)，xi2 + x22有最小值？最小值是多少？專題：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系例1. 解：(i)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，例2. = b2-4ac= - ( 2m-1) 2-4m (m-2) =4 m+1 > 0 ,1例3. 解得：m> -,：二次項(xiàng)

7、系數(shù)工0 , m 0 ,例7.4,、4? ±736,例 12.(2) x=2一=2 m± 3,例 13. xi=2 m-3 , X2=2 m+3 ,例 14./ 2xi=x2+1 , 2 (2m-3) =2 m+3+1 ,例 15. m=5 .例16.例 17. 解：(1 ) = (4-3m) 2-4m (2m-8),例 18.= m2+8 m+16= ( m+4 ) 2例 19.又T m> 0( m+4 ) 2>0 即厶> 0例20. 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；例21.( 2 )方程的兩個(gè)根分別為X1、X2 ( X1V X2),4-3?小 2?-8例22

8、. X1+X2=-卡亍,X1 ?X2= ?,1例23.n= X2-X1-m，且點(diǎn) B (m, n)在 x軸上，1 14 3?2? 81例24. X2-X1-2m=7 (?+ ?)2 - 4?-尹=7(牙)2 - 4 X -?-尹=0 ,例25. 解得：m=-2 , m=4 ,例26. m> 0 , m=4 .例27.解：(1) 方程x2-2 ( m+1 ) x+ m2+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，例28.= -2 ( m+1 ) 2-4 (m2+5 ) =8 m-16 > 0，解得：m>2.例29.(2)原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為X1、X2,例 30. X1+ X2=2 ( m+1

9、 ), X1 ?X2= m2+5 .例31. m>2 ,例 32. X1+ x2=2 ( m+1 ) > 0 , x1?x2=m2+5 > 0 ,例 33. X1> 0、x2> 0.例34. X12 + x22=(?1 + ?)2-2x1 ?X2=| X1|+| X2|+2 X1 ?X2,例 35. 4 (m+1 ) 2-2 ( m2+5 ) =2 ( m+1 ) +2 ( m2+5 ),即 6m-18=0 ,例36. 解得：m=3 .例37.1例38. 證明：(1 ) = (2k+1 ) 2-16 ( k-2) = (2k-3) 2> 0,例39.方程總有

10、實(shí)根；例40. 解：(2 )兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，例41. X1 + X2=2 k+ 仁0，解得 k= -0.5;例42.(3)當(dāng)b=c時(shí)，則 =0 ,3例43. 即(2k-3) 2=0 , k=-,例44.方程可化為 x2-4x+4=0 , X1= X2=2，而b= c=2 , b+ c=4= a不適合題意舍去;1例45. 當(dāng) b=a=4 ,則 42-4 (2k+1 ) +4 (k-) =0 ,5例 46. k=2，例47. 方程化為 x2-6x+8=0，解得 X1=4 , X2=2 ,例48. c=2 ,6abc=10 ,例49. 當(dāng) c= a=4 時(shí)，同理得 b=2 , Cabc=10 ,

11、例50.綜上所述， ABC的周長為10 .例51.訓(xùn)練1. (1)證明：方程 mx2- (m+2 ) x+2=0 ( m 0)是一元二次方程， = ( m+2)2-8m= m2+4 m+4 -8m= m2-4m+4= ( m-2)2 > 0 ,方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)解：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根a,3,由根與系數(shù)的關(guān)系可得a + 3 =竽,a3 =2,? ?/ -+ 丄=1? ? '?+2? ?+2寸丁日，?解得m=0 ,/ m 0, m無解.2. 解:(1 )方程x2-2x+ m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根, = (-2) 2-4m> 0,解得mw 1;(2) 由兩根關(guān)系可知，X1

12、 + x2=2 , X1?x2=m,解方程組?+?= 2 ,?+ 3? = 33?=-解得2,?=2小 3、，13 m= x1?x2=2x 2=4；(3) ： X12-x22=0 ,( Xi+ x2 ) ( X1-x2)=0，： X1 + X2=2 豐 0 , X1-X2=0 ,方程x2-2x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， = (-2) 2-4m=0 ,解得m=1 . (1)證明：關(guān)于 x 的方程 x2 + ( m-3) x-m (2m-3) =0 的判別式厶=(m-3) 2+4 m ( 2m-3) =9 ( m-1) 2>0 ,無論m為何值方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2 )解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)

13、根為X1、X2,則 X1 + x2= - (m-3), X1 x x2= -m (2m-3),令 X12+x22=26，得：(X1+X2) 2-2x1x2= ( m-3) 2+2 m (2m-3) =26 ,整理，得 5m2-12m-17=0 ,解這個(gè)方程得，m=t或m= -1,517所以存在正數(shù) m=，使得方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于26.54. (1)證明：在方程 x2-6x-k2=0 中， = (-6) 2-4 X 1X( -k2) =4 k2+36 >36,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)解： X1、X2為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，- X1+ X2=6 ，X1?X2= -k2, 2X1+

14、X2=14 ，聯(lián)立成方程組；?；+?=614，解之得：；?= 8，- X1 ?X2= -k2= -16 , k= ± 4 .5. 解：(1 )原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， = - ( 2k-3) 2-4 (k2+1 ) =4 k2-12k+9 -4k2-4=-12k+5 > 0 ,5解得：kv 12 ；5(2)y，- X1+ X2=2 k-3v 0,又：X1 ?X2= k2+1 > 0,- X1 v 0 , X2V 0 , |X1| + | X2|= -X1-X2= - ( X1+ X2) = -2k+3 , |X1| + | X2|=2| X1 X2 | -3 , -2

15、 k+3=2 k2+2 -3，即 k2+ k-2=0 ,- k1=1 , k2= -2 , k= -2.16. 解：(1) = ( m-2) 2-4X( -m-3) = ( m-3) 2+3 > 0 ,無論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)解：X1+X2= m-2,2x1+ X2= X1 + (X1+X2) = m+1 , X1= m+1+2 -m=3 ,把X1代入方程有：19-3 ( m-2) + jm-3=0解得m=.57. 解：(1 )將 x=3 代入方程中，得：9 (a-1) -15+4 a-2=0 ,解得：a=2 ,原方程為 x2-5x+6=(x-2) (x-3) =0 ,解得：xi=2 , x2=3 . a的值為2，方程的另一個(gè)根為 x=2 .(2)結(jié)合(1 )可知等腰三角形的腰可以為2或3, C