應力與應變關系PPT學習教案

1、會計學1應力與應變關系應力與應變關系第四章 應力與應變關系4.1 廣義虎克定律4.2 工程彈性常數(shù)及相互間關系式 4.3 簡單和復雜應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度 4.4 能量密度與能通量密度 第1頁/共79頁 在前幾章中，從靜力學、動力學和幾何學的觀點分別研究了應力和應變。前面知道聯(lián)結應力分量(6個)與位移分量(3個)有3個方程，聯(lián)結應變分量(6個)與位移分量(3個)有6個方程，15個未知數(shù)9個方程，還需要6個方程才能求解彈性動力學問題。應力與應變關系第2頁/共79頁應力與應變關系222222yxzxXxyyzyyzxzzuXxyztvYxyztwZxyzt平衡運動微分方程xyzxyyzz

2、xuxvywzvuxywvyzuwzx 幾何方程第3頁/共79頁 要解決彈性動力學問題，還要研究應力與應變的關系，這種關系通常被稱為物理方程或本構方程。即還需要補充應力與應變關系(6個方程)。應力與應變的關系反映物質固有的物理特性，應力分量與應變分量的一一對應關系，在線性彈性范圍內(nèi)，便是廣義虎克定律。應力與應變關系第4頁/共79頁廣義虎克定律廣義虎克定律-應力應變曲線應力應變曲線在常溫、靜載情況下，由材料拉伸試件可得到應力與應變關系曲線。不同材料得到的應力應變曲線不同。圖4 1給出低碳鋼應力應變曲線。從圖中可看出，該曲線大致可分為四個階段：圖4 1 某材料應力與應變關系曲線第5頁/共79頁廣義

3、虎克定律廣義虎克定律-應力應變曲線應力應變曲線(一一)彈性階段彈性階段OB段段 在此段內(nèi)，撤去外力時 ，將沿OB線恢復回原點O，即變形完全消失。通常為 稱為彈性極限。而OA段為直線，說明當 時， 成線性關系 即 (4-1)( ,) BA( ,) E第6頁/共79頁廣義虎克定律廣義虎克定律-應力應變曲線應力應變曲線 其中E是與材料有關的彈性常數(shù)，通常稱為彈性模量，E的量綱與 相同，一般用GN/m2。 則稱為比例極限，上式即為虎克定律的數(shù)學表達式。A點與B點非常接近，工程上彈性極限 和比例極限 并不嚴格區(qū)分。這種情況下，橫向應變 與軸向應變 絕對值之比一般是常數(shù)，即ABA稱為橫向變形系數(shù)或泊松比。

4、（4-2）第7頁/共79頁廣義虎克定律廣義虎克定律-應力應變曲線應力應變曲線(二二)屈服階段屈服階段BC段段 當 后，出現(xiàn)應變增加很快，而應力在很小范圍內(nèi)波動的階段。這種應力變化不大，而應變顯著增加的現(xiàn)象稱屈服或流動，屈服階段的最低應力 稱屈服極限。 BS(三三)強化階段強化階段CD段段 過了屈服階段以后，材料又恢復了抵抗變形的能力，要使它增加變形必須增加拉力，這種現(xiàn)象稱為材料的強化，強化階段中的最高點D所對應的 稱為強度極限。 D第8頁/共79頁廣義虎克定律廣義虎克定律-應力應變曲線應力應變曲線(四四)局部變形階段局部變形階段DG段段 過了D點以后，在局部范圍內(nèi)，橫截面急劇縮小，繼續(xù)伸長需要

5、拉力相應減小，到G點處，試件被拉斷。 在純剪應力作用時， 與 也成正比， ，比例系數(shù)G稱剪切彈性模量xyxyxyGxy第9頁/共79頁廣義虎克定律廣義虎克定律 在空間應力狀態(tài)下，描述一點應力狀態(tài)需6個應力分量，與之相應的應變狀態(tài)也要用6個應變分量來表示。它們之間存在一定關系。假設應力是應變的函數(shù)，分量形式表示為：123456(,)(,)(,)(,)(,)(,)xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyyzxyzyzzxxyzxxyzyzzxxyxyxyzyzzxxyffffff （4-3a）第10頁/共79頁廣義虎克定律廣義虎克定律 在小變形條件下，應變分量都是微量，(a)式

