專題28第5章相似三角形之旋轉(zhuǎn)相似備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）（解析版）

1、28第5章相似三角形之旋轉(zhuǎn)相似一、單選題1在rtabc中，bac90°，ad是abc的中線，adc45°，把a(bǔ)dc沿ad對折，使點(diǎn)c落在c的位置，cd交ab于點(diǎn)q，則的值為（）abcd【答案】a【解析】根據(jù)折疊得到對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半，可得出addcbd，acac，adcadc45°，cdcd，進(jìn)而求出c、b的度數(shù)，求出其他角的度數(shù)，可得aqac，將轉(zhuǎn)化為，再由相似三角形和等腰直角三角形的邊角關(guān)系得出答案【解答】解：如圖，過點(diǎn)a作aebc，垂足為e，adc45°，ade是等腰直角三角形，即aedead，在rtab

2、c中，bac90°，ad是abc的中線，adcdbd，由折疊得：acac，adcadc45°，cdcd，cdc45°+45°90°，dacdca（180°45°）÷267.5°cad，b90°ccae22.5°，bqd90°bcqa67.5°，acaqac，由aecbdq得：，故選：a【點(diǎn)睛】考查直角三角形的性質(zhì)，折疊軸對稱的性質(zhì)，以及等腰三角形與相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，合理的轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵2如圖，在矩形abcd中，e是ad邊的中點(diǎn)，beac于點(diǎn)f，連接

3、df，給出下列四個(gè)結(jié)論：aefcab；cf2af；dfdc；sabf：s四邊形cdef2：5，其中正確的結(jié)論有（ ）a1個(gè)b2個(gè)c3個(gè)d4個(gè)【答案】d【解析】根據(jù)四邊形abcd是矩形，beac，可得abc=afb=90°，又baf=cab，于是aefcab，故正確；根據(jù)點(diǎn)e是ad邊的中點(diǎn)，以及adbc，得出aefcbf，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，可得cf=2af，故正確；過d作dmbe交ac于n，得到四邊形bmde是平行四邊形，求出bm=de=bc，得到cn=nf，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故正確；根據(jù)aefcbf得到ef與bf的比值，以及af與ac的比值，據(jù)此求出sae

4、f=sabf，sabf=s矩形abcd，可得s四邊形cdef=sacd-saef=s矩形abcd，即可得到s四邊形cdef=sabf，故正確【解答】如圖，過d作dmbe交ac于n，四邊形abcd是矩形，adbc，abc90°，adbc，beac于點(diǎn)f，eacacb，abcafe90°，aefcab，故正確；adbc，aefcbf，aeadbc，cf2af，故正確，debm，bedm，四邊形bmde是平行四邊形，bmdebc，bmcm，cnnf，beac于點(diǎn)f，dmbe，dncf，dfdc，故正確；aefcbf，saefsabf，sabfs矩形abcd，saefs矩形abcd

5、，又s四邊形cdefsacdsaefs矩形abcds矩形abcds矩形abcd，sabf：s四邊形cdef2：5，故正確；故選：d【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵二、填空題3已知正方形defg的頂點(diǎn)f在正方形abcd的一邊ad的延長線上，連結(jié)ag，ce交于點(diǎn)h，若，則ch的長為_.【答案】【解析】連接eg，與df交于n，設(shè)cd和ah交于m，證明angadm，得到，從而求出dm的長，再通過勾股定理算出am的長，通過證明adgcde得到dag=dce，從而說明admchm，得到，最后算出ch的長.【解答】解：連接eg，與df交于n，

6、設(shè)cd和ah交于m，gna=90°，dn=fn=en=gn，mad=gan，mda=gna=90°，angadm，df=eg=2,dn=ng=1，ad=ab=3，解得：dm=，mc=，am=，adm+mdg=edg+cdg，adg=edc，在adg和cde中，adgcde（sas），dag=dce，amd=cmh，adm=chm=90°，admchm，即，解得：ch=.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質(zhì)計(jì)算出ch的長.4如圖，已知四邊形abc

7、d與四邊形cfge都是矩形，點(diǎn)e在cd上，點(diǎn)h為ag的中點(diǎn)，則dh的長為_ 【答案】【解析】延長ge交ab于點(diǎn)m，作于首先求出ag、ah，由adn，得，求出dn、an，hn，在中利用勾股定理即可解決問題【解答】延長ge交ab于點(diǎn)m，作于n四邊形abcd與四邊形cfge都是矩形，四邊形bfgm是矩形，點(diǎn)h為ag的中點(diǎn)，在中，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題5如圖，在abc中，ab5，d為邊ab上動(dòng)點(diǎn)，以cd為一邊作正方形cdef，當(dāng)點(diǎn)d從點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)a時(shí)，點(diǎn)e運(yùn)動(dòng)的路徑長為_【答案】5【解析】如圖，

