專題35第7章圓之與直徑有關(guān)的輔助線備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）（解析版）

1、35第7章圓之與直徑有關(guān)的輔助線一、單選題1如圖，ab為o的直徑，點c為弧ab的中點，弦cd交ab于點e，若，則tanb的值是（）abcd【答案】c【分析】如圖（見解析），連接oc，過o作于e，過d作于f，先根據(jù)垂徑定理得到，設(shè)，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，又根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得df、ef的長，從而可得bf的長，最后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得【詳解】如圖，連接oc，過o作于e，過d作于f設(shè)，則ab為o的直徑，點c為弧ab的中點在和中，即解得或（不符題意，舍去），即解得則在中，故選：c【點睛】本題考查了垂徑定理、圓心角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切三角函

2、數(shù)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵二、填空題2如圖，cd 為圓o的直徑，弦abcd，垂足為e，若bcd22.5°，ab2cm，則圓o的半徑為_【答案】【分析】連接ob，根據(jù)垂徑定理以及勾股定理即可求出ob的長度【詳解】如圖，連接ob，ocob，bcd22.5°，eob45°，abcd，cd是直徑，ab=2，ebab1，oeeb1，ob=，故答案為：【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理及三角形外角性質(zhì)，垂直弦的直徑平分弦，并且平分弦這條弦所對的兩條弧；熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵3如圖，已知是的直徑， 是的弦，過點作的切線，與的延長線交于點作

3、交直線于點若則_【答案】【分析】連接bc，求得bc=5，證明abceab，根據(jù)相似性質(zhì)即可求出be.【詳解】解：如圖，連接在中，根據(jù)勾股定理，得是直徑，是的切線，即，故答案為：【點睛】（1）見直徑，想半徑或想圓周角為直角；（2）見切線想做過切點的直徑，構(gòu)造直角；（3）求線段的長度在幾何圖形中一般選擇勾股定理、相似、或三角函數(shù)來求解.4如圖所示，中，分別在射線，上移動，且，則點到點的距離的最大值為_.【答案】.【解析】【分析】過，三點作，作直徑連結(jié)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出，從而確定的直徑即可【詳解】如圖所示，過，三點作，作直徑連結(jié)，在中，在，弦的最大值等于直

4、徑到點的距離的最大值為【點睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股、勾股定理等知識點，掌握直徑是圓中最長的弦是解題的關(guān)鍵5用兩根同樣長的鐵絲分別圍成一個長方形和一個正方形，已知長方形的長比寬多a m，則正方形面積與長方形面積的差為_.（用含a的代數(shù)式表示）【答案】【分析】設(shè)出長方形的長和正方形的長,設(shè)出鐵絲的長度,用l表示面積做差即可得出.【詳解】設(shè)長方形的長為x，結(jié)合題意可知寬為x-a，設(shè)鐵絲的長度為l，建立方程,解得,則長方形的面積為而正方形的面積為,所以面積差為故答案為a2【點睛】本題考查了長方形面積計算公式，正方形面積計算公式，運用多項式做差是解題的關(guān)鍵.6如圖，

5、、是半徑為5的的兩條弦，是直 徑，于點，于點，為上的任意一點，則的最小值為_.【答案】.【分析】a、b兩點關(guān)于mn對稱，因而pa+pc=pb+pc，即當(dāng)b、c、p在一條直線上時，pa+pc的最小，即bc的值就是pa+pc的最小值【詳解】連接oa，ob，oc，作ch垂直于ab于h根據(jù)垂徑定理，得到be= ch=oe+of=3+4=7，bh=be+eh=be+cf=4+3=7，在直角bch中根據(jù)勾股定理得到bc=7，則pa+pc的最小值為7【點睛】正確理解bc的長是pa+pc的最小值，是解決本題的關(guān)鍵7如圖，已知中，以為直徑作，交于點，在上取點使，交于點，已知，則_【答案】【分析】連接ce，ef，

6、bf，過f作fgac于點g，設(shè)，則，利用求出的值，利用求出和的值，利用求出的值，進(jìn)而求出，從而得出結(jié)論【詳解】解：連接ce，bc是直徑，ceba，又，設(shè)，則，連接ef，四邊形bcfe是圓內(nèi)接四邊形，即： 解得：，連接bf，過f作fgac于點g，bc是直徑，在中，由勾股定理得：， ，故答案為：【點睛】本題屬于圓的綜合題，難度較大，主要考查了圓內(nèi)接四邊形、相似、勾股定理、直角三角形，三角函數(shù)等知識點在解題過程中，要靈活應(yīng)用，尤其是輔助線的構(gòu)造，是解決本題的關(guān)鍵三、解答題8如圖所示，是銳角三角形的外接圓的半徑，于點，求證：.【答案】見解析.【解析】【分析】作直徑，則，分別位于和中，根據(jù)等角的補角相等