6、在應變?yōu)榱愀浇鯰aylor展開后，忽略2階以上的微量，例如對 ，可得：x1111 0000111000()()()()()()()xxyzxyzyzzxxyyzzxxyfffffff第11頁/共79頁廣義虎克定律廣義虎克定律 展開系數(shù)表示函數(shù)在其對應變分量一階導數(shù)在應變分量等于零時的值，而 實際上代表初應力，由于無初應力假設 等于零。 其它分量類推，那么在小變形情況下應力與應變關系式簡化為： 1 0()f1 0()f1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyy

7、zxyzyzzxxyzxxyzyzzxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC56616263646566xyxyxyzyzzxxyCCCCCCC（4-3b）第12頁/共79頁( ,1,2,6)mnCm n 第13頁/共79頁111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566xxyyzzyzyzzxzxxyxyCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC(4-4) 可以證明對各向異性體，由于應變能存在，也只有21個彈性常數(shù)獨立，對各向同性體，只有兩個彈性常

8、數(shù)獨立。第14頁/共79頁 如果物體是各向同性的，則在任何方向上彈性性質相同，因此在各個方向上應力與應變關系相同。 下面來證明對于各向同性體，只有兩個獨立的彈性常數(shù)。（一）首先證明彈性狀態(tài)下，主應力和主應變方向重合。（一）首先證明彈性狀態(tài)下，主應力和主應變方向重合。圖4 2 應變主軸第15頁/共79頁, ,x y z132231312cos1801 cos01cos900lnmllmmnn 如圖4 2所示，設1，2，3軸為物體內(nèi)某點的應變主軸，對應的剪應變 。現(xiàn)取 軸分別為1，2，3軸，則由廣義虎克定律第4式得：23311202341 1422433CCC123333( ,)l m n111(

9、 ,)l m n222( ,)l m n（a） 式中 , 和 為該點主應變(對應1，2，3軸)。將此坐標系繞2軸轉180，得新的坐標軸1，2，3，以 , 和 分別表示1，2，3軸對原坐標系O123各軸的方向余弦，知:第16頁/共79頁, ,x y z2341 1422433CCC 因此新坐標軸也指向應變主軸方向，剪應變也應該等于零，且因各向同性時，彈性系數(shù)C41，C42和C43應該不隨方向面改變，故取 分別為1，2和3軸，同樣由式（4-3）第4式得：12323322323n m 式中， 和 為該點主應變(對應1，2，3軸)，而由轉軸應力分量變換公式得：（b）第17頁/共79頁又由轉軸應變分量變

10、換公式(3-12)得211112222223333lmn(d) (c)，(d)代入(b)則有2341 1422433CCC(e)（a）與(e)比較，可知2323 第18頁/共79頁 欲使上式成立，只有 。同理可證 。這說明，若1，2，3是應變主軸，也是應力主軸。從而證明對各向同性彈性體內(nèi)任一點，應變主軸與應力主軸重合。 23012310(二二)再來確定各向同性彈性體獨立彈性常數(shù)的個數(shù)再來確定各向同性彈性體獨立彈性常數(shù)的個數(shù) 設所取的坐標軸為應力和應變主軸，則111 1122133221 1222233331 1322333CCCCCCCCC(f)第19頁/共79頁 式中表示 表示在 軸方向單位

