北師大版高中數(shù)學必修五第一單元數(shù)列綜合練習(1)

1、奮斗沒有終點任何時候都是一個起點數(shù)列綜合練習第I卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確 答案的代號填在題后的括號內(nèi)（本大題共12個小題，每小題5分，共60分）.1 .“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為1的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；2“a, b, c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是 b2= ac"； "a, b, c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b= a+c"，以上四個命題中，正確的有（）A. 1個B. 2個C 3個D. 4個2 .已知數(shù)歹1&中，&二二一（nCN）,則數(shù)列an的最大項是（）n 156A.第12項B

2、.第13項C.第12項或13項D.不存在3 .在等差數(shù)歹1中，前n項的和為Sn,若S=2n, Sn=2m（ m nCN且m# n）,則公差d的值為（A _ 4(m n)B.mnmn4(m n)2(m n)C 1D.mnmn2(m n)4.如果ai,a2,L為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d 0,則(5.A.C.aa8 a4a5a1a8 a4a5B.D.aa8a4 a5a1a8a4 a5已知等差數(shù)列an中，a7 a9 16,a4 1,則a12的值是 (A. 15B. 30C.31D. 646.a、bCR,且| a|<1 , | b|<1 ,則無窮數(shù)列:+bn 1) a1的和為1,(1+

3、b)a, (1 + b+b2) a2,，1+b+b2+A.B.C.(1 a)(1 b)2D.1 ab1信達(1 a)(1 ab)(1 a)(1 ab)7.若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊長的比值為則m的范圍是A.(1,2)B.(2, +oo)C.3,+8)D.(3,+8)8 .已知二次函數(shù)y=a(a+1)x2 (2a+1)x+1,當a=1, 2,，n,時，其拋物線在x軸上截得的線段長依次為d1, d2,，dn,，則lim ( d+d2+dn)的值是 n( )A. 1B. 2C. 3D. 49 .若數(shù)列an前8項的值各異，且an+8=an對任意nC N都成立，則下列數(shù)列中可

4、取遍an前8項值的數(shù)列為( )A. a2k+1B, a3<+1C. a4k+1D, a6k+110 .根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量& (萬件)近似地滿足Sn= (21n-n2-5) (n=1, 2,12),按此預(yù)測,90在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是 ( )A. 5月、6月 B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月11 .在數(shù)列an中，如果存在非零常數(shù)T ,使得am+T =am對于任意的非零自然數(shù)m均 成立，那么就稱數(shù)列an為周期數(shù)列，其中T叫數(shù)列an的周期。已知數(shù)列Xn 滿足 Xn+1=|xXn|(n >2),如果

5、x1=1, X2=a( a R, a*0),當數(shù)列 Xn的周 期最小時，該數(shù)列前2005項的和是( )A. 668B. 669C. 1336D. 133712 .一給定函數(shù)y f(x)的圖象在下列圖中，并且對任意a1(0,1),由關(guān)系式an 1 f (an)得到的數(shù)列an滿足an 1an(nN ),則該函數(shù)的圖象是第II卷二、填空題：請把答案填在題中橫線上(本大題共 4個小題，每小題4分，共16 分)。13 .作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作新的內(nèi)接正三角形，在新的正三角形內(nèi)再作內(nèi)切圓，如此繼續(xù)下去，所有這些圓的周長之和及面積之和分別 為.14 .在直角坐標系中，O是坐標原點，Pi(

6、xi, y。、P2S2, y是第一象限的兩個點， 若1, Xi, X2, 4依次成等差數(shù)列，而1, yi, y2, 8依次成等比數(shù)列，則4 OPP2 的面積是.15 .設(shè)等比數(shù)列a。的公比為q,前n項和為3,若S+i,Sn, S+2成等差數(shù)列，則q 的值為 16 .數(shù)列a。中，a13,%3an 1118. (12 分)已知 Sn=1+1 l+. + l,( n N),設(shè) f(n)=&n+1 Sn+1,試確定實數(shù) m的 (n 2),求a2006的末位數(shù)字是.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(本大題共6個大題，共74 分)。17. (12分)已知函數(shù)f(x) ,數(shù)列an滿

