初中數(shù)學(xué)十大解題方法

1、更多精品資料，可以到索羅學(xué)院下載！網(wǎng)址：初一群： 169564542初二群： 84695375初三群： 60749338小學(xué)群： 397433738高一群： 214575315高二群： 264318627高三群： 177872056這些群專門為學(xué)生解答難題的，每天都有無數(shù)老師活躍在上面，有問必答！下面介紹的解題方法，都是初中數(shù)學(xué)中最常用的，有些方法也是中學(xué)教學(xué)大綱要求掌握的。1、配方法所謂配方， 就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。 配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法

2、，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。例題：用 配 方 法 解 方 程 x2 +4x+1=0 ， 經(jīng) 過 配 方 ， 得 到 ()A (x+2)2=5B (x 2) 2 =5C (x 2)2 =3D (x+2)2=3【分析】配方法：若二次項(xiàng)系數(shù)為1，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則可先提取二次項(xiàng)系數(shù)，將其化為1后再計(jì)算。【解】將 方 程 x2 +4x+1=0 ，移 向 得 ： x 2+4x= 1 ，配 方 得 ： x 2+4x+4= 1+4 ，即 (x+2) 2=3 ；因此選D。2、因式分解法因式

3、分解， 就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。例題：若 多項(xiàng)式 x 2+mx-3 因式分 解 的 結(jié)果為 （ x-1） （ x+3 ）， 則 m的值 為（）A-2B2C0D1【分析】 根據(jù) 因式分 解與 整式乘 法是 相反方 向的變 形， 先將（ x-1 ）（ x+3 ）乘 法公式 展開 ，再根 據(jù)對(duì) 應(yīng)項(xiàng)系 數(shù) 相 等求出 m的 值 ?！窘狻?x

4、 2+mx-3 因式 分解的 結(jié)果為 （ x-1 ） （ x+3 ） ，即 x 2+mx-3= （ x-1 ）（ x+3 ） ， x 2+mx-3= （ x-1 ）（ x+3 ） =x 2+2x-3 ， m=2；因此選B。3、換元法換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法， 就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決。例題：已知 (x 2 +y 2+1)(x2 +y 2+3)=8，則 x2 +y 2 的值為（）A-5 或 1B 1C 5D5 或-1【分析】解題時(shí)把x2 +y 2

5、當(dāng)成一個(gè)整體來考慮，再運(yùn)用因式分解法就比較簡(jiǎn)單【解】設(shè) x2+y 2=t，t 0 ，則原方程變形得(t+1)(t+3)=8，化簡(jiǎn)得：(t+5)(t-1)=0，解得： t 1=-5 ，t 2=1又 t 0 t=1 x2 +y 2 的值為只能是 1 因此選 B4、判別式法與韋達(dá)定理一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a、 b、 c 屬于 R， a0）根的判別，=b2 -4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組 )，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根； 已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用

6、外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。注意： =b2 -4ac 0，方程無實(shí)數(shù)根，即無解； =b2-4ac =0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； =b2 -4ac 0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。例題：當(dāng) m 為什么值時(shí)，關(guān)于x 的方程 (m24)x 22( m 1)x1 0 有實(shí)根?！痉治觥款}設(shè)中的方程未指明是一元二次方程，還是一元一次方程，所以應(yīng)分m 24 0和 m 24 0 兩種情形討論?！窘狻慨?dāng) m 24 0 即 m2 時(shí)， 2( m1) 0，方程為一元一次方程，總有實(shí)根；當(dāng) m24 0 即 m2 時(shí)，方程有根的條件是

7、：2(1)24(24)820 0，解得5mmmm25當(dāng) m m2 時(shí)，方程有實(shí)根。且25綜上所述：當(dāng) m 時(shí)，方程有實(shí)根。25、待定系數(shù)法在解數(shù)學(xué)問題時(shí)， 若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式， 其中含有某些待定的系數(shù)， 而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式， 最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系， 從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。例題：例1.mx243x n已知函數(shù) y2的最大值為 7，最小值為 1，求此函數(shù)式。x1【分析】求函數(shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m、 n 的值；已知最大值、最小值實(shí)際是就是已知函數(shù)的值域，對(duì)分子或分母

8、為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”?！窘狻亢瘮?shù)式變形為：(ym)x 2 43 x (y n) 0，x R,由已知得y m 0 (43 )2 4(y m)(y n) 0即：y2 (m n)y (mn 12) 0不等式的解集為(-1,7)，則 1、 7 是方程y 2 (m n)y (mn12) 0 的兩根，1(mn)mn 120m5m1代入兩根得：497( mn) mn12解得：n1或50n5x243x1x243x 5 y 1或者 y1x2x2此題也可由解集(-1,7)而設(shè) (y 1)(y 7) 0, 即 y 2 6y 7 0，然后與不等式比較系數(shù)mn6而得：，解出 m、 n 而求得函

9、數(shù)式y(tǒng)。mn1276、構(gòu)造法在解題時(shí)， 我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組 )、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問題的解決。例題：如圖，在 ABC 中， B=2 C， BAC 的平分線交BC 于點(diǎn) D 。求證： AB BD AC【分析】若遇到三角形的角平分線時(shí)，常構(gòu)造等腰三角形，借助等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，往往能夠找到解題途徑?！窘狻垦娱LCB 到點(diǎn) F，使 BF=AB ，連接 AF

10、 ，則 BAF 為等腰三角形，且F= 1.再根據(jù)三角形外角的有關(guān)性質(zhì)，得出ABD= 1+ F , 即 ABD=2 1=2 F，而 ABD=2 C，所以 C= 1= F ， AFC 為等腰三角形， 即 AF=AC ，又可得 FAD 為等腰三角形,因此，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即 AB BDAC。7、反證法反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1