8、構(gòu)造等腰rtcbg，cbg=90°，則由cgecbd，得ge=bd，即可求得點(diǎn)e運(yùn)動(dòng)的路徑長【解答】如圖：作gbbc于b，取gb=bc，當(dāng)點(diǎn)d與點(diǎn)b重合時(shí)，則點(diǎn)e與點(diǎn)g重合，cbg=90°，cg=bc，gcb=45，四邊形cdef是正方形，ce=dc，ecd=45，bcd+dcg =gce+dcg =45，bcd =gce，且，cgecbd，即ge=bd，bd=5，點(diǎn)e運(yùn)動(dòng)的路徑長為ge=bd=5【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵6已知正方形的邊長為12，、分別在邊、上，將沿折疊，使得點(diǎn)落在正方形內(nèi)部（不含

9、邊界）的點(diǎn)處，的延長線交于點(diǎn)若點(diǎn)在正方形的對稱軸上，且滿足，則折痕的長為_【答案】或【解析】根據(jù)得到點(diǎn)是的中點(diǎn)，再分兩種情況討論，如答案圖l，當(dāng)點(diǎn)在對角線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則四邊形為矩形；利用相似三角形的性質(zhì)即可求出ef；答案如圖2當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時(shí)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，得到，同即可求出ef【解答】解：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，又點(diǎn)在正方形的對稱軸上，分以下兩種情況討論：如答案圖l，當(dāng)點(diǎn)在對角線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則四邊形為矩形，在正方形中，由折疊可知，設(shè)，則，解得，；如答案圖2當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時(shí)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)

10、，則，同理可得，綜上所述，折痕的長為或【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對稱變換，相似三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題三、解答題7如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，連接猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【答案】，見解析【解析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，通過證明，可得，即在中，故，即【解答】解：證明：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，在中，即【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，掌握相似三角形的性質(zhì)以及判定定理、正切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵8已知中點(diǎn)分別在邊、邊上，連接點(diǎn)、點(diǎn)在直線同側(cè)，連接且（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖1，時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系是 ；位置關(guān)系是 ； 如圖2，時(shí)，猜

11、想和的關(guān)系，并說明理由；（2）時(shí)，如圖3，時(shí)，若求的長度；如圖4，時(shí)，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，若，直接寫出的最小值【答案】（1）ae=fc；aefc；ae=2fc；aefc；理由見解析；（2）fc = 6；mn的最小值為【解析】（1）利用sas證出abecdf，從而證出ae=fc，a=dcf，然后證出acf=90°即可得出結(jié)論；根據(jù)相似三角形的判定證出abecdf，從而得出a=dcf，然后證出acf=90°即可得出結(jié)論；（2）作gdbc于點(diǎn)d，交ac于點(diǎn)g；作ghab于點(diǎn)h，交ab于點(diǎn)h；dmac，利用sas證出edgfdc，從而得出eg=fc，令dc=a，bd=2a，根據(jù)三角形

12、的面積公式即可求出a值，從而求出結(jié)論；連接md和mc，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得dm=cm=，從而得出點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)軌跡為是cd的垂直平分線的一部分，作cd的垂直平分線mh交bc于h，然后證出四邊形nmhg為平行四邊形，從而求出結(jié)論【解答】（1）解：abc=edf=90°，abca=90°abeedc=cdfedcabe=cdfab=cb，de=dfabecdfae=fc，a=dcfdcfbca=90°acf=90°aefc故答案為：ae=fc；aefc；證明：ae=2fc；aefcdfdeedf=abc=90°abe=cdf&#

13、183;abecdfa=dcf，a+acb=90°dcf+acb=90°acf=90°；即fcae·（2）解：作gdbc于點(diǎn)d，交ac于點(diǎn)g；作ghab于點(diǎn)h，交ab于點(diǎn)h；dmac四邊形bdgh為矩形db=hgabc=90°，a=hga =acb=45°dc=dgdedfedg=fdcedgfdc（sas）eg=fcbd=2cd令dc=a，bd=2aag=eg=，md=·解得，（舍）fc = eg=6，ab=10bc=5cd=由易證ecf=90°在rtedf和rtecf中，點(diǎn)m為ef的中點(diǎn)，連接md和mcdm=c