7、即可得證.【詳解】延長交于，連結(jié)是直徑 于點 又在中 .【點睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)定理，經(jīng)常利用直徑構(gòu)造直角，來推理證明圓中角度問題.9如圖，ab為o的直徑，且ab4，dbab于b，點c是弧ab上的任一點，過點c作o的切線交bd于點e連接oe交o于f（1）求證：adoe；（2）填空：連接oc、cf，當(dāng)db 時，四邊形oceb是正方形；當(dāng)db 時，四邊形oacf是菱形【答案】（1）見解析；（2）4，bd4【分析】（1）連接oc、bc，由ab為o的直徑，dbab于b，推出db是o的切線，進(jìn)而證明oebc，acbc，即可得出結(jié)論；（2）若四邊形oceb是正方形，cebeobocab2，由（1）可

8、證，得到debe2，bdbe+de4即可求出；若四邊形oacf是菱形，則oaac，又oaoc，于是oac為等邊三角形，a60°，在rtabd中，由tana，即可求得bd【詳解】（1）證明：連接oc、bc，如圖1，ab為o的直徑，dbab于b，db是o的切線，ce與o相切于點c，bece，點e在bc的垂直平分線上，oboc，點o在bc的垂直平分線上，oebc，acb90°，即acbc，adoe；（2）如圖2，若四邊形oceb是正方形，ab4，cebeobocab2，oeac，debe2，bdbe+de4，故答案為：4；若四邊形oacf是菱形，co平分acf，cfoa，acof

9、coaoc，oaoc，aacoaoc，aoc是等邊三角形，a60°，abd90°，rtabd中，tana，bd4，故答案為：4；【點睛】本題是圓綜合題，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)以及菱形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10如圖，ab為o的直徑，c為o上的一點，adcd于點d，ac平分dab（1）求證：cd是o的切線（2）設(shè)ad交o于e，acd的面積為6，求bd的長【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接oc，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義得到dacoca，證明oc/ad，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到oceadc90°，

10、根據(jù)切線的判定定理證明；（2）設(shè)ac5x，cd3x，根據(jù)勾股定理得到ad4x，根據(jù)三角形的面積得到ad4，cd3，ac5，連接bc，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ab，連接be交oc于f，由垂徑定理得到ocbe，bfef，得到efcd3，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【詳解】（1）證明：連接oc，oaoc，oacoca，ac平分dab，oacdac，dacoca，oc/ad，oceadc90°，cd是o的切線；（2）解：，設(shè)ac5x，cd3x，ad4x，acd的面積為6，adcd6，x1（負(fù)值舍去），ad4，cd3，ac5，連接bc，ab為o的直徑，acb90°，acbadc，dacc

11、ab，adcacb，ab，daccab，連接be交oc于f，ocbe，bfef，ab為o的直徑，aebdeb90°，四邊形cdef是矩形，efcd3，be6，ae，de4，bd【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵11如圖，ab為o的直徑，點c是o上的一點，ab=8cm，bac=30°，點d是弦ac上的一點（1）若odac，求od長；（2）若cd=2od，判斷形狀，并說明理由【答案】（1）2；（2）等腰三角形，見解析【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)求解再證明，即可得到答案；（2）如圖，過作于 連

12、接 求解設(shè) 則 利用勾股定理求解，從而可得答案【詳解】解：（1） ab為o的直徑， ab=8cm，bac=30°， odac， ， （2）是等腰三角形理由如下：如圖，過作于 連接 設(shè) 則 由勾股定理可得： 是等腰三角形【點睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，三角形的中位線的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵12如圖，已知ab是半圓o的直徑，ab6，點c在半圓o上過點a作adoc，垂足為點d，ad的延長線與弦bc交于點e，與半圓o交于點f（點f不與點b重合）（1）當(dāng)點f為的中點時，求弦bc的長；（2）設(shè)odx，y，求y與x的函

13、數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)aod與cde相似時，求線段od的長【答案】（1）3；（2）y；（3）【分析】（1）連結(jié)of，交bc于點h得出bofcof則aoccofbof60°，可求出bh，bc的長；（2）連結(jié)bf證得odbf，則，即，得出，則得出結(jié)論；（3）分兩種情況：當(dāng)dcedoa時，abcb，不符合題意，舍去，當(dāng)dcedao時，連結(jié)of，證得oaf30°，得出od，則答案得出【詳解】解：（1）如圖1，連結(jié)of，交bc于點hf是中點，ofbc，bc2bhbofcofoaof，ocaf，aoccof，aoccofbof60°，在rtboh中，sinboh，ab6，ob3，

14、bh，bc2bh3；（2）如圖2，連結(jié)bfafoc，垂足為點d，addf又oaob，odbf，bf2od2x，即，y（3）aod和cde相似，分兩種情況：當(dāng)dcedoa時，abcb，不符合題意，舍去當(dāng)dcedao時，連結(jié)ofoaof，oboc，oafofa，ocbobcdcedao，oafofaocbobcaodocb+obc2oaf，oaf30°，od即線段od的長為【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造基本圖形解決問題13如圖，已知，點在上，邊

