初中數(shù)學(xué)競賽專題選講-觀察法

1、 初中數(shù)學(xué)競賽專題選講（初三.14）觀察法一、內(nèi)容提要數(shù)學(xué)題可以猜測它的結(jié)論（包括經(jīng)驗歸納法），但都要經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C，才能確定是否正確.觀察是思維的起點，直覺是正確思維的基礎(chǔ).觀察法解題就是用清晰的概念，直覺的思維，根據(jù)題型的特點，得出題解或猜測其結(jié)論，再加以論證.敏銳的洞察力來自對概念明晰的理解和熟練的掌握.例如：用觀察法寫出方程的解，必須明確方程的解的定義，掌握方程的解與方程的系數(shù)這間的關(guān)系. 一元方程各系數(shù)的和等于零時，必有一個解是1；而奇次項系數(shù)的和等于偶次項系數(shù)的和時，則有一個根是1；n次方程有n個根，這樣才能判斷是否已求出全部的根，當(dāng)根的個數(shù)超過方程次數(shù)時，可判定它是恒等式.對題型

2、的特點的觀察一般是注意已知數(shù)據(jù)，式子或圖形的特征，分析題設(shè)與結(jié)論，已知與未知這間的聯(lián)系，再聯(lián)想學(xué)過的定理，公式，類比所做過的題型，試驗以簡單的特例推導(dǎo)一般的結(jié)論，并探求特殊的解法.選擇題和填空題可不寫解題步驟，用觀察法解答更能顯出優(yōu)勢.二、例題例1. 解方程：x+=a+.解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有兩個實數(shù)根.根據(jù)方程解的定義，易知 x=a；或x=.觀察本題的特點是：左邊x, 右邊a.（常數(shù)1相同）.可推廣到：若方程f(x)+（am0），則f(x)=a； f(x)=.如：方程x2+, x2+3x (8=10).都可以用上述方法解.例2. 分解因式 a3+b3+c33abc.

3、分析：觀察題目的特點，它是a,b,c的齊三次對稱式.若有一次因式，最可能的是a+b+c；若有因式a+bc,必有b+ca, c+ab；若有因式a+b, 必有b+c, c+a； 若有因式bc,必有ca, ab.解：用a=bc 代入原式的值為零， 有因式a+b+c.故可設(shè)a3+b3+c33abc=(a+b+c)m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca).比較左右兩邊a3的系數(shù)，得m=1, 比較abc的系數(shù)， 得 n=1.a3+b3+c33abc=(a+b+c) (a2+b2+c2abbcca)例3. 解方程.分析：觀察題目的特點猜想用自身迭代驗證：x=.解：x=， 可化為x2x3=0, x=.

4、經(jīng)檢驗是增根.原方程只有一個實數(shù)根x=. 例4. 求證：.證明：把等式看作是關(guān)于x的二次方程，最多只有兩個實數(shù)根；但x=a, x=b, x=c，都能使等式成立，且知abc，這樣，方程 就有三個解；方程的解的個數(shù)，超過了方程的次數(shù).原等式是恒等式. 證畢.例5. 選擇題 (只有一個正確的答案) 1. 四邊形ABCD內(nèi)接于圓，邊長依次為25，39，52，60，那么這個圓的直徑長等于（） （A）66.（B）65.（C）63.（D）62.2. 直角梯形ABCD的垂腰AB=7，兩底AD=2，BC=3，如果邊AB上的一點P，使得以P，A，D為頂點的三角形和以P，B，C為頂點的三角形相似. 這樣的點P有幾個

5、？答：( )(A) 1個. (B) 2個 . (C) 3個. (D) 4個.解：1. 選 (B)； 2. 選 ( C).1. 觀察數(shù)字的特征: 256065=51213 ； 395265=345 都是勾股數(shù).直徑等于65，故選( B )2. 觀察 相似比可以是或.設(shè)AP為x, 則；或.解得：x=2.8 ， x=1， 或 x=6 . 共有三解. 故選(C).三、練習(xí)一. 填空題1. 三角形的三邊長分別為192，256，320.則最大角等于_度.2. 化簡 48(72+1)(74+1)(78+1)(7+1)+1=_.3. 方程x2(4+)x+3+=0 的兩個解是_.4. 方程x3+2x2+3x+2

6、=0的實數(shù)根是_.5. 方程的實數(shù)解是_.6. 若x,y為實數(shù)且x+y=a, xy=b,則x2+y2=_.7. 方程的解是_. 8. 寫出因式分解的結(jié)果： x37x2+36=_. (a+bc)3(a3+b3+c3)=_. 9. 方程(ax)3+(bx)3=(a+b2x)3的三個解是_，_，_.10. 方程組 的實數(shù)解是：11. 有一個五位正奇數(shù)x，將x的所有2都換成5，所有5都換成2，其他的數(shù)字不變，得到一個新五位數(shù)記作y，若x,y滿足等式y(tǒng)=2(x+1),那么x是_(1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題 )12. 如左圖試問至少要用幾種顏色，才能給圖中的各邊正常著色. (正常著色是指使圖中有公共頂點

7、的相鄰的邊涂上不同的顏色) (1983年福建省初中數(shù)學(xué)競賽題)二. 選擇題(只有一個正確的答案)1. 四邊形的邊 a, b, c, d, 滿足等式 a4+b4+c4+d4=4abcd,那么這個四邊形一定是 ( )(A) 矩形. (B) 菱形. (C) 等腰梯形. (D)不等邊的四邊形.2. 當(dāng)k>0時，函數(shù)y=kx+k與y=圖象在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)是( )3.實數(shù)a和b，ab<0, a+b<0, ab<0,則a, b的大體位置是( ) 4. a=1+, b=1+, a, b都不等于0，那么 b= ( ). (A) a. (B) a. (C) a1. (D) 1a.5.a,b,c中至少有一個是零，可表示為( )(A) a+b+c0 (B) abc0. (C) a2+b2+c20. (D) ab+ca+bc0.三. 解方程：1.x2+2x+；2.；3.四. 求證：.五. 已知：x4+x3+x2+x+1=0.求：x1989+x1988+x1987+x1986的值.練習(xí)題參考答案一.1.902.73.1，34.15.2 6. a22b,當(dāng)a22b0時無解7.2，28.3（a+b）