11、)反設(shè)； (2) 歸謬； (3) 結(jié)論。反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在 /不存在； 平行于 /不平行于； 垂直于 /不垂直于； 等于 /不等于； 大 (小 ) 于/ 不大 (小 )于；都是 /不都是；至少有一個(gè) /一個(gè)也沒有；至少有 n 個(gè) /至多有 (n 一 1)個(gè)；至多有一個(gè) /至少有兩個(gè)；唯一 / 至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自

12、相矛盾。例題：若 P 是兩條異面直線l、 m 外的任意一點(diǎn)，則()A 過點(diǎn) P 有且僅有一條直線與l 、 m 都平行B過點(diǎn) P 有且僅有一條直線與l 、 m 都垂直C過點(diǎn) P 有且僅有一條直線與l 、 m 都相交D過點(diǎn) P 有且僅有一條直線與l 、 m 都異面【分析】對(duì)于 A，若存在直線n，使 n l 且 n m則有 l m，與 l、 m 異面矛盾；對(duì)于C，過點(diǎn) P 與 l、 m 都相交的直線不一定存在，反例如圖(l )；對(duì)于 D，過點(diǎn) P 與 l 、 m 都異面的直線不唯一【答案】 B8、面積法平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積， 而且用它

13、來證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題， 其困難在添置輔助線。 面積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來， 通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。 所以用面積法來解幾何題， 幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。例題：如圖 2， C 是線段 AB 上的一點(diǎn)，ACD 、 BCE 都是等邊三角形，AE 、 BD 相交于 O。求證： AOC= BOC 。圖 2證明： 過點(diǎn) C 作 CP AE ，CQ BD ，垂足分別為P、

14、Q。因?yàn)?ACD 、 BCE 都是等邊三角形，所以 AC=CD ，CE=CB ， ACD= BCE ，所以 ACE= DCB所以 ACE DCB所以 AE=BD ，可得 CP=CQ所以 OC 平分 AOB即 AOC= BOC9、幾何變換法在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。 有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。 另一方面， 也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來，有利

15、于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。幾何變換包括： （ 1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）對(duì)稱。例題：1. 平移變換 把圖形中的某一個(gè)線段或者一個(gè)角移動(dòng)到一個(gè)新的位置，使圖形中分散的條件緊密地結(jié)合到一起。一般有 2 種方法：1.平移已知條件2.平移所求問題，把所求問題轉(zhuǎn)化，其實(shí)就是逆向證明。幾何題多數(shù)都是逆向思考的。例 ：在三角形 ABC 中， BD=CE, 求證： AB+AC 大于 AD+AE 。這是典型的平移條件問題?！窘狻?我們把三角形 AEC 平移到如圖所示的 FBD 位置。 這里用了 BD=EC 的條件 。設(shè) AB 與 FD 交于 P這樣，容易構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形AEC,FBD由于PA+PD 大于 ADP

16、F+PB 大于 BF兩式相加PA+PB+PD+PF 大于 AD+BF又因?yàn)?BF= AE ， AC= FD所以AB+AC大于AD+AE2.旋轉(zhuǎn)變換把平面圖形繞旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角，使分散的條件集中在一起.例：如圖 ,等腰直角三角形ABC 中 ,AB=AC, A=90,M,N 為斜邊 BC 上兩點(diǎn)且MAN=45,求證 :BM2+CN2=MN2【解】要證BM2+CN2=MN2,容易想到勾股定理.但是 BM,CN,MN都不在同一個(gè)三角形上 ,所以 ,我們就設(shè)法將 BM,CN,MN 移到同一三角形上。考慮到 ABC 是等腰三角形，且是直角三角形，將 ABM 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90.使 AB 與

17、AC 重合 .得到 ACD ，則 NCD 為直角三角形只需證明 MN=ND 即可因?yàn)?MAN=45, 所以 BAM+ NAC=45 ，即 NAD=45 又因?yàn)?AM=AD所以 AND AMN所以 MN=ND ，在直角 NDC 中，有 ND2=NC2+DC2 ，所以 BM2+CN2=MN23.對(duì)稱變換 通過作關(guān)于某一直線或一點(diǎn)的對(duì)稱圖，把圖形中的圖形對(duì)稱到另一個(gè)位置上，使分散的條件集中在一起。當(dāng)出現(xiàn)以下兩種情況時(shí)，經(jīng)常考慮用此變換：1.出現(xiàn)了明顯的軸對(duì)稱、中心對(duì)稱條件時(shí)。2.出現(xiàn)了明顯的垂線條件時(shí)。例 ABC中 , BAC=90, ACD為等邊三角形，已知DBC=2 DBA ，求 DBA ?！窘?/p>

18、】由對(duì)稱可知，BAE全等于BAD， DE AB,所以BE=BD,AE=AD, ABE= ABD因?yàn)镈BC=2 DBA所以 DBC= DBE在 BC 上取點(diǎn) F，使 BF=BE又因?yàn)?BAC=90 ，DE AB所以 DE BC ， ADE= DAC=60所以 ADE 是等邊三角形DE=AD=DC因?yàn)?EF 關(guān)于 BD 對(duì)稱所以 DF=DE=DC ,BF=BE=BD,設(shè) DBA=a 則 DBF=2a因?yàn)?BF=BD ，所以 BFD= （180-2a） /2=90-a由于 DF=DC ，所以 DCF=90-a ACB=180-60- （ 90-a） =30+a因?yàn)?ABC+ ACB=90 ，即 a+2a+30+a=90 ， a=15所以 DBA=a=1510.客觀性題的解題方法選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧， 形式靈活， 可以比較全面地考察學(xué)生的基