7、足a1 101f(an)(n N ).3x 1(I)求數(shù)列an的通項公式；(R )記 Sn a1a2a2 a 3anan1,求 Sn .19. (12分)已知數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且滿足ao1,an i2an,(4 an),nN.(I )證明 an an i 2,n N；(H)求數(shù)列an的通項公式a20. (12 分)設(shè) M 10a2 81a 207, P a 2, Q 26 2a ,若將 1g M ,lg Q,lg P 適當排序后可構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列an的前三項.(I )求a的值及an的通項公式；(H)記函數(shù)f(x) anX2 2anX an 2 n N的圖象在x軸上截得的線段長為1八

8、bn,設(shè) Tn 二(附2 b2b3H 心)，求421. (12分)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a11, a2 6, a3 11 ,且(5n 8)Sn 1 (5n 2)Sn An B, n 1,2, 3 L ,其中A, B為常數(shù).(I)求A與B的值；(R)證明：數(shù)列an為等差數(shù)列；(田)證明：不等式 后m；寸a面1對任何正整數(shù)m,n都成立.22. (14分)已知數(shù)列xn的各項為不等于1的正數(shù)，其前n項和為S,點Pn的坐 標為(Xn,Sn),若所有這樣的點Pn(n=1,2,)都在斜率為k的同一直線(常數(shù) kw0,1)上.(I)求證：數(shù)列Xn是等比數(shù)列；(R) 設(shè) yn=l0gx (2a 23a

9、+1)滿足 ys=,yt=-1 (s,tCN,且 swt) 共 n2t 1 2s 1中a為常數(shù)，且1<a<3,試判斷，是否存在自然數(shù)M,使當n>M時，Xn>1恒成立？若存在，2求出相應(yīng)的M;若不存在，請說明理由.參考答案：一、選擇題1. A; 2. C; 3. A; 4. 二、填空題（由anan(3n2)(3n 1)3(3n2 3n1)Sna1a 2a2a3anan 1(3n 2)(3n 1)13(114)(3n 21 、3n 1)13(13nno3n 1118.解：= Sn=1+1 2I1_ *(nC N)f(n)S2n 1Sn又f(n1)f(n)2n1n1211n

10、312n 312n 112n 2 2n 3 2n 4B; 5. A; 6. D; 7. B; 8. A; 9. B; 10. C; 11. D; 12. A;13.周長之和學冗a,面積之和-a2; 14. 1; 15. 2; 16. 7;三、解答題17.分析：由于bn和cn中的項都和an中的項有關(guān)，an中又有Sn1=4an+2,可由Sn 2 Sn 1作切入點探索解題的途徑.解析：（I）由已知得，a 1an,an 13an 1. ，13,即工。3an 1anan 1an數(shù)列 是首項a1 1,公差d 3的等差數(shù)列. an, 1一 1 (n 1) 3 3n 2 , an故 an(n N )3n 22

11、n 3 2n 419., f(n+1) >f (n) f(n)是關(guān)于n f ( n) min =f (2) =要使一切大于的增函數(shù)1192 2 2T3 201的自然數(shù)n,不等式f(n)> log<mH 1) 2- - logg 1)mJ 2包成立20只要 _9_ > log m(mi- 1) 2 log» 1)mJ 2 成立即可 2020,m 0, m 1由得m> 1且mr 2m 1 0,m 1 1此時設(shè)log M mi-1) 2=t貝U t > 0911于是 2020t 0解得0Vt < 1由此得 0< log m( mt-1) 2&

12、lt; 1解得m> 1一些且m 2。 2解：(1)方法一 用數(shù)學歸納法證明：1 當 n=1 時，a0 1, a1 a0(4 a0),22a0 a12 ,命題正確.2。假設(shè)n=k時有a- ak 2.則 n k1時,akak 1-2 ak 1(4 ak 1) 2 ak (4 ak)2(ak 1ak )(ak 1 ak )( ak 1ak )21一(ak 1ak)(4 ak 1 ak).2而 ak 1 ak 0.4 ak 1 ak 0,ak ak 10.11 一一又 ak 1 ak (4 ak )4 (ak 2) 2.22n k 1時命題正確.由1°、2°知，對一切nCN時

