ch均衡凈保費(fèi)與毛保費(fèi)PPT課件

1、第六章 分期凈保費(fèi)與毛保費(fèi)凈保費(fèi)(Net Premium)附加保費(fèi)(Loading)毛保費(fèi)(Gross Premium)精算平衡原理： 保費(fèi)收入現(xiàn)金流 保險(xiǎn)給付支出現(xiàn)金流L-簽單時(shí)保險(xiǎn)人損失現(xiàn)值隨機(jī)變量。 L=簽單時(shí)未來保險(xiǎn)給付現(xiàn)值變量- 簽單時(shí)凈保費(fèi)收入現(xiàn)值隨機(jī)變量 EL=0第1頁/共51頁模型形式：全連續(xù)型全離散型半連續(xù)型第2頁/共51頁6.1 全連續(xù)型壽險(xiǎn)的凈保費(fèi)模型假設(shè)：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)，每年繳費(fèi)額相同。（給付連續(xù)型，繳費(fèi)連續(xù)型）各種壽險(xiǎn)形式的年繳凈保費(fèi)與方差設(shè)年繳費(fèi)額為 ，若死亡在時(shí)刻t，則簽單時(shí)損失現(xiàn)值P( )ttl tv

2、P a( ):l t隨t遞減。注：1 全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)第3頁/共51頁( )TTLl TvPa損失變量：精算平衡原理：方差：222222222( )(1)(1) () () () ()TxxxxxxxxxxPPPVar LVarvAAaAAAAAaa（）( )00 ()xxxxxxxAE LAP aPaAP Aa記第4頁/共51頁例4.2 設(shè)死力為常數(shù) ，利力為常數(shù) ，試計(jì)算 和 。0.040.05()( )xP AVar L解：21111.110.090.040.44440.090.040.285720.14xxxaAA()0.04xxxAP Aa22222()()2( )0.2857()(

3、)xxxAAVar La第5頁/共51頁2 一般形式的全連續(xù)型模型TTLb vP Y,TTTTnhaThvTnb vYaThv Tn例1( )0()( )TTE LE b vPE Y:()x nhx nx hAP Aa保險(xiǎn)給付的精算現(xiàn)值凈保費(fèi)收入的精算現(xiàn)值年繳凈保費(fèi)=第6頁/共51頁n例2 延期 年的終身生存年金，前n年繳費(fèi)。|:()nxnxx nnxx nx naEaPaaa,0,TTTnT nnaTnTnb vYvaTnaTn由精算平衡原理，得第7頁/共51頁險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)n年延期終身生存年金h年限期繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年限期繳費(fèi)n年定期保險(xiǎn)h年

4、限期繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)h年限期繳費(fèi)n年延期終身生存年金()xxxP AAa11()x nx nx nP AAa：()x nx nx nP AAa：()hxxx hP AA a：11:()x nx nx nP AAa：|:()xnxnxx nnx nx nPaaaEaa()hx nx nx hP AAa：全連續(xù)型年繳凈保費(fèi)（全期繳費(fèi)與限期繳費(fèi)）11()hx nx nx hP AAa：1|:()hnxnxxx nx hx hnPaaaAaa第8頁/共51頁練習(xí)：全連續(xù)n年期兩全保險(xiǎn)的保險(xiǎn)人損失現(xiàn)值隨機(jī)變量L,表達(dá)出L的表達(dá)式，并寫出其方差表示式。,TTTTnnaTnvTnb vYaTnv Tn()T

5、Tx nLb vP AY：2221( )() ()()()()(1)(1) () TTx nx nx nx nx nx nx nZVar LVar b vP AYVar ZP AP AP AP AVarZAA：注：222222()()( )(1) () ()x nx nx nx nx nx nP AAAVar LAAa：第9頁/共51頁3 分期凈保費(fèi)的兩個(gè)推導(dǎo)公式11()xxxxaAP Aa:11()1x nx nx nx nx nx naAP AaaA同理：11()1xxxxxxaAP AaaA第10頁/共51頁4 其他的確定保費(fèi)方法例 某保險(xiǎn)公司計(jì)劃發(fā)行一種人壽保單，已知0歲人的取整余命K