14、m=點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)軌跡為是cd的垂直平分線的一部分，作cd的垂直平分線mh交bc于h當(dāng)nmmh時(shí)，mn的最小，易知mnbc，mhab，ch=取bc的中點(diǎn)g，連接ng，則cg=ng為abc的中位線ngabmhng四邊形nmhg為平行四邊形此時(shí)mn=gh=cgch=即mn的最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何變換綜合題、相似三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形的中位線的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)9如圖1，點(diǎn)o為正方形abcd 的中心，e為ab 邊上一點(diǎn)，f為bc邊上一點(diǎn)，ebf的周長等于 bc 的長.（1）求eof 的度數(shù).（2）連接 oa、oc（

15、如圖2）.求證：aoecfo.（3）若oe=of，求的值.【答案】（1）45°；（2）證明見解析；（3）【解析】(1).在bc上取一點(diǎn)g，使得cg=be，連接ob、oc、og，然后證明obe和ocg全等，從而得出boecog，beocgo，oeog，根據(jù)三角形的周長得出ef=gf，從而得出foe和gof全等，得出eof的度數(shù)；(2)、連接oa，根據(jù)點(diǎn)o為正方形abcd的中心得出oae=fco=45°，結(jié)合boe=cog得出aeo=cof，從而得出三角形相似；(3)、根據(jù)相似得出線段比，根據(jù)相似比求出ae和co的關(guān)系，cf和ao的關(guān)系，從而得出答案【解答】解：(1).如圖，在

16、bc上取一點(diǎn)g，使得cg=be，連接ob、oc、og.點(diǎn)o為正方形abcd的中心， ob=oc，boc90°，obeocg45°obeocg（sas）. boecog，beocgo，oeog.eog90°，bef的周長等于bc的長， efgf. eofgof（sss）.eofgof45°(2).連接oa 點(diǎn)o為正方形abcd的中心， oaefco45°boecog， aeoboeobeboe45°，cofcoggofcog45° aeocof，且oaefco aoecfo (3).aoecfo，即ae ×co，cf

17、ao÷oeof，aeco，cfao 點(diǎn)睛：本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)，綜合性非常強(qiáng)，難度較大熟練掌握正方形的性質(zhì)是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵10在和中，與在同一條直線上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖為將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的圖形，連接，若，求和的面積【答案】和的面積分別為2和【解析】過點(diǎn)d作dmbc于點(diǎn)m，根據(jù)30°所對直角邊為斜邊一半，分別求出bc、dc的長度，且證bdcaec，在dmc中，可得dm=1，即bdc的面積可求，且，即aec的面積可求【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)d作dmbc于點(diǎn)m，ac=2，又，在bac和dec中，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，bdca

18、ec，故，在dmc中，bdcaec，bdc和aec的面積分別為2和【點(diǎn)睛】本題主要考察了含30°角的直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于證明bdcaec，且相似三角形的面積之比為邊長之比的平方11問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，與相交于點(diǎn)點(diǎn)在邊上，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，直接寫出的長 【答案】問題背景：見詳解；嘗試應(yīng)用：3；拓展創(chuàng)新：【解析】問題背景：通過得到，再找到相等的角，從而可證；嘗試應(yīng)用：連接ce，通過可以證得，得到，然后去證，通過對應(yīng)邊成比例即可得到答案；拓展創(chuàng)新：在ad的右側(cè)作dae=bac，ae

19、交bd延長線于e，連接ce，通過，然后利用對應(yīng)邊成比例即可得到答案【解答】問題背景：，bac=dae， ，bad+dac=cae+dac，bad=cae，；嘗試應(yīng)用：連接ce，bad+dac=cae+dac，bad=cae，由于，即，又，即，又，；拓展創(chuàng)新：如圖，在ad的右側(cè)作dae=bac，ae交bd延長線于e，連接ce，ade=bad+abd，abc=abd+cbd，ade=abc，又dae=bac，又dae=bac，bad=cae，設(shè)cd=x，在直角三角形bcd中，由于cbd=30°，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12在中，c