11、主應變引起 軸方向的主應力大小。對于各向同性體， 對 的影響應與 對 的影響， 對 的影響相同，故： ijCji1122332332211aCCC(g) 由于各向同性，2和3對 的影響相同，2和3 對 的影響應與 和 對 的影響， 和2對 的影響相同，這樣 1131213 (h)bCCCCCC322331132112第20頁/共79頁 由(g)和(h)可知，對應力和應變主軸而言，只有兩個彈性常數(shù)是獨立的分別用a和b表示，則由(f)知112322313312()()()ababab (i)令 ， 且 則（i）變?yōu)?abb123 t112233222ttt (j) 常數(shù) 和 稱為拉梅(Lame)彈

12、性常數(shù)，簡稱拉梅常數(shù)。 第21頁/共79頁(三三)最后通過坐標變換，進一步建立任意正交坐標系應力與應變關系最后通過坐標變換，進一步建立任意正交坐標系應力與應變關系2221 1213 1 1 21122123xxylmnl lm mn n(k) 在各向同性彈性體中，設 為任意正交坐標系，它的三個軸與坐標系 應力主軸的方向余弦分別為 、 和 ，因為1，2，3軸是主軸，主軸方向的剪應變和剪應力等于零。根據(jù)轉軸時應力分量變換公式得oxyz123O111( ,)lmn222( ,)lmn333( ,)lmn第22頁/共79頁2221 1213 1 1 211221232()xxylmnl lm mn n

13、又由轉軸時應變分量變換公式得(l) 將(j)代入(k)中有2222221111 1213 1 1 212121 21122123()2 ()()2 ()xtxytlmnlmnl lm mn nl lm mn n (m) 第23頁/共79頁 比較式(l)和(m)并注意到 得222 1111 212121,0lmnl lm mn n2xtxxyxy 式中 是一不變量， 。同理可得其它應力分量與應變分量關系，綜合為： ttxyz222xtxytyztzyzyzzxzxxyxy(4-5n)第24頁/共79頁上式即為各向同性彈性體的虎克定律。寫成矩陣形式為：20002000200000000000000

14、0000 xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-6）第25頁/共79頁（4-7）(32 )xyzt 將式中前三式相加得 其中 為第一應變不變量，式稱為體積應變的虎克定律 利用式(4-6)，可以寫出用應力表示應變的廣義虎克定律第26頁/共79頁22(32)22(32)22(32)111xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-8）第27頁/共79頁 均勻各向同性完全彈性的假設是對實際介質的近似。當使用精細觀測手段研究較為復雜問題時，要考慮介質的不均性，以及介質的各向異性和介質的非完全彈性。若介質的彈性性質依方向而變化，稱為各向異性。 ( ,1,2,6,)ijjiCCi jijxxyy 對于各

15、向異性介質的模型，在方程中，彈性常數(shù) ,而其它常數(shù)不同，這樣總共有21個彈性常數(shù)， 對 的影響和 對 影響一樣。這樣可以導出復雜的數(shù)學關系。實際應用中經(jīng)常使用簡化模型，如橫向均勻且各向同性介質(TI)(transverse isotropy)。 這種介質彈性性質在一個平面上是相同的的，它沿著平面的法線方向變化，如沉積巖(層理)，沿層理方向是均勻的，彈性性質在垂直于層理方向變化。第28頁/共79頁第29頁/共79頁這種簡化的彈性介質層狀介質模型有5個獨立的彈性常數(shù)， ， 和 為 平面上和垂直于該平面方向的拉梅系數(shù)， 而 表示垂直平面上切應力和切應變的關系，廣義虎克定律為：,Oxy*(2)(2)(

16、2)*xxyzyxyzzxyzyzyzzxzxxyxy （4-9）第30頁/共79頁寫成矩陣形式(2)000(2)000(2)000000*000000*000000 xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-10）第31頁/共79頁即（4-11）112233122113312332445566111222*1()20CCCCCCCCCCCCCCothers第32頁/共79頁在地震勘探中一般用Thomsen參數(shù)描述各向異性113333664444221314334433334422()()2()CCCCCCCCCCCCC（4-12） Thomsen參數(shù)的優(yōu)點是其大小恰恰反映了各向異性的強弱。第