6、的概率密度函數(shù)為：|01,0,1,2,34kqk該保險(xiǎn)公司在被保險(xiǎn)人死亡的年末支付1單位保險(xiǎn)金，保費(fèi)在被保險(xiǎn)人活著的每年初支付。年利率5%，根據(jù)以下原則確定應(yīng)向0歲人收取的年保費(fèi)：原則1：P使得保單簽發(fā)時(shí)的損失現(xiàn)值的期望為0；原則2：P為使得損失為正的概率不超過25%的最低額。分析：110,1,2,3( )(1)KKjjjLvP aKPPl jvP avdd第11頁/共51頁（1）原則1下，精算平衡原理22(2)0lvP a31|010()0kkkkvP aq3311|00033|011000.3719kkkkkkkkkkvqvPaqa從而有（2）l(j)隨j增加而減小，原則2相當(dāng)于滿足l(2

7、)=0時(shí)成立，這時(shí)只有l(wèi)(1)為正，且P最小。故0.4646P 第12頁/共51頁上述結(jié)果的表示：0.46460.3719保費(fèi)為：-0.9071-0.56203-0.4646-0.199620.00000.180910.48780.58050原則2原則1損失現(xiàn)值一般公式概率結(jié)果22vP a22vP a22vP a22vP ak|0kq第13頁/共51頁6.2 全離散型壽險(xiǎn)的凈保費(fèi)模型：（x）死亡年末給付1單位終身壽險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年期初繳費(fèi)。（給付離散，繳費(fèi)也離散）1 用精算等價(jià)原理確定年繳凈保費(fèi)L：簽單時(shí)損失變量11,0,1,2,( )00,KKxxxxxxxLvP aKE LAP

8、aAAPPaa記222222()( )(1) () ()xxxxxxPAAVar LAAdda第14頁/共51頁例4.4 設(shè)1|0.04(0.96),01,2,5%,0.96( )kkxxqckciPVar L 其中計(jì)算和。解：111|000.96(0.96)0.44441 0.96111.67kkkxkxkkxxvAvqvccvAad 0.038xxxAPa22220.960.28071 0.96()( )0.2693()xxxxvAcvAAVar Lda 22又故第15頁/共51頁險(xiǎn)種（全繳費(fèi)期）保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年期兩全保險(xiǎn)n年期生存保險(xiǎn)n年延期終身生存年金xxxxxNM

9、aAP )()(11nxxnxxnxnxnxNNMMaAP： )()(nxxnxnxxnxnxnxNNDMMaAP： )(11nxxnxnxnxnxNNDaAP： 1:()()xxx nx nxx nnnx nPaAaaNNN2 各種全離散壽險(xiǎn)模型的年金凈保費(fèi)第16頁/共51頁險(xiǎn)種（限期繳費(fèi)）保費(fèi)公式h年繳費(fèi)終身壽險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年定期壽險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年生存保險(xiǎn)h年限期繳費(fèi)n年延期終身生存年金()hxxxxx hx hPA aMNN：11:()hx nxx hxx nx nPAaDNN： h1|:()()hxnxxx nnx hx hnx nxx hPaaaAaaNNN() ()

10、hxx nx nxx hx nx nx hPAaMMDNN：11() ()hxx nxx hx nx nx hPAaMMNN：第17頁/共51頁練習(xí) 對(duì)全離散n年期兩全保險(xiǎn)，損失變量L，寫出其方差表達(dá)式。第18頁/共51頁例4.6 保額為10000元的全離散型終身壽險(xiǎn)，用p表示該保單的年繳保費(fèi)，L(p)表示簽發(fā)時(shí)損失現(xiàn)值變量，投保年齡25歲。且有下式成立：225250.19,0.064,0.057.AAd(1)求保費(fèi)pa，使得L(pa)的均值為0，并求L(pa)的方差;(2)求使損失L(pb)為正的概率小于的最低保費(fèi)pb的近似值，并求L(pb)的方差；(3)用正態(tài)近似決定保費(fèi)pc，使100份這

11、種相互獨(dú)立保單的總損失為正的概率等于。第19頁/共51頁解：(1)由精算等價(jià)原理2525252525100001000010000133.701aAdAPaAp11Pr( ()0)0.5,Pr(100000)0.5bKbKLvapp即查生命表，知78795325255425250.5314,0.4989llppll(2) pb滿足下式從而，知道K=53時(shí)2222525225() ()(10000)4252400.5(1)aAAVar LAp且5454100000bbvapp取使第20頁/共51頁5454,1000025.01bvap故211882182 222525( ()10000()100