13、有an an 12.方法二：用數(shù)學歸納法證明：1. 一 .3 一一1 當 n=1 時，ao1, a1ao(4 ao), 0ao a12 "222°假設(shè)n=k時有ak1 ak 2成立，.1令f(x) 1x(4 x), f(x)在0, 2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè) 2111有：f (ak 1)f(ak)f，即2(4 ak 1) - ak(4 ak) - 2 (4 2),222也即當n=k+1時akak 1 2成立，所以對一切nN,有ak ak 1 2(2)下面來求數(shù)列的通項：an 1 -an(4 an) 3 (an 2)2旬所以 222(an 12)(an2)2令bn an 2,則

14、 bn又bn= 1,所以bn20.解：(I )依題意有1bn2 11( 1 b2 2)21 d)2 b2 122 22 21 on10nl(-)2 1,即 an 2 bn 2 (-)2 12 22 a 13,(i)122n 12nbn2 一 一10a83a 181 0,2_ _ 一 一一M P 10a80a 205 0, M QM最大.又P Q 24 3a ,一1當 2 a 8時，P Q,lgP 1 IgQ. 10P Q , a 1.21 一 酒足lg M 1 1g Q. a -符合題意.2當 8 a 13時，P Q,1g P 1 IgQ. 10Q P , a 86.21.但此時不滿足lg M

15、 1 lg P. aanbn又丁解:的前三項為lg P,lgQ,lg M ,2an 1 an an 2f (x)| X1an n由（5n3S22s3解得86止匕時a。時,(x a。 lg P1)(anX an(n1) 1 n 2lg2.an 2X2 | | 一2lg21一 (bibb132b34an1|-|an0,bnanbn 1bnan 1an1 4(-an 1,、1bn 1bn )一44( ) (一a a? a2-) a3(an 1-) ana1an 1 2 lg 2 n 2 lg 2I）由已知，得S18)Sn 1 (5n7sl A B,12S2 2A B,2)Sn(1 2lg 2)(n

16、2lg 2)a1 1 ，2A BS228,48a1a2a1a2 a3 18.方法1(5n8)Sn 1(5n 2)Sn20n 8所以（5n 3）Sn(5n7)Sn 120n28.3)Sn 2(10n1)Sn 1(5n 2)Sn所以（5n 2）Sn3 (10n9)Sn2 (5n7)Sn 120.02)Sn 3(15n6)Sn 2(15n 6)Sn 1 (5n 2)Sn 0.因為 ani Sn 1 Sn ,所以(5n 2)an 3 (10n 4)an 2 (5n 2)an 1 0.又因為5n 2 0,所以 an 3 2a n 2 an 1 0 ,即 an 3 an 2 an 2 an 1 , n 1

17、.所以數(shù)列an為等差數(shù)列.方法2由已知，得S1 a1 1 ,又(5n 8)Sn 1 (5n 2)Sn 20n 8 ,且 5n 8 0,所以數(shù)列Sn是唯一確定的，因而數(shù)列 an是唯一確定的.設(shè)bn 5n 4,則數(shù)列bn為等差數(shù)列，前n項和Tn n(5n 3).(n 1)(5n 2)n(5n 3)(5n 8)Tn 1 (5n 2)Tn (5n 8)-, (5n 2)-20n 8,由唯一性得 bn a。，即數(shù)列an為等差數(shù)列.(m)由(H)可知，an 1 5(n 1) 5n 4.要證 J5amn Jaman 1 ,只要證5amn 1 aman 2-.aman .因為 amn 5mn 4 , aman

18、 (5m 4)(5n 4) 25mn 20(m n) 16 ,故只要證 5(5mn 4) 1 25mn 20(m n) 16 2 aman ,即只要證20m 20n 37 2 a.因為 2 Jaman am an 5m 5n 8 5m 5n 8 (15m 15n 29) 20m 20n 37, 所以命題得證.22.證明(1) :點Pn、Pn+1都在斜率為k的直線上S , S 一 x ”. ._n_=k,即 nJ_ =k, 故 (k 1)Xn+產(chǎn)kXnxn 1 xnxn 1 xnkW 0, xn+1 1, XrW 1 ,出=上=常數(shù), xn是公比為上的等比數(shù)歹I。xn k 1k 1(2)答案是肯定的，即存在自然數(shù) M使當n>M時，xn&