15、與相交于點，過經(jīng)過圓心，與相交于點，的切線交于點（1）求證：（2）若，求的長【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）如圖1，連接，由是的切線，得到，即，再由，由等角的余角相等可得，根據(jù)等腰三角形的判定得到即可得出（2）連接，通過利用三角函數(shù)求出，再由勾股定理求出ab=15，根據(jù)，即可解答【詳解】解：（1）連接，是的切線，又，（2）連接，又，在中，【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵14如圖，在正方形abcd中，e，f分別為bc，ad上的點，過點e，f的直線將正方形abcd的面積分為相等的兩部分，過點a作于點g，連接dg，則線段dg

16、的最小值為_【答案】【分析】連接ac，bd交于o，得到ef過點o，推出點g在以ao為直徑的半圓弧上，設(shè)ao的中點為m，連接dm交半圓弧于g，則此時，dg最小，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【詳解】解：連接ac，bd交于o，過點e、f的直線將正方形abcd的面積分為相等的兩部分，過點o，點g在以ao為直徑的半圓弧上，則 設(shè)ao的中點為m，連接dm交半圓弧于g，則此時，dg最小，四邊形abcd是正方形， 故答案為：【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵15如圖1，在中，弦與半徑交于點，連接、，（1）求證：；（2）如圖2，過點作交于點，垂足

17、為，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接并延長交于點，連接、，過點作于點，交于點，連接，若，時，求線段的長度【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）延長交于，連接，根據(jù)等腰三角形的底角相等，三角形的外角的性質(zhì)，結(jié)合，得，再結(jié)合圓周角定理，得，即可得到結(jié)論；（2）作于，于，根據(jù)等腰三角形三線合一，得，結(jié)合條件得，易證，結(jié)合垂徑定理，即可得到結(jié)論；（3）延長交于，連接，先證，再證，得四邊形是平行四邊形，根據(jù)直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)得，結(jié)合平行線截得的線段成比例與勾股定理，即可求解【詳解】（1）如圖1中，延長交于，連接，；（2）如圖2中，作于，于，cdab，

18、；（3）在圖3中，延長交于，連接，四邊形是平行四邊形，ctdb，【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)與全等三角形，相似三角形，勾股定理，平行四邊形的綜合，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，相似三角形，是解題的關(guān)鍵16如圖所示，四邊形的四個頂點在上，且對角線于，求證：為定值.【答案】見解析.【解析】【分析】作直徑，連結(jié)，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出，從而得出利用勾股定理即可解決問題【詳解】作直徑，連結(jié)，弧ad=弧ce, ，根據(jù)勾股定理得：，為定值.【點睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，兩條平行線所夾的弧相等等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用定理和性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化17如圖所示，為的一條弦，點為上一動點，且，點，分別

19、是，的中點，直線與交于，兩點，若的半徑為7，求的最大值.【答案】的最大值為.【解析】【分析】由和組成的弦，在中，弦最長為直徑14，而可求，所以的最大值可求.【詳解】連結(jié)， 為等邊三角形，點，分別是，的中點， 為的一條弦最大值為直徑14 的最大值為.【點睛】利用直徑是圓中最長的弦，可以解決圓中一些最值問題.18如圖，在四邊形abcd中，abcd，且ab2cd，e，f分別是ab，bc的中點，ef與bd交于點h（1）求證：四邊形debc是平行四邊形；（2）若bd9，求dh的長【答案】（1）證明見解析；（2）6.【分析】（1）結(jié)合題意，得出dc=be，利用平行四邊形的判定定理，證明，即可（2）結(jié)合三角

20、形相似，得出dh和bh的長度關(guān)系，計算結(jié)果，即可【詳解】（1）證明：e是ab的中點，ab2eb，ab2cd，dcbe，又abcd，即dcbe，四邊形bcde是平行四邊形（2）解：四邊形bcde是平行四邊形，bcde，bcde，edmfbm，bcde，f為bc的中點，bfbcde，2，dh2hb，又dh+hb9，dh6【點睛】考查平行四邊形的判定，考查相似三角形的判定，關(guān)鍵得出dh和hb的長度關(guān)系，即可，難度中等19如圖，正方形aobc的邊ob、oa分別在x、y軸上，點c坐標(biāo)為（8，8），將正方形aobc繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)角度（0°90°），得到正方形adef，ed交線段bc于點q，ed的延長線交線段ob于點p，連接ap、aq（1）求證：acqadq；（2）求paq的度數(shù)，并判斷線段op、pq、cq之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）連接be、ec、cd、db得到四邊形becd，在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形becd能否是矩形？如果能，請求出點p的坐標(biāo)，如果不能，請說明理由【答案】(