立體幾何的面積和體積問題(羅)

1、題問積面與題問積體常用體積公式常用體積公式常用體積公式常用體積公式abcV長方體長方體= a b c長方體長方體引申：引申：長方體的對角線長長方體的對角線長=？長方體的表面積長方體的表面積=？s常用體積公式常用體積公式常用體積公式常用體積公式hV棱柱棱柱= hs底底V柱體柱體= ？引申：引申：常用體積公式常用體積公式常用體積公式常用體積公式V棱錐棱錐= hs底底31=？V錐體錐體引申：引申：=？V球體球體=？V臺體臺體例例1若正四棱臺的上、下底面的邊長分別為若正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2、4，高為，高為3，則此正四棱臺的表面積為，則此正四棱臺的表面積為_； 例例1變式變式1一個圓柱的側面

2、展開圖是一個正方形，一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比為這個圓柱的全面積與側面積的比為_； 例例1變式變式2如圖，半徑為如圖，半徑為2的半球內有一個內的半球內有一個內接正六棱錐接正六棱錐P-ABCDEF，則此正六棱錐的側面，則此正六棱錐的側面積為積為_； PABCDEF?A?B?C?D?D?C?B?A 1 1 1 1例例2若正四棱柱的底面積為若正四棱柱的底面積為P，過相對兩側棱，過相對兩側棱的截面面積是的截面面積是Q，則該四棱柱的體積是（，則該四棱柱的體積是（ ? ） （A） （B） （C） （D）22QP22P QQPP Q直接法直接法2143例例3在邊長為在邊長

3、為a的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M、N、P分別是棱分別是棱A1B1、A1D1、A1A上的點，滿足上的點，滿足A1M= A1B1，A1N=2ND1，A1P= A1A，如圖，試求三棱錐，如圖，試求三棱錐A1MNP的體積的體積11AMNPP A MNVV解：11131132111231.3223424AM AN APaaaa轉換法轉換法ABCD1A1B1C1DE變式變式1：如圖，在邊長為如圖，在邊長為a的正方體的正方體 中，點中，點E為為AB上的任意一點，求三棱錐上的任意一點，求三棱錐 的體積的體積。1111DCBAABCD11DEBA DASEBA 1131aa 2213136

4、1a解法分析解法分析：V = 11DEBA 11EBAD V轉換法轉換法BBCACAMABC-A BCMCCM-ABBA2 三棱柱的體積為36，點在側棱上，求四棱柱變式 、的體積解：2436323231CBAABCAABBMCBAABCAABBMABCMAABBMCBAABCVVVVVVVBBACACM轉移頂點轉移頂點法法轉換法轉換法變式變式3.3.已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC中，中，PA=1PA=1， AB=AC=2AB=AC=2，PAB=PAC=BAC=60PAB=PAC=BAC=60， 求三棱錐求三棱錐P-ABCP-ABC的體積？的體積？ABCP轉換法轉換法點評：點評：轉換頂

5、點和底面是求三棱錐體積的一種常用轉換頂點和底面是求三棱錐體積的一種常用的方法，也是求后面要學習到的求點到平面距離的的方法，也是求后面要學習到的求點到平面距離的一個理論依據(jù)，相應的方法叫等積法一個理論依據(jù)，相應的方法叫等積法例例4.4.正方體正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,Ea,E、F F分別是分別是BBBB1 1，DDDD1 1的中點，求四的中點，求四棱錐棱錐D D1 1-AEC-AEC1 1F F的體積？的體積？ABDCA1B1D1C1EF分割法分割法例例4 4已知已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1

6、1是棱長為是棱長為a a的正方體，的正方體，E E、F F分別是棱分別是棱AAAA1 1與與CCCC1 1的中點，求四棱錐的中點，求四棱錐A A1 1-EBFD-EBFD1 1的的體積？體積？BB1CDAC1D1A1EF易證四邊形EBFD1為菱 形，連結EF，則解法分析：解法分析：EBFAEFDAEBFDAVVV 11111EDAFEFDAVV1111 aSEDA 1131EBAFEBFAVV11 aSEBA 131或者或者：11112EFDAEBFDAVV 變式變式1： 如右圖，在多面體如右圖，在多面體ABCDEF中，中，已知已知ABCD是邊長為是邊長為1的正方形，且的正方形，且ADE、BC

