普朗特邊界層微分方程的詳細(xì)推導(dǎo)

1、學(xué)校：內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)專業(yè)：力學(xué)姓名：宗宇顯首先，我們明白普朗特邊界層方程就是對(duì)二維定常納維-斯托克斯方程在一定情況下的簡(jiǎn)化。I二維定常納維-斯托克斯方程久+堂=0連續(xù)性方程& dy _._2_2此+建=乂-1中+vU+Y）X方向上的動(dòng)量方程> （1.1 ）（X&yPSxdxdy_._2_2U絲+v=Y1企十v（T+今）Y方向上的動(dòng)量方程x:y:-:y:x:yn普朗特邊界層理論相關(guān)知識(shí)2.1概念：定常繞流中流體粘性只在貼近物面極薄的一層內(nèi)主宰流體運(yùn)動(dòng)，稱這一層為邊界層；邊界層的流動(dòng)可近似為無粘的理想流動(dòng)。2.2普朗特理論的基本思想：在大 Re數(shù)（一般在5X 1。53x 10

2、6）繞流中存在兩個(gè)流動(dòng)區(qū)域，即層流和紊流。2.3邊界層：流體流經(jīng)固體壁面時(shí)，在固體壁面形成速度梯度較大的流體薄層。2.4邊界層厚度：以u(píng)=0.99Ue位置和壁面間的距離定義為邊界層得厚度。故考慮到不可壓縮流體作平面層流，則質(zhì)量力對(duì)流動(dòng)產(chǎn)生的影響較小，所以由二維定常納維-斯托克斯方程可得到去質(zhì)量力的下列式子：色+蟲=0連續(xù)性方程U色+v魚=4塵+V（尊+空）X方向上的動(dòng)量方程、（1.2）excyH exex dy2_2ua+v* = 【+v(£2十£2)Y方向上的動(dòng)量方程x ；y : 、y :x:ym邊界層中個(gè)物理量的數(shù)量級(jí)的確定 3.1邊界層的厚度S (x)量綱分析根據(jù)實(shí)驗(yàn)

3、條件分析，邊界層厚度 S (x)可能與流體微團(tuán)的所在位置x,流體速度U,粘性系數(shù)V ,密度p有關(guān)。設(shè)S =k - xU V k p ，根據(jù)量綱分析法可求的:m=1，nT，k=1'12；即 f = = = x投(1)又因?yàn)镽ex =四=普v 則關(guān)于5的關(guān)系式(1)寫成無量綱的形式如下：三焉卡取物體的長(zhǎng)度L取代上式中的x值，貝U公式(2)變?yōu)椋徊?3)(符號(hào)“”表示數(shù)量級(jí)相同)其中Re稱為繞流場(chǎng)的雷諾數(shù)。由普朗特邊界層理論相關(guān)知識(shí) 2.2我們知道此次實(shí)驗(yàn) 雷諾數(shù)在5X 1053X 106之間，所以從公式(3)我們可以得出結(jié)論：對(duì)長(zhǎng)度相同的物體，邊界層的厚度8是很小的，即相對(duì)于長(zhǎng)度L的數(shù)量級(jí)

4、是很小的。3.2幾何尺寸的數(shù)量級(jí)確定由邊界層的厚度8 (x)量綱分析我們可以得知：8 (x)與物體在x方向上的長(zhǎng)度l相比為小量，假設(shè)物體在x方向上的數(shù)量級(jí)為l (0Vx< l ),邊界層厚度 5在y方向上的數(shù)量級(jí)為£ (0< y < 8 ),則e <<l ,所以用同數(shù)量級(jí)來表達(dá)上 述關(guān)系則有：x l , 8 e , y &3.3速度數(shù)量級(jí)的確定由普朗特邊界層理論相關(guān)知識(shí) 2.4我們知道流體速度u在x方向上的范圍為：0< u V U,所以可以確定u與U為同數(shù)量級(jí)，則有uU又由連續(xù)性方程 地+色=0，可推得v的數(shù)量級(jí)為v £ U/1,

5、其它速度導(dǎo)數(shù)的數(shù)量 ex :y級(jí)可以通過3.2幾何尺寸數(shù)量級(jí)的確定來推導(dǎo)出，具體結(jié)果如下：:u U :u U N U :v ；U 1 U ；：2u U ；：2u U .一=一. .； -X 1 :y ； ；:x 1:y 1；1 :x 1: y ；：2v U ；：2v U 1 U 一 = -232. 2x 1:y 1=1由3.1邊界層的厚度8 （x）量綱分析中公式（3）我們可以推得Re數(shù)的數(shù)量級(jí)3.4對(duì)方程組（1.2 )的各項(xiàng)進(jìn)行量級(jí)分析比較3.4.1f v =0在上述方程中兩項(xiàng)的量級(jí)相同，不可偏廢。:u3.4.2 uuU1U1Re 12U112 ；212l3u2（因?yàn)镽e旦，所以v=UL）VR

6、e22222.；U U U.2 U . . 一 一 l2. l l l l l2. . 2魯為無窮小量，可以略去。上式方程中右邊的粘性項(xiàng)與左邊的慣性項(xiàng)的數(shù)量級(jí)均為這同時(shí)也說明粘性力與慣性力在x方向上同等重要，同樣不可偏廢。2 w: V3.4.3 u xU l2；U UUlRel3Ull2l2l2 ;2' l3號(hào)）；3ul3l2.上式方程中右邊的粘性項(xiàng)和左邊的慣性項(xiàng)都包含無窮小量.上式方程中的左右端的力相對(duì)于方程3.4.2中的相應(yīng)力均可作為小量忽略不計(jì)，而壓力項(xiàng)為了與其它的力保持平衡，也可作為小量處理，即可得:IV Navier-Stokes方程的簡(jiǎn)化一普朗特邊界層微分方程通過對(duì)上述各項(xiàng)

7、的量級(jí)分析和比較，略去無窮小量之后，方程組（1.2）可簡(jiǎn)化為以下樣式:.2:u : u 1 ; p : uu+ v =-r + V - 2exP excyJ (1.3)c ucv 八+=0蟲=01dxdy邊界條件為:(1) y=0 時(shí)，u=v=0 ；(2) y= 8 時(shí)，u=U, v=0。由玉=0 ,我們可以得出：在邊界層內(nèi)由邊界層表面到邊界層邊緣處，其壓力:V值全部相同，即邊界層內(nèi)的壓力只 p只是x的函數(shù)。由于邊界層外部區(qū)域?yàn)閯?shì)流區(qū)，所以邊界層邊緣上的壓力值 p和速度U(x)滿足伯努利方程：P (x)+ 印(x)=const2則業(yè)=WU理dxdx代替方程組(1.3 )中的 型 則可得到以下式子:x,其中p, U分別為屬