醫(yī)學高等數學：3-1不定積分

1、第三章一元函數積分學第三章一元函數積分學3.1不定積分不定積分( )( ),( )( )Fxf xF xf x 若若在在某某區(qū)區(qū)間間上上則則稱稱為為在在該該區(qū)區(qū)間間上上的的一一個個定定義義3 3- -1 1原原函函數數。一、不定積分的概念一、不定積分的概念sincosxx是是的的原原函函數數1ln xx是是的的原原函函數數xxee是是的的原原函函數數1( )2F( )( ),F( )( )Cf xxf xxf x（ ）的的原原函函數數是是無無窮窮多多個個的的; ;（ ）若若是是的的原原函函數數 則則C C 也也是是的的原原函函數數, , 這這里里 是是注注意意：任任意意常常數數. .( )si

2、n , ( )sin1f xx g xx設設， 那那么么有有( )( )cos .fxg xx( )ln,f xxC同同樣樣的的道道理理，1( )fxx 那那么么( )( )( )( )( )2(3f xf xf xf x dxf xf x dxx 函函數數的的全全體體原原函函數數稱稱為為的的, , 又又稱稱為為的的, , 記記作作. . 其其中中為為定定義義不不定定積積分分原原函函數數族族積積分分號號被被積積函函數數被被積積表表, ,為為, ,為為達達式式積積, , 為為分分變變量量. .( )( )( )( ),( )( )F xf xFxf xf x dxF xC 是是的的某某一一原原函

3、函數數, ,即即由由定定義義有有: :2x dx 例例： （1 1） 求求 1dxx （2 2） 求求 31dxxx （3 3） 求求 00 xx考考慮慮與與兩兩個個情情況況。二不定積分的性質二不定積分的性質 ()()1()()f x dxf xdf x dxf x dx ：性性質質或或( )( )(2) fx dxf xCdf xf xC 或或性性：質質: ( )( )3kf x dxkf x dx （k k為為非非性性質質零零常常數數）: ( )( )( )(4)f xg x dxf x dxg x dx 性性質質例例5 5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(

4、22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 不定積分舉例不定積分舉例例例6 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln| |.xxC不定積分舉例不定積分舉例例例7 7 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明：說明：以上幾例中的被積函數都需要進行以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.不定積分舉例不定積分舉例三三

5、換元法積分換元法積分問題問題 xdx2cos,2sinCx 1cos2cos2(2 )2xdxxdx1. 第一類換元積分法第一類換元積分法1sin22xC設設)(uf具有原函數，具有原函數， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式第一類換元公式（湊微分法）（湊微分法）)(xu 可可導導，則有換元公式則有換元公式定理定理1 11. 第一類換元積分法第一類換元積分法例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（

6、三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例例2 2 求求.231dxx 解解dxx 23111(32 )232dxx1ln |32 |.2xC dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地例例3 3 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx 例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(1

7、2.34arctan31Cx 例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 還還有有一一種種方方法法例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)

8、sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 說明說明 當被積函數是三角函數相乘時，拆開奇當被積函數是三角函數相乘時，拆開奇次項去湊微分次項去湊微分.例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例例1313 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxl

9、n tan2xCln|csccot|.xxC（使用了三角函數恒等變形）（使用了三角函數恒等變形）解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc21cossindxx )(coscos112xdx111cos2 1 cos1 cosdxxx 11coslnln|csccot|.21cosxCxxCx 類似地可推出類似地可推出secln|sectan|.xdxxxC 例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx ln arcsin.2xC問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中

10、間變量的設置方法改變中間變量的設置方法.過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應用（應用“湊微分湊微分”即可求出結果）即可求出結果）2. 第二類換元法第二類換元法設設)(tx 是是單單調調的的、可可導導的的函函數數， 1( )( ) ( ) ( )txf x dxftt dt 則有換元公式則有換元公式并并且且0)( t ，定理定理2. 第二類換元法第二類換元法例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecln|

11、sectan |ttC tax22ax 22ln|.xxaCaa 例例1717 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 dxxx 234tdtt23cossin32 2232 sincoscosttdx tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec tdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecln|sectan |ttC tax22ax 22ln|.xxaCaa 說明說明(1)(1)

12、 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數中含有一般規(guī)律如下：當被積函數中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 例例2020 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx例例2121 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(623

13、5 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 說明說明(4)(4) 當分母的階較高時當分母的階較高時, 可采用可采用倒代換倒代換.1tx 例例2222 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解四四 分部積分分部積分()uvuvuv因因為為 ，()uvuvuv所所以以兩兩邊邊積積分分，得得()uv dxuv dxu vdx,uvu vdx 例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解（一）

14、解（一） xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當選擇不當，積分更難進行，積分更難進行.vu ,解（二）解（二） xdxxxsinsin.cossinCxxx 2coscos2xxxdxxd cossinxxdxxdx : ln 3-20 xxdx 求求不不定定積積分分例例 ,udvuvvduudvudv運運用用分分部部積積分分法法， 關關鍵鍵是是恰恰當當選選取取 和和選選取取 和和的的原原則則是是：(1) ;v要要容容易易找找到到(2).vduudv要要比比更更容容易易積積分分(1)sincos;xnexxx(2)ln x與與反反三三角角函函數數一一般般不不是是選選取取的的對對

15、象象. .用用于于湊湊微微分分的的因因式式，一一般般考考慮慮的的順順序序是是：例例 求積分求積分.2 dxexx解解22xxx e dxx de dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）22xxx exde例例3 3 求積分求積分.arctan xdxx解解2arctanarctan()2xxxdxxddxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例5 5 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln dxxxxxx1)cos(ln)

16、sin(lnsin(ln )cos(ln )cos(ln )xxxxxxdx sin(ln )cos(ln )sin(ln )xxxxx dx dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx sin(ln )cos(ln )xxx dx 真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數法待定系數法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1五、有理函數的積分五、有理函數的積分2)1(1 xx2,(1)AxBCxx21()(2 )(1)AC xBC xC020,1ACBCC得1,2,1ABC 解得： 221(1)xxx 2)1(1 xx例例2 2例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,