7、F均為正三角形，均為正三角形，EFAB，EF=2，則該多面體的體積為，則該多面體的體積為.GH21,23HCBHGDAG由題意得.32221221213112212112221BHCAGDBHCFAGDEABCDEFBHCAGDVVVV，SS點評點評P變式變式2：已知三棱錐已知三棱錐PABC中，中， , , PA=BC=a且且ED=b求三棱錐的體積求三棱錐的體積BCPA PAED BCED PABCEDPADCPADBABCPVVV CDSBDSPADPAD 3131CBSPAD 31aba 2131ba261 解法分析：解法分析：abaBCED BCPA PADBC平面平面 垂面法垂面法變式

8、變式3.3. 將邊長為將邊長為a a的正方形的正方形ABCDABCD沿對沿對角線角線ACAC折起，使平面折起，使平面ADCADC平面平面ABCABC，求所得三棱錐求所得三棱錐D-ABCD-ABC的體積？的體積？ABCDABCDOO翻折類問題翻折類問題注意立體圖形與平面注意立體圖形與平面圖形的關系圖形的關系例例5：四面體四面體SABC的三組對棱分別相等，且依的三組對棱分別相等，且依次為次為2 、 、5，求該四面體的體積，求該四面體的體積513, 3, 2, 4,5,)13(,)52(222222222zyxxzzyyx解得則6131練習：練習：已知：長方體已知：長方體 中，中，AB=4 ，BC=

9、2， =3，求三棱錐求三棱錐 的體積的體積1BBCADB11解法分析：解法分析：111111DCBAABCDCADBVV 111BADAV 11BADBV 111BADCV 11BADDV 3241111 DCBAABCDV= 243242131111 BADAV= 48442411 CADBV1111DCBAABCD 1A1D1C1BABCD 返回返回 C1.設棱錐的底面面積為設棱錐的底面面積為8cm2，那么這個棱錐的中截面，那么這個棱錐的中截面(過棱錐的中點且平行于底面的截面過棱錐的中點且平行于底面的截面)的面積是的面積是( ) (A)4cm2 (B) cm2 (C)2cm2 (D) cm

10、2222A2. 設長方體三條棱長分別為設長方體三條棱長分別為a,b,c，若長方體所有棱的，若長方體所有棱的長度之和為長度之和為24，一條對角線長度為，一條對角線長度為5 ，體積為，體積為2，則，則 等于等于 ( ) (A) (B) (C) (D)cba111411211112114ACBA1C1B13.3.正三棱柱正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的底面邊長為的底面邊長為3 3， 側棱長為側棱長為4 4，求四面體，求四面體ABBABB1 1C C1 1的體積的體積. .用用等體積法等體積法 點到面的距離點到面的距離問題問題解解 決決PPPA過平面 外一點 有唯一的一條直

11、線垂直于 ，設A為垂足，一點到它在一個平面內的正射影的距離叫做這一一點到它在一個平面內的正射影的距離叫做這一個點到這個平面的距離。個點到這個平面的距離。則則PA的長就是點的長就是點P到平面的距離。到平面的距離。P引申：引申：直線到平面的距離呢？直線到平面的距離呢？ 在棱長為在棱長為a a的正方體的正方體ACAC1 1中中:（1）點）點A A到面到面BCCBCC1 1B B1 1的距離為的距離為 ；（2）B B1 1D D1 1到面到面ABCDABCD的距離為的距離為 ； （3）點）點A A到面到面BBBB1 1D D1 1D D的距離為的距離為 aa2a2例例1.1.在棱長為在棱長為a a的正

12、方體的正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， 求點求點C C到截面到截面C C1 1BDBD的距離的距離. .ABCDA1B1C1D1 等體積法等體積法 定義法定義法例題變式例題變式1. 如圖，如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，PA平面平面 O，C為圓周上一點，若為圓周上一點，若AB5，AC2，求點，求點B到平面到平面PAC的距離的距離.ABCDPFEG例題變式例題變式2.2.已知已知:ABCD:ABCD是邊長為是邊長為4 4的正方的正方形形,E,F,E,F分別是分別是ADAD，ABAB的中點，的中點，PCPC面面ABCDABCD，PC=2PC=2，求點，求點B B到平面到平面PEFPEF的距離的距離. . 1、如圖，已知在長方體、如圖，已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，棱中，棱AA1=5，AB=12，求直線，求直線B1C1到平面到平面A1BCD1的距離的距離.補充作業(yè)（二選一）：補充作業(yè)（二選一）：C1B1A1DABCD12.2