二階高階常系數(shù)線性微分方程解的結構PPT學習教案

1、會計學1二階高階常系數(shù)線性微分方程解的結構二階高階常系數(shù)線性微分方程解的結構一一. 二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程0 yqypy)1(分分析析：，不妨設不妨設xey 式，式，代入代入)1(，02 xxxqeepe ，由由于于0 xe 則則有有02 qp )2(定定義義的的稱為稱為方程方程特征方程特征方程00 2 yqypyqp 的根稱為的根稱為特征方程特征方程特征根特征根02 qp 的兩個根為的兩個根為易知易知02 qp 2422 , 1qpp 二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法特征方程法第1頁/共22頁，042 qp的實根：的實根：特征方程有兩個不

2、相等特征方程有兩個不相等21 于是，于是，有兩個特解：有兩個特解：方程方程0 yqypy，xxeyey 211并并且且xxxeee)(211 不不是是常常數(shù)數(shù)，的通解為的通解為因此方程因此方程0 qypyyxxeCeCy2121 第2頁/共22頁，042 qp實根：實根：特征方程有兩個相等的特征方程有兩個相等的 21于是，于是，有一個特解：有一個特解：方程方程0 yqypyxey 1，下下面面尋尋找找另另一一個個特特解解2y不為常數(shù)不為常數(shù)且要求且要求12yy，設設)(12xuyy ，即即)(2xueyx 則則，)(2uueyx ，)2(22 uuueyx 第3頁/共22頁，得，得代入方程代入

3、方程0 qypyy，0)()2( 2 uqeuupeuuuexxx 即即，0)()2(2 uqpupuex 由于由于，02 qp ，02 p 則則有有0 u，不不妨妨取取xu 則另一個特解為則另一個特解為xxey 2的通解為的通解為從而方程從而方程0 qypyyxxxexCCxeCeCy )(2121 第4頁/共22頁，042 qp根根：特特征征方方程程有有一一對對共共軛軛復復)0(2, 1 i于是，于是，有兩個特解：有兩個特解：方程方程0 yqypy，xiey)(1 xiey)(2 利用歐拉公式：利用歐拉公式： sincosiei 于是，于是，xixeey 1，)sin(cosxixex x

4、ixeey 2，)sin(cosxixex 第5頁/共22頁而而)(2121yy ，xex cos )(2121yyi ，xex sin 且且xxexexx cotsincos 不是常數(shù)不是常數(shù)的通解為的通解為因此因此0 qypyy)sincos(sincos2121xCxCexeCxeCyxxx 定定義義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .第6頁/共22頁；032)1( yyy解解，特征方程特征方程0322 特征根：特征根：，3121 所以通解為所以通解為xxeCeCy321 第7頁/共22頁；

5、，2402)2(00 xxyyyyy，特征方程特征方程0122 特特征征根根：121 所以通解為所以通解為xexCCy)(21 代入通解中，得代入通解中，得將將40 xy；41 C從從而而xexCy)4(2 即有即有，)4(22CxCeyx 得得代入代入20 xy62 C于于是是所所求求特特解解為為xexy)64( 解解第8頁/共22頁，特征方程特征方程0542 特特征征根根：i 22 , 1 所以通解為所以通解為)sincos(212xCxCeyx 注注線性方程的求解線性方程的求解一階或高階常系數(shù)齊次一階或高階常系數(shù)齊次可推廣到可推廣到法，法，利用特征值求通解的方利用特征值求通解的方求解一階

6、方程求解一階方程例如例如03 yy，特征方程特征方程03 特征根特征根3 因此通解為因此通解為xCey3 054)3( yyy解解第9頁/共22頁的的通通解解情情況況表表：階階常常系系數(shù)數(shù)齊齊次次線線性性方方程程n階常系數(shù)齊次線性方程階常系數(shù)齊次線性方程n001)1(1)( ypypypynnn特特征征方方程程00111 pppnnn 單單實實根根) i (xCe 一項：一項： i 一對單復根一對單復根ii)()sincos(21xCxCex 兩兩項項： 重實根重實根kiii)(項：項：k)(121 kkxxCxCCe ik 重復根重復根)iv(項：項：k2xxCxCCekkx cos)(12

7、1 sin)(121xxDxDDkk 第10頁/共22頁求下列方程通解求下列方程通解例例 2；054)1()3()4()5( yyy解解，特特征征方方程程054345 特征根：特征根：0 ，重重)3(i 2 所所求求通通解解為為 y)(23210 xCxCCex )sincos(542xCxCex )sincos(5422321xCxCexCxCCx 第11頁/共22頁，特特征征方方程程014 特特征征根根：22442121 而而2222)1( 0)21)(21(22 ，)1(222, 1i ，)1(224 , 3i 故故通通解解為為 y)22sin22cos(2122xCxCex )22si

8、n22cos(4322xCxCex 0)2()4( yy解解第12頁/共22頁.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 練習練習1 1第13頁/共22頁.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 練習練習2 2第14頁/共22頁注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根, 而特征方程的每一個而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項根都對應著通解中的一項, 且

9、每一項各一個且每一項各一個任意常數(shù)任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211第15頁/共22頁特征根為特征根為, 154321jrrjrrr 故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy練習練習3 3第16頁/共22頁二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的特征方程）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解得到相應的通解. (見下表見下表)第17頁/共22頁02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復根復根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 第18頁/共22頁解解:, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 則則, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 思