20、d是中線，一個(gè)以點(diǎn)d為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與ac、bc的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)e、f，df與ae交于點(diǎn)m，de與bc交于點(diǎn)n（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，在繞點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)的過程中，試證明恒成立；（3）若，求dn的長【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）【解析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到bcdacd45°，bceacf90°，于是得到dcedcf135°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可的結(jié)論；（2）證得cdfced，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即cd2cecf；（3）如圖，過d作dgbc于g，于是得到dgnecn90&#

21、176;，cgdg，當(dāng)cd2，時(shí)，求得，再推出cengdn，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求出gn，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【解答】（1）證明：，cd是中線，在與中，； （2）證明：，即 （3）如圖，過d作于點(diǎn)g，則，當(dāng)，時(shí)，由，得 在中， 【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵13abe內(nèi)接于o，c在劣弧ab上，連co交ab于d，連bo，cobe （1）如圖1，求證：coab；（2）如圖2，bo平分abe，求證：abbe；（3）如圖3，在(2)條件下，點(diǎn)p在oc延長線上，連pb，etab于t，p2aet，

22、et18，op25，求o半徑的長【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）o半徑的長是【解析】（1）連接ce、oa，根據(jù)圓周角定理可得ceb=cob，根據(jù)cobaeb可得coa=cob，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)o作ofbe于f，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得od=of，根據(jù)垂徑定理可得bd=ab，bf=be，根據(jù)勾股定理可得bd=bf，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得aeb=eab，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得dbo=aet，根據(jù)p2aet可得p=abe，進(jìn)而可得pob=pbo，即可證明op=pb，由etb=pdb=90°可證明betp

23、bd，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出bd的長，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求出pd的長，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得od的長，利用勾股定理求出ob的長即可得答案【解答】（1）如圖，連接ce、oa，cob和ceb分別是所對的圓心角和圓周角，ceb=cob，cobaeb，ceb=aeb，coa=cob，oa=ob，ocab（2）如圖，過點(diǎn)o作ofbe于f，ob平分abe，odab，ofbe，od=of，bd=ab，bf=be，bd=，bf=，bd=bf，ab=be（3）ab=be，aeb=eab，cob=aeb，cob=bae，etab，ocab，bae+aet=cob+dbo，dbo=aet，ob平分abe，ab

24、e=2dbo=2aet，p=2aet，p=abe，aeb=obo，aeb=eab，pob=pbo，op=pb，etb=pdb=90°，betpbd，et=18，op=25，2bd2=18×25，解得：bd=15，（負(fù)值舍去）pd=20，od=op-pd=5，ob=，即o半徑的長是【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧；如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；熟練掌握相關(guān)定理是解題

25、關(guān)鍵14如圖，四邊形abcd和四邊形aefg都是正方形，c，f，g三點(diǎn)在一直線上，連接af并延長交邊cd于點(diǎn)m（1）求證：mfcmca；（2）求的值，（3）若dm1，cm2，求正方形aefg的邊長【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】（1）由正方形的性質(zhì)得acd=afg=45°，進(jìn)而根據(jù)對頂角的性質(zhì)得cfm=acm，再結(jié)合公共角，根據(jù)相似三角形的判定得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，再證明其夾角相等，便可證明acfabe，由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果；（3）由已知條件求得正方形abcd的邊長，進(jìn)而由勾股定理求得am的長度，再由mfcmca，求得fm，進(jìn)而求得正方形aefg的對角線

26、長，便可求得其邊長【解答】（1）四邊形abcd是正方形，四邊形aefg是正方形，acd=afg=45°，cfm=afg，cfm=acm=45°，cmf=amc，mfcmca；（2）四邊形abcd是正方形，abc=90°，bac=45°，ac=ab，同理可得af=，eaf=bac=45°，caf+cae=bae+cae=45°，caf=bae，acfabe，；（3）dm=1，cm=2，ad=cd=1+2=3，am=，mfcmca，即，fm=，af=amfm=，af=，即正方形aefg的邊長為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形

27、的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用這些知識解決問題15如圖1，若點(diǎn)p是abc內(nèi)一點(diǎn)，且有pbc=pca=pab，則稱點(diǎn)p是abc的“等角點(diǎn)”（1）如圖1，abc=70°，則apb= （2）如圖2，在abc中，acb=90°，點(diǎn)p是abc的“等角點(diǎn)”， 若bac=45°求的值； 求tanpbc的值；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）結(jié)合題意，可得，結(jié)合abc=70°，即可計(jì)算得；（2）由bac=45°，acb=90°，可得 ,；結(jié)合點(diǎn)p是abc的“等角點(diǎn)”，得，從而得到，通過相似比即可得到答案；由（2