12、0010(1)100001000010 (1)()1000010 (1) () 100003040263KbbKbbKbbVar LVar vaVarddVar vdAAdpppppp11()1000025.01KbKLvap53 153 1Pr(100000)0.5bvap則滿足第21頁/共51頁( ()0.1670(10000)ccVar Ldpp(3)一張保單的損失、期望、方差如下：對(duì)100份保單，總損失、總損失的期望、方差分別為：1001()100 ()( )100( ()jcjccSLESE LVar SVar Lppp111252 2222525()10000(10000) ()(

13、10000)0.19(10000)( ()(10000) () 0.0279(10000)KKccccKccccccccLvavddE LAddddVar LAAddpppppppppppp第22頁/共51頁由正態(tài)近似，Pr(0)0.05S 對(duì)應(yīng)正態(tài)分位數(shù)2522252501.645( )100 ()1.645100( ()(10000)101.645(10000) () cccccESVar SE LVar LAddAAdppppp于是，解出158.43cp第23頁/共51頁例4.7 證明并解釋公式：1:(1)nxx nx nx nPPPA證明：下列結(jié)論成立111:1:x nx nx nx

14、nx nnxxx nx nx nx nP aAAAPaAAAA上兩式相減，得11:()(1)(1)nxx nx nx nx nnxx nx nx nPP aAAPPPA注：兩個(gè)年繳保費(fèi)的差相當(dāng)于保額為 的生存保險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)。(1)x nA第24頁/共51頁3 半連續(xù)型壽險(xiǎn)的凈保費(fèi)年繳凈保費(fèi)符號(hào)：11:(),(),(),(),(),()xhxhhx nx nx nx nP AP AP AP AP AP A：計(jì)算方法： 使用UDD假設(shè)，與對(duì)應(yīng)全離散模型建立聯(lián)系。()xxxxxxAAiiP APaa 如第25頁/共51頁半連續(xù)年繳凈保費(fèi)表險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身壽險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身壽險(xiǎn)

15、h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)()xxxP AAa11()x nx nx nP AAa：()x nx nx nP AAa：()hxxx hP AAa：()hx nx nx hP AAa：第26頁/共51頁4 換算函數(shù)計(jì)算年繳凈保費(fèi)的例題例4.8 考慮(x)購買的繳費(fèi)期為15年的保額為1單位的終身壽險(xiǎn)，設(shè)第二個(gè)5年的年保費(fèi)為第一個(gè)5年的年保費(fèi)的2倍，最后5年的年保費(fèi)較第二個(gè)5年的年保費(fèi)多10個(gè)單位。用換算函數(shù)表示初始年保費(fèi)。解：設(shè)初始年保費(fèi)為P，則第二個(gè)5年的年保費(fèi)為2P，最后5年的年保費(fèi)為2P+10。由精算平衡原理，P滿足：:15:10:5(210)10 xxxxAPaaPa從而，:10:15:15:5

16、10102xxxxxAaaPaa101515510() 10()2()()xxxxxxxxxMNNNNNNNN101551510()2xxxxxxMNNNNN第27頁/共51頁例4.9 設(shè)每一年齡內(nèi)的死亡服從均勻分布，利率6%。試根據(jù)附錄中的生命表計(jì)算下列保費(fèi)：25:4025:4025:4011125:4025:4025:40(1)1000 (); (2)1000 (); (3)1000;(4)1000 (); (5)1000 (); (6)1000.P AP APP AP AP解：UDD下，有111256525:4025:4025125656525:4025:4025:4025250.034

17、420.11560.061.0297087,ln(1.06)MMiiAADMMDiiAAADDi其中，從而可得：第28頁/共51頁125:4025:4025:4025:4025:40125:4025:4025:4025656525652565256525:40(1)1000 ()100010001ln(1.06) 0.115610007.62;1 0.1156(2)1000 ()1000()10001.02970877.39;(3)10001000AAP AaAiP APPMMDNNNNMMP65256511125:4025:40125:4025:4025:407.33;(4)1000 ()1

