圖像的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的計(jì)算

1、 圖像的旋轉(zhuǎn)是指以圖像中的某一點(diǎn)為原點(diǎn)以逆時(shí)針圖像的旋轉(zhuǎn)是指以圖像中的某一點(diǎn)為原點(diǎn)以逆時(shí)針或順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度。通常是繞圖像的起始或順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度。通常是繞圖像的起始點(diǎn)以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 其本質(zhì)是以圖像的中心為原點(diǎn)，將圖像上的所有像其本質(zhì)是以圖像的中心為原點(diǎn)，將圖像上的所有像素都旋轉(zhuǎn)一個(gè)相同的角度。素都旋轉(zhuǎn)一個(gè)相同的角度。 與圖像平移一樣，圖像旋轉(zhuǎn)也是圖像的位置變換，與圖像平移一樣，圖像旋轉(zhuǎn)也是圖像的位置變換，對(duì)于旋轉(zhuǎn)后超出源圖像范圍的區(qū)域要處理為不顯示。對(duì)于旋轉(zhuǎn)后超出源圖像范圍的區(qū)域要處理為不顯示。 旋轉(zhuǎn)后的圖像不會(huì)變形，但是其垂直對(duì)稱軸和水平對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)后的圖像不

2、會(huì)變形，但是其垂直對(duì)稱軸和水平對(duì)稱軸都發(fā)生了改變，旋轉(zhuǎn)后像素的坐標(biāo)需要經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算都發(fā)生了改變，旋轉(zhuǎn)后像素的坐標(biāo)需要經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算得出。而且圖像在經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換后，其寬度和高度都要發(fā)生變得出。而且圖像在經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換后，其寬度和高度都要發(fā)生變化，所以原始圖像的中心點(diǎn)和輸出圖像的中心點(diǎn)的坐標(biāo)是不同化，所以原始圖像的中心點(diǎn)和輸出圖像的中心點(diǎn)的坐標(biāo)是不同的。的。旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)100度度旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)250度度基本原理：基本原理： 圖像的旋轉(zhuǎn)不再是由一個(gè)矩陣變換就能獲得坐標(biāo)圖像的旋轉(zhuǎn)不再是由一個(gè)矩陣變換就能獲得坐標(biāo)的映射關(guān)系，它涉及多次矩陣變換。的映射關(guān)系，它涉及多次矩陣變換。 下面具體分析源圖像與旋轉(zhuǎn)

3、后圖像的對(duì)應(yīng)像素之間下面具體分析源圖像與旋轉(zhuǎn)后圖像的對(duì)應(yīng)像素之間的關(guān)系。的關(guān)系?；驹恚夯驹恚?、旋轉(zhuǎn)公式：、旋轉(zhuǎn)公式： 下面在數(shù)學(xué)坐標(biāo)系中推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)公式。將坐標(biāo)為下面在數(shù)學(xué)坐標(biāo)系中推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)公式。將坐標(biāo)為 的像的像素點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)素點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度后，其坐標(biāo)為角度后，其坐標(biāo)為 ，如圖，如圖1所示。所示。00(,)xy( , )x yy軸軸x軸軸r( , )x y00(,)xy圖圖1 旋轉(zhuǎn)示意圖旋轉(zhuǎn)示意圖 其中其中r表示像素坐標(biāo)距離原點(diǎn)表示像素坐標(biāo)距離原點(diǎn)的距離，的距離，表示旋轉(zhuǎn)前像素點(diǎn)與原表示旋轉(zhuǎn)前像素點(diǎn)與原點(diǎn)連線夾角的度數(shù)。點(diǎn)連線夾角的度數(shù)?；驹恚夯驹恚簓軸軸x軸軸r( , )x

4、y00(,)xy圖圖1 旋轉(zhuǎn)示意圖旋轉(zhuǎn)示意圖旋轉(zhuǎn)前有如下等式成立：旋轉(zhuǎn)前有如下等式成立：00cossinxrayra旋轉(zhuǎn)后則有：旋轉(zhuǎn)后則有：cos()sin()xrayracos()cos cossin sinaaa因?yàn)閟in()sincoscos sinaaa帶入旋轉(zhuǎn)后的公式，得帶入旋轉(zhuǎn)后的公式，得0000cos cossin sincossinsincoscos sinsincosxraraxyyraraxy 得：得：其矩陣表示為：其矩陣表示為： 00cossin011sincos0001xyxy其逆變換為：其逆變換為： 00cossin011sincos0001xyxy2、坐標(biāo)變換：、坐