28、）可知，相似比可得cp和ap的關(guān)系，通過證明，得；將cp、ap關(guān)系式代入到三角函數(shù)，從而完成求解【解答】（1） pbc=pca=pababc=70°（2）bac=45°，acb=90°abc=45° , 點(diǎn)p是abc的“等角點(diǎn)”pbc =pab 由（2）得 acb=90° pbc=pca，即 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形、直角三角形、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解16如圖，在中，ac8=90°，bac=a，點(diǎn)d在邊ac上（不與點(diǎn)a、c重合）連接bd，點(diǎn)k為線段bd的中點(diǎn)，過點(diǎn)d作于點(diǎn)e，連

29、結(jié)ck，ek，ce，將ade繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90度)(1)如圖1若a=45，則的形狀為_；(2)在（1)的條件下，若將圖1中的三角形ade繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，使得d，e，b三點(diǎn)共線，點(diǎn)k為線段bd的中點(diǎn)，如圖2所示，求證：；(3)若三角形ade繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，使得d，e，b三點(diǎn)共線，點(diǎn)k仍為線段bd的中點(diǎn)，請你直接寫出be，ae，ck三者之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示） 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）見解析；（3）be-ae=2ck；【解析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)證明ek=kc，ekc =90°即可；（2）在bd上截

30、取bg=de，連接cg，設(shè)ac交bf于q，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用sas可證aecbgc，由全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)易證ecg是等腰直角三角形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得ck=ek=kg，等量代換可得結(jié)論.（3）在bd上截取bg=de，連接cg，設(shè)ac交be于q，根據(jù)等角的余角相等可得cae=cbg，由tan的表示可得，易證caecbg，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等量代換可得結(jié)論.【解答】（1）等腰直角三角形；理由：如圖1中，a=45°，acb=90°，a=cba=45°，ca=cb，deab，deb=90°，dk=kb，ek=kb=d

31、k= bd，keb=kbe，ekd=kbe+keb=2kbe，dcb=90°，dk=kb，ck=kb=kd= bd，kcb=kbc，ek=kc，dkc=kbc+kcb=2kbc，ekc=ekd+dkc=2（kbe+kbc）=2abc=90°，eck是等腰直角三角形（2）證明：如圖2中，在bd上截取bg=de，連接cg，設(shè)ac交bf于q=45°，deae，aed=90°，dae=45°，ade是等腰直角三角形，de=ae=bg，1+3=2+4=90°，1=2，3=4，ac=bc，aecbgc（sas），ce=cg，5=bcg，ecg=a

32、cb=90°，ecg是等腰直角三角形，kd=kb，de=bg，ke=kg，ck=ek=kg，beae= bebg=eg=ekkg =2ck（3）解：結(jié)論：be-aetan=2ck理由：如圖3中，在bd上截取bg=de，連接cg，設(shè)ac交be于qdeae，acb=90°，cae+eqa=90°,cbg+cqb=90°eqa=cqb，cae=cbg，在rtacb中，tan=，在rtade中，tan= ， de=ae·tancaecbg，ace=bcg，ecg=acb=90°，kd=kb，de=bg，ke=kg，eg=2ck，bebg=eg

33、=2ck，bede=2ck，beaetan=2ck【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等，靈活的利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.17如圖，o是abc的外接圓，ab為o的直徑，過點(diǎn)a作ad平分bac交o于點(diǎn)d，過點(diǎn)d作bc的平行線分別交ac、ab的延長線于點(diǎn)e、f，dgab于點(diǎn)g，連接bd(1)求證：aeddgb；(2)求證：ef是o的切線；(3)若，oa4，求劣弧的長度(結(jié)果保留)【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）先證acb=adb=90°，再由平行得，由垂直得，再根據(jù)角度轉(zhuǎn)換得，

34、即可證明aeddgb；（2）連接，證明，即可證明，從而解決本題；（3）先證，得到，再根據(jù)oa=4，然后求出，從而求出弧長.【解答】（1）ab為直徑，acb=adb=90°，dgab，ad平分bac，ead=dag，（2）連接，ef是o的切線；（3），oa=4，ab=8，.【點(diǎn)睛】本題是對圓知識的綜合考查，熟練掌握圓及相似三角形的性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵.18如圖1，拋物線ya（x+2）（x6）（a0）與x軸交于c，d兩點(diǎn)（點(diǎn)c在點(diǎn)d的左邊），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)a（1）若acd的面積為16求拋物線解析式；s為線段od上一點(diǎn)，過s作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)p，將線段sc，sp繞點(diǎn)s順時(shí)針