18、00010001ln(1.06) 0.0344210002.27;1 0.1156DNNAAP AaA第29頁/共51頁11125:4025:4025:4025:40256525651256525:402565(5)1000 ()100010001000 1.02970872.20;(6)100010002.14AiP APaMMNNMMPNN第30頁/共51頁6.3 每年繳納數(shù)次的凈保費(fèi)年繳m次的年凈保費(fèi)：每一個(gè)保單年度內(nèi)，保費(fèi)分m次繳付，且死亡給付不做調(diào)整。(),2,4,12mPm 如年繳m次的死亡年末給付1單位的終身壽險(xiǎn)：()()1,mmxxmPPm年繳 次 年繳數(shù)額每次繳費(fèi)數(shù)額1()(

19、)1()()()()1(2) ( )00 KmmxKmmmxxxxxmxLvPaAE LAPaPa（）模型分析第31頁/共51頁說明：年繳一次與年繳m次的關(guān)系():()()():mx nx nx nx nmmmx nx nx nx nx nx nAaAaPPaaaa():()():mx nx hhhmmx nx nx hx hAaPPaa類似地第32頁/共51頁險(xiǎn)種保單年度末給付死亡立即給付終身壽險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年限期繳費(fèi)終身壽險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年定期壽險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)()()mxxmxAPa11()()x nmmx nx nAPa：()()()mxxmxAPAa1()1:():(

20、)mx nmx nx nAPAa():():()mx nmx nx nAPAa()():()mxhxmx hAPAa1()1:():()mx nhmx nx hAPAa():():()mx nhmx nx hAPAa()()x nmmx nx nAPa：()()mxhxmx hAPa：11()()x nmhmx nx hAPa：()()x nmhmx nx hAPa：第33頁/共51頁6.4 毛保費(fèi)費(fèi)率的確定1 厘定毛保費(fèi)的原則精算平衡原理毛保費(fèi)精算現(xiàn)值 = 凈保費(fèi)精算現(xiàn)值 + 附加費(fèi)用的 精算現(xiàn)值 = 各種給付的精算現(xiàn)值 + 各種費(fèi)用 支出的精算現(xiàn)值費(fèi)用：稅金、許可證、保單銷售費(fèi)用、合同成立

21、后的維護(hù)費(fèi)用、投資費(fèi)用等說明：保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)營中，區(qū)分投資和承保，費(fèi)用也相應(yīng)區(qū)分第34頁/共51頁費(fèi)用分類成分投資費(fèi)用（1）投資分析成本（2）購買、銷售及服務(wù)成本保險(xiǎn)費(fèi)用1、新契約費(fèi) （1）銷售費(fèi)用，包括代理人傭金及宣傳廣告費(fèi)（2）風(fēng)險(xiǎn)分類，包括體檢費(fèi)用（3）準(zhǔn)備新保單及記錄2、維護(hù)費(fèi)用 （1）保費(fèi)收取及記賬（2）保險(xiǎn)給付變更及保單選擇權(quán)準(zhǔn)備（3）與保單持有人進(jìn)行聯(lián)絡(luò)3、營業(yè)費(fèi)用 （1）研究、開發(fā)新險(xiǎn)種費(fèi)用（2）精算及一般法律服務(wù)（3）一般會(huì)計(jì)費(fèi)用，如工資、傭金、水電費(fèi)等（4）稅金、許可證等費(fèi)用4、理賠費(fèi)用 （1）理陪調(diào)查和法律辯護(hù)費(fèi)（2）各種給付的費(fèi)用2 費(fèi)用的分類與分配第35頁/共51頁費(fèi)用：

22、與保費(fèi)相關(guān)； 與保額相關(guān)； 與保費(fèi)、保額關(guān)系不大，但與保單數(shù)目有關(guān)。說明： 費(fèi)用分類和分配是控制保險(xiǎn)系統(tǒng)運(yùn)營的重要管理工具 精算定價(jià)時(shí)對(duì)費(fèi)用進(jìn)行分配，分配方法不同公司方法不同； 保費(fèi)確定時(shí)考慮費(fèi)用采取前瞻法，即預(yù)期發(fā)生的費(fèi)用。第36頁/共51頁未來保險(xiǎn)費(fèi)用的分配第一年續(xù)年分類每份每千元保費(fèi)百分比（%）每份每千元保費(fèi)百分比（%）2-9年10-15年16年以上1、新契約費(fèi)（1）銷售費(fèi)用 傭金-50-553 銷售事務(wù)-25-2.51.51 其它12.54-（2）分類180.5-（3）發(fā)行與記錄4-2、維持費(fèi)用20.25-20.25-3、營業(yè)費(fèi)用（1）（2）（3）40.25-40.25-（4）稅金-3