5、標(biāo)變換： 圖像的坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)系不一樣。在數(shù)字圖像的坐圖像的坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)系不一樣。在數(shù)字圖像的坐標(biāo)系中，標(biāo)系中，y軸在下方；而在數(shù)學(xué)坐標(biāo)系中，軸在下方；而在數(shù)學(xué)坐標(biāo)系中，y軸在上方，如圖軸在上方，如圖2所示。所示。坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)y軸軸x軸軸x軸軸y軸軸坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)輸入圖像的坐標(biāo)系輸入圖像的坐標(biāo)系數(shù)學(xué)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)坐標(biāo)系圖圖2在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，需要進(jìn)行兩次坐標(biāo)變換。在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，需要進(jìn)行兩次坐標(biāo)變換。（1）旋轉(zhuǎn)操作前）旋轉(zhuǎn)操作前 圖像的旋轉(zhuǎn)是按照?qǐng)D像的中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)指定角度，為了轉(zhuǎn)換方圖像的旋轉(zhuǎn)是按照?qǐng)D像的中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)指定角度，為了轉(zhuǎn)換方便，需要以圖像的中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，故在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作前

6、需要便，需要以圖像的中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，故在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作前需要先對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行變換，即將圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)坐標(biāo)系，如圖先對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行變換，即將圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)坐標(biāo)系，如圖2右圖所示。右圖所示。 設(shè)原始圖像的寬度和高度分別為設(shè)原始圖像的寬度和高度分別為W和和H，則第，則第1次變換的映射次變換的映射關(guān)系為：關(guān)系為：000.50.5xxWyyH 000.50.5xxWyyH 其矩陣表達(dá)如下：其矩陣表達(dá)如下： 00100110100.50.51xyxyWH其逆運(yùn)算為：其逆運(yùn)算為： 00100110100.50.51xyxyWH（2）旋轉(zhuǎn)操作后）旋轉(zhuǎn)操作后 如圖如圖3所示，圖像經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后需要再次進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)

7、換，將數(shù)所示，圖像經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后需要再次進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將數(shù)學(xué)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像的坐標(biāo)系。轉(zhuǎn)換方式與第學(xué)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像的坐標(biāo)系。轉(zhuǎn)換方式與第1次坐標(biāo)變換次坐標(biāo)變換相似，唯一不同的是輸出圖像的中心不再是（相似，唯一不同的是輸出圖像的中心不再是（0.5W，0.5H）。）。 newnewWH如果設(shè)和分別表示輸出圖像的寬度和高度，0.50.5newnewWH那么輸出圖像的中心為（，）。x軸軸y軸軸坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)數(shù)學(xué)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)y軸軸x軸軸輸出圖像的坐標(biāo)系輸出圖像的坐標(biāo)系圖圖3故第故第2次坐標(biāo)變換的映射關(guān)系為：次坐標(biāo)變換的映射關(guān)系為：00+0.50.5newnewxxWyyH 其

8、矩陣表達(dá)如下：其矩陣表達(dá)如下：其逆運(yùn)算為：其逆運(yùn)算為： 00100110100.50.51newnewxyxyWH 00100110100.50.51newnewxyxyWH（3）旋轉(zhuǎn)公式）旋轉(zhuǎn)公式圖像的每個(gè)像素需要經(jīng)過(guò)如下圖像的每個(gè)像素需要經(jīng)過(guò)如下3步完成旋轉(zhuǎn)。步完成旋轉(zhuǎn)。由輸入圖像的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)坐標(biāo)系。由輸入圖像的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)坐標(biāo)系。通過(guò)數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系計(jì)算指定像素旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)。通過(guò)數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系計(jì)算指定像素旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)。由旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為輸出圖像的坐標(biāo)系。由旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為輸出圖像的坐標(biāo)系。則圖像的旋轉(zhuǎn)公式可由如下矩陣計(jì)算：則圖像的旋轉(zhuǎn)公式可由如下矩陣計(jì)算： 00100 cossi

9、n010011010sincos00100.50.51001 0.50.51newnewxyxyWHWH00cossin01sincos00.5 cos0.5 sin0.50.5 sin0.5 cos0.51newnewxyWHWWHH其逆運(yùn)算為：其逆運(yùn)算為： 00100cossin010011010sincos00100.50.510010.50.51newnewxyxyWHWHcossin01sincos00.5cos0.5sin0.50.5sin0.5cos0.51newnewnewnewx yWHWWHH這就是旋轉(zhuǎn)后映射的矩陣關(guān)系。這就是旋轉(zhuǎn)后映射的矩陣關(guān)系。可以用兩個(gè)變量來(lái)表示與可以用兩個(gè)變量來(lái)表示與x、y無(wú)關(guān)的表達(dá)式：無(wú)關(guān)的表達(dá)式：10.5cos0.5sin0.520.5sin0.5cos0.5newnewnewnewnumWHWnumWHH 則有：則有：00cossin1sincos2xxynumyxynum 這就是圖像旋轉(zhuǎn)的核心公式。這就是圖像旋轉(zhuǎn)的核心公式。 通過(guò)這個(gè)公式能夠求得輸出圖像任意像素映射在原始圖像的通過(guò)這個(gè)公式能夠求得輸出圖像任意像素映射在原始圖像的坐標(biāo)位置。坐標(biāo)位置。（4）利用插值進(jìn)行圖像的旋轉(zhuǎn)）利用插值進(jìn)行圖像的旋轉(zhuǎn) 通過(guò)前面介紹的旋轉(zhuǎn)公式