17、33頁/共79頁 在工程上，通過簡單拉伸和純剪切試驗可以測定楊氏彈性模量E，泊松比和剪切模量G等彈性常數(shù)，所以用工程彈性常數(shù)來表達廣義虎克定律更有實際意義。 首先考慮簡單拉伸。如沿 軸方向，應力分量除 外，其它為零，在彈性極限內(nèi)， 與沿 軸方向正應變成正比，其比例系數(shù)就是楊氏模量，橫向正應變 ， 與 之比的絕對值就是泊松比 ，而且 方向拉伸， 和 方向必然收縮，故xxxxyzxxyzyzxx 第34頁/共79頁即00yzyzzxxyxxyzxyzzxxy （4-13a） 將(4-13a)式代入均勻各向同性體廣義虎克定律式，前三個式子相加，得:(23 )xt 222xtxytyztzyzyzzx

18、zxxyxy廣義胡克定律第35頁/共79頁即23xt(4-13b) 再把(4-13b)式代回到第一式中，得(23 )xx(4-13c) (4-13a)和(4-13c)比較得：(23 ) (4-13d)第36頁/共79頁再由式(4-5n)第二式， ，得 2yty2yt (4-13e) (4-13c)代入(4-13b)，再代入(4-13e)中，得2()yx (4-13f) (4-13a)和(4-13e)比較得：2()(4-14)由(4-13d)和(4-14)式，可用楊氏模量 和泊松比 表示拉梅常數(shù) 和E第37頁/共79頁(1)(1 2 )2(1)根據(jù)試驗（4-15）10,02 所以 。0,0第38

19、頁/共79頁 再考慮純剪切情況。如設在 面內(nèi)，應力分量除 外，其余應力分量均為零，又 ， 為剪切彈性模量，即： xoyxyxyxyGG00 xyzyzzxxyzyzzxxyxyG(f) (f)與(4-5n)后三式比較，得G （4-16）第39頁/共79頁將(4-15)、(4-16)式代入(4-8)式，整理可得:1()1()1()xxyzyyzxzzxyyzyzzxzxxyxyGGG （4-17）第40頁/共79頁 與(4-8)式對應。前三個式相加得到用 E和表示的體積應變虎克定律： 12t（4-18）式中 ，若物體受到均勻壓縮，則xyz 0 xyzzxxyp yz常數(shù),則， 3(12 )tp

20、（4-19）第41頁/共79頁式（4-19）反映了體積應變與壓強p的關系，令 3(1 2 )K則tpK 其中K稱為膨脹系數(shù)。第42頁/共79頁 在均勻各向同性介質中，經(jīng)常使用拉梅彈性常數(shù) 及其楊氏彈性模量 ，泊松比 剪切模量 和圍壓膨脹模量 ，它們對彈性力學研究十分重要，特別是對地震波傳播，直接反映介質的彈性性質或彈性波傳播速度。它們六個可分為三組，兩者間可以轉換，其轉換關系總結如下： , EGK第43頁/共79頁，制E，制K，G制(E)/(1+)(1-2)K-(2/3)GE/2(1+)G(3+2)/(+)E(6GK)/K+(4/3)G/2(+)K-(2/3)G/2K+(4/3)G+(2/3)

21、(1/3)E/2(1+)K第44頁/共79頁 彈性體在外力作用下，發(fā)生變形，微元體要發(fā)生位移，這時外力對物體做了功，這個功以應變能的形式貯存在物體內(nèi)。這種彈性體因變形而儲存的能量稱為彈性變形位能，簡稱變形能，又稱應變位能或應變能。在物體彈性范圍內(nèi)，當卸去外力時，這個彈性應變能又完全釋放出來，使物體恢復原來形狀。第45頁/共79頁 設有一拉桿上端固定，下端掛一小盤，與盤同高的水平面上放有許多重塊，每塊重量為F，如圖4 3(a)所示，在應力小于比例極限范圍內(nèi)加入載荷的重量與拉桿伸長成正比，是一條傾斜直線，如圖4 3 (b)所示。第46頁/共79頁（a） (b)圖4 3 載荷與桿件拉伸的關系第47頁