23、-222小計(jì)40.557860.59.58.564、給付費(fèi)用每份保單18元加上千元保額0.1元第37頁/共51頁例4.11 對(duì)(x)購買的保額為20000元的半連續(xù)型終身壽險(xiǎn)保單，按上表所列費(fèi)用，試根據(jù)精算平衡原理計(jì)算毛保費(fèi)。解：由精算平衡原理，使用精算現(xiàn)值，同時(shí)理賠費(fèi)用與給付同時(shí)發(fā)生，得到下式9|15|:8:620020(40.5 1000.78 )610(0.0950.0850.06) xxxxxxxGaAGaaaaa G9|15|:8:9:6:15:9:15:9:151,20020140.5 160.940.6850.010.025xxxxxxxxxxxxxaaaaaaaaAaGaaa第

24、38頁/共51頁%60811675. 0114592. 0140254025iAA，：例對(duì)（25）購買的保險(xiǎn)金額為10萬元的40年兩全保險(xiǎn)保單，該保單的第一年費(fèi)用為100元加上毛保費(fèi)的25%，續(xù)年的費(fèi)用為25元加上毛保費(fèi)的10%。發(fā)生死亡給付時(shí)的理賠費(fèi)用為100元，生存給付時(shí)不發(fā)生理賠費(fèi)用。求凈保費(fèi)與毛保費(fèi)。已知25:4025:401(1)15.6422Aad解：25:4025:4025:40100000100000732.85APa第39頁/共51頁125:4025:4025:4025:40(2)100000100(750.15 )(250.1 )GaAAGG a125:4025:4025:

25、4025:4010000010075250.90.15AAaGa1125:25:4025:40400.033425856.45AAAG第40頁/共51頁3 保單費(fèi)用與保單費(fèi)保單費(fèi)用：有一部分附加費(fèi)用只與保單數(shù)目有關(guān)，與保險(xiǎn)金額或保險(xiǎn)費(fèi)無關(guān)，這部分費(fèi)用稱為保單費(fèi)用，如準(zhǔn)備新保單、建立會(huì)計(jì)記錄、郵寄保費(fèi)通知的費(fèi)用等。保單費(fèi)：確定費(fèi)率時(shí)加載在保費(fèi)上的數(shù)額。第41頁/共51頁毛保費(fèi)可分為三部分：a b第一部分：跟保險(xiǎn)金額相關(guān)部分，如凈保費(fèi)、承保費(fèi)用等( )fG b第三部分：跟保費(fèi)數(shù)額相關(guān)部分。如代理人傭金、保險(xiǎn)費(fèi)稅金等c第二部分：每份保單的費(fèi)用（保單費(fèi)用）。如準(zhǔn)備新保單、建立會(huì)計(jì)記錄、郵寄保費(fèi)通知單等

26、毛保費(fèi)構(gòu)成分析( )( )G babcfG b 第42頁/共51頁G(b)：保險(xiǎn)金額為b千元的毛保費(fèi)ab：保費(fèi)中與保險(xiǎn)金額相關(guān)的部分，其中凈保費(fèi)是它的主要部分c：每份保單分?jǐn)偟馁M(fèi)用，與保額或保費(fèi)大小無關(guān)。f：與毛保費(fèi)數(shù)額相關(guān)的費(fèi)用在毛保費(fèi)中所占比例。( )(1)G bfabc保費(fèi)構(gòu)成與費(fèi)率的解釋第43頁/共51頁( )( )G babcfG b 毛保費(fèi)構(gòu)成公式( )( )11( )caabcbG bbb R bffR b表示保額為b時(shí)保險(xiǎn)費(fèi)率(千元)/( ) 1( )( )ac bR bfG bb R b確定費(fèi)率方法：分級(jí)費(fèi)率法保單費(fèi)附加法)(bR費(fèi)率函數(shù)的定義 ：第44頁/共51頁分級(jí)費(fèi)率法：保單根據(jù)保額分成若干等級(jí)，等級(jí)內(nèi)根據(jù)保額分布求出保額均值，根據(jù)平均保額計(jì)算該等級(jí)內(nèi)保單適用的費(fèi)率。/( )( ) 1( )( )ac bR bR bfG bb R b第45