35、旋轉(zhuǎn)任意相同的角到sc1，sp1的位置，使點(diǎn)c，p的對應(yīng)點(diǎn)c1，p1都在x軸上方，c1c與p1s交于點(diǎn)m，p1p與x軸交于點(diǎn)n求的最大值；（2）如圖2，直線yx12a與x軸交于點(diǎn)b，點(diǎn)m在拋物線上，且滿足mab75°的點(diǎn)m有且只有兩個(gè)，求a的取值范圍【答案】（1），t0時(shí)，最大值為2；（2）【解析】（1）由題意，令y=0，解得c（-2，0），d（6，0）得cd=8，令x=0，解得y=-12a，且a>0，a（0，-12a），即oa=12a，由sacd=48a=16，解得：a，所求拋物線的解析式為y(x+2)(x6)= x2x4；由于sp1p-sc1c=scc1，且msc=nsp1

36、mscnsp1得，設(shè)s（t，0）（0t6），則sp=(t+2)(t6)，sc=t+2，可得t=0時(shí)，最大值為2；（2）分兩種情況討論，由直線y=x-12a與x軸交于點(diǎn)b得b（12a，0），oa=ob=12a，oab=oba=45°，當(dāng)點(diǎn)n在y軸的左側(cè)時(shí)，此時(shí)mao=30°得直線am的解析式為：得點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為得當(dāng)點(diǎn)m在y軸的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)b作x軸的垂線與中直線ae關(guān)于ab的對稱直線交于點(diǎn)f，易證：ebafba，得baf=75°，bf=be=，fbo=90°，得直線af的解析式為：，點(diǎn)g橫坐標(biāo)為，點(diǎn)a關(guān)于拋物線對稱軸x=2的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，-12a），

37、則，得，因此滿足mab=75°的點(diǎn)m有且只有兩個(gè)，則a的取值范圍為：【解答】解：（1）由題意，令y0，解得x12，x26c（2，0），d（6，0）cd8令x0，解得y12a，且a0a（0，12a），即oa12asacd48a16，解得：所求拋物線的解析式為由題意知，sp1psc1cscc1，且mscnsp1mscnsp1設(shè)s（t，0）（0t6），則sp，sct+20t6t0時(shí)，最大值為2；（2）由題意，直線yx12a與x軸交于點(diǎn)b得b（12a，0），oaob12a，oaboba45°如圖2當(dāng)點(diǎn)m在y軸的左側(cè)時(shí)，此時(shí)mao30°設(shè)直線am與x軸交于點(diǎn)e，則oe又a（

38、0，12a），直線am的解析式為：由得：解得：點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為當(dāng)點(diǎn)m在y軸的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)b作x軸的垂線與中直線ae關(guān)于ab的對稱直線交于點(diǎn)f，易證：ebafba，得baf75°，bfbe，fbo90°直線af的解析式為：由，解得：點(diǎn)g橫坐標(biāo)為，點(diǎn)a關(guān)于拋物線對稱軸x2的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，12a），則，得，故要使?jié)M足mab75°的點(diǎn)m有且只有兩個(gè)，則a的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合的問題，解題過程中利用相似三角形的判定與性質(zhì)、方程組、全等三角形的判定及性質(zhì)的知識，關(guān)鍵是結(jié)合圖形找出相應(yīng)的關(guān)系，貫穿了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用19已知

39、，如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，且，（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，點(diǎn)是拋物線第一象限上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段長為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)作直線軸，在上取一點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），連接，使，連接并延長交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、若時(shí)，求值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）先令代入拋物線的解析式中求得與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可得的坐標(biāo)，從而得的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）如圖2，設(shè)，證明，列比例式可得結(jié)論；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形和等腰直角三角形，先得，則是等腰直角三角形，得，由，得，求得，證明是等腰直角三角形，及，則，代入可得的值，并根據(jù)（2）中的點(diǎn)只在第一象限進(jìn)行取舍【解答】（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，把，代入拋物線中得：解得：拋物線的解析式為；（2）如圖2，設(shè)過作軸于；（3）如圖3，連接，延長交軸于由（2）知：，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，不符合題意，舍去【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定定理與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點(diǎn)，本題較難的是（3），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵20如圖，函數(shù)yx2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)a（m，0），b（0，n）兩點(diǎn)，m，n分別是方程x2