22、/共79頁逐漸增加重塊時，每增加一重塊，拉桿就伸長 。這時。載荷下沉而做功，但損失位能，而桿件則獲得變形能。載荷損失的位能在數(shù)量上等于它所做的功A(載荷緩慢增加，動能無明顯變化，故可忽略不計)。根據(jù)能量守恒定律，載荷損失的位能等于拉桿所獲得的變形能。即應變能 ，當 時， ，由 ，在整個加力過程中，F(xiàn)從 ， 從 ，載荷做功0A。于是，()dlUAFFdF()lldl ()dAF dl10Fl10l 10()lAF dl第48頁/共79頁再利用應力、應變定義及虎克定律：()1dldFlSl式中E為彈性模量，S為橫截面積， 為拉桿原長度，于是12102FF llAF dFSS根據(jù)虎克定律，當載荷為

23、時， 1F111 FllS 第49頁/共79頁故1112AF l也就是應變能為2111122F lUF lES1F 由于拉桿整個體積內(nèi)有各點的應力狀態(tài)均相同，故當載荷 為時，原體積內(nèi)每單位體積的變形能都等于 2211112222F lUuVS l稱為應變能密度應變能密度。（4-20）第50頁/共79頁 在純剪應力情況下，通過薄壁面扭轉試驗可知，當剪應力不超過比例極限時，扭轉角 與外力偶矩 成正比，同理可得剪切應變能 ，剪切應變能密度 m12Um2122111222mUeGVS lG其中SFlFm/,第51頁/共79頁 在空間應力狀態(tài)下，變形能數(shù)值上仍等于外力所作的功，它也決定于作用力的最終數(shù)值

24、，而與加力先后順序無關。用主應力和主應變表示空間應力狀態(tài)下的應變能密度為1 12233111222u (4-21a)將廣義虎克定律代入(4-21a)式，用應力表示應變能密度為22212312233112 ()2u (4-21b)第52頁/共79頁 若正立方體形狀單元體上的三個主應力不相等，相應的主應變也不相等，單元體三個棱邊的變形不同。單元體的變形表現(xiàn)為體積的增加或減小，形狀的改變(正方體變?yōu)殚L方體)。因此可以認為應變能密度由兩部分組成：(1)因體積變化而儲存的應變能密度稱體積改變應變能密度 ；(2)因形狀改變而儲存的應變能密度稱形狀改變應變能密度 ，于是 tuxutxuuu(4-22a) 第

25、53頁/共79頁若單元體上以主應力的平均值1233m 代替主應力，而單位體積的改變 與 ， ， 作用時仍相等。但以 代替主應力后，由于三個棱邊的變形相同，所以只有體積變化而形狀不變，所以t123m(4-22b)11132222tmmmmmmmmu 第54頁/共79頁由廣義虎克定律(4-17)式得：(12 )()mmmmmEEEE代入(4-22b)式中得212312()6tu(4-22c) 根據(jù)（4-21b）和(4-22a)式得：2221223311()()() 6xu(4-22d) 第55頁/共79頁若不是用主應力表示應變能量，一般情況為1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzxu (4-2

26、2e) 證明：由1 122332221231223311()212 ()2u 第56頁/共79頁)(2)(2)(211332211332212321Eu 根據(jù)(2-11)式中第，第，第應力不變量定義和關系：133221222321zxyzxyxzzyyxzyxIII而：第57頁/共79頁)(1 (2)(221)(1 (2)(221)(1 (2)(212222222222222222zxyzxyxzzyyxzyxzxyzxyxzzyyxxzzyyxzyxzxyzxyxzzyyxzyxvvEvEvEu于是：第58頁/共79頁進一步 1()21()21()212(1)12(1)12(1)222xxy

27、zyyxzzzyxxyxyyzyzzxzxu 根據(jù)廣義虎克定律(4-17)式，可得:1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzxu 證畢。第59頁/共79頁同理可得出以應變表示的應變能密度。22222221 ()2 ()()2xyzxyzyzzxxyu (4-23) 進一步，應力與應變分量可用應變能密度的偏導數(shù)表示第60頁/共79頁xxyyzzy zy zz xz xx yx yuuuuuu(4-24) 第61頁/共79頁第62頁/共79頁 前節(jié)僅討論應變能（變形位能），即處于平衡狀態(tài)情形。當物體既運動又變形時，其內(nèi)部通常既有動能又有應變能。單位體積內(nèi)所含的動能稱為動能密度，記作 ，單位體積所

28、含的應變能稱為應變能密度，記作 ，單位體積內(nèi)所含總能量(指動能和應變能即機械能，內(nèi)能不考慮熱能。注：內(nèi)能包括勢能和熱能)， kPuPu2221()21()()() 2kxxyyzzxyxyyzyzzxzxuvwttt (4-25) 式中 為材料的密度。 第63頁/共79頁利用廣義虎克定律(4-5n)式，將 u1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzx )()(2)(212222222xyzxyzzyxzyxuPuP考慮物體處于運動狀態(tài)時，即波傳播時，應力和應變還應是時間的函數(shù)。為討論彈性介質機械能的變化規(guī)律，先研究 對時間的變化率。中的應力分量用應變分量表示（即(4-23)式）：第64頁/共

29、79頁()()2 ()()(2)(2)(2)yuxzxyzyxzxyzxyyzzxxyyzzxyxztxtytzxyyzzxxyyzzxyxzxyzttttGtttGtttGGGtttGGGttttt 222222222()()()xyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxttttuvwt xt yt zvuwvuwt xt yt yt zt zt x (4-26) 第65頁/共79頁 再研究動能密度 對時間 的變化率，并利用運動微分方程(2-19)式，得 kPt222222()()()()kyxxyyzyyzxzxxzzxyxxzyxyyzzxuuvvwwtttttttuvwtxyztxyz

30、txyzuvwtxtxtxuvwtytytyuvtzzyzwtztz(4-27) 第66頁/共79頁顯然， 將(4-26)和(4-27)代入，合并同類項，利用 和 互易性得到 ukttttx()()()xxyxzyxyyzzxzyzuvwtxtttuvwytttuvwzttt(4-28) 第67頁/共79頁定義一個矢量場()()() xxyxzyxyyzzxzyzuvwitttuvwjtttuvwkttt (4-29) 稱為能通量密度矢量場能通量密度矢量場。則能量密度對時間的變化率divt 第68頁/共79頁即能量密度對時間的變化率等于能流密度矢量的散度，表示 單位時間單位時間內(nèi)通過與 方向垂

31、直的單位面積的能量，稱為能量密度矢量場，它又表明機械能(包括動能和應變能)以多大數(shù)量沿什么方向傳播，即彈性波傳播，這里給出了彈性波的一種定義，即機械能在彈性介質中的傳播。例子，已知介質密度，圓頻率，振幅A，試求沿 軸傳播的平面簡諧波 x( , )cos()cos()xu x tAtKxAta第69頁/共79頁的能通量密度， ，稱圓波數(shù)， 為波的傳播速度。 Ka2Ga解：由2(2 ),sin(),sin();xtuuuuAt KxAKt Kxxxtx 將， 代入能通量密度（4-29）式中得 0yzxyyzzx2222sin ()xxuAtkxt 第70頁/共79頁 當平面簡諧波在介質中傳播時，同一點介質的能通量密度是隨時間變化的，其最大值與振幅平方、圓頻率的平方，介質密度成正比。 研究能量密度和能通量密度的關系。先求能量密度， 動能動能2211()22kumvdxdydzt 動能密度