1.1.1變化率問題

1、1. 1.1 變化率問題課前預(yù)習(xí)學(xué)案預(yù)習(xí)目標(biāo)：“變化率問題”，課本中的問題 1,2。知道平均變化率的定義。預(yù)習(xí)內(nèi)容： 問題 1 氣球膨脹率我們都吹過氣 球回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢?在吹氣球問題中，當(dāng)空氣容量V 從 0 增加到 1L 時(shí)，氣球的平均膨脹率為 _當(dāng)空氣容量 V 從 1L 增加到 2L 時(shí)，氣球的平均膨脹率為 _當(dāng)空氣容量從 V1增加到 V2時(shí),氣球的平均膨脹率為 _問題 2 高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后h的時(shí)間 t (單位：s)存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=

2、-4.9t2+6.5t + 10.如何用運(yùn)動(dòng)代員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度V 粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？在0蘭t蘭0.5這段時(shí)間里，V =_ I在1蘭t蘭2這段時(shí)間里，V =- -1o問題 3 平均變化率已知函數(shù)f(x )，則變化率可用式子_，此式稱之為函數(shù)f(x)從X2_.習(xí)慣上用也 x 表示X2-X1，即Ax=_，可把也 x 看做是相對(duì)于X1的一個(gè)“增量”，可用X1 + Ax代替X2，類似有f (x) =_于是，平均變化率可以表示為 _提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平均變化率的概念；2. 了解平均變化率的幾何意義

3、；3. 會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率學(xué)習(xí)重點(diǎn)：平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么r(V)=學(xué)習(xí)難點(diǎn)：平均變化率的概念.學(xué)習(xí)過程一：問題提出問題 1 氣球膨脹率問題：氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位:dn)之間的函數(shù)關(guān)系是如果將半徑 r 表示為體積 V 的函數(shù)，那么_ . 當(dāng) V 從 0 增加到 1 時(shí),氣球半徑增加了 _ .氣球的平均膨脹率為_. 當(dāng) V 從 1 增加到 2 時(shí),氣球半徑增加了 _ .氣球的平均膨脹率為_.可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了. 思考：當(dāng)空氣容量從V增加到V2時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少

4、問題 2 高臺(tái)跳水問題：在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度 時(shí)間 t (單位：S)存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？ 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度 間t(單位：S)存在函數(shù)關(guān)系_)如何計(jì)算運(yùn)動(dòng)員的平均速度？并分別計(jì)算0 t 2, 2 t 2.2，時(shí)間段里的平均速度.思考計(jì)算：0乞t乞0.5和1乞t乞2的平均速度 在0空t空0.5這段時(shí)間里,在1 r2這段時(shí)間里，65探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0空t這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問題:49運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t+6.5t+10 的圖像，結(jié)合圖形可知,

5、h(聲-h(0)，65.雖然運(yùn)動(dòng)員在0乞t這段時(shí)間里的平均速度為0(s/ m),49運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).(1) 計(jì)算和思考，展開討論；(2) 說出自己的發(fā)現(xiàn)，并初步修正到最終的結(jié)論上(3) 得到結(jié)論是： 平均速度只能粗略地描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)， 它并不能反映某一刻的運(yùn) 動(dòng)狀態(tài).需要尋找一個(gè)量，能更精細(xì)地刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；二平均變化率概念：所以但實(shí)際情況是1.上述問題中的變化率可用式子f (X2)- f(x1)表示，稱為函數(shù)f(x)從X!到X2的平均變化X2一捲h (單位：m)與起跳后的h(單位：m與起跳后的時(shí)t0.5,K tw2,1.8

6、2 若設(shè) LX= X2- xLf= f (x2) - f(X)(這里 LX 看作是對(duì)于X1的一個(gè)增量”可用xi+ x代替X2,同樣f . y = f (x2) -f (x1)3.則平均變化率為=f=_Ax Ax思考：觀察函數(shù)f(X)的圖象平均變化率 二f(X2)-f (Xi)表示什么？Zx2x(1)一起討論、分析，得出結(jié)果；(2)計(jì)算平均變化率的步驟：求自變量的增量 X=X2-Xi；求函數(shù)的增量 f=f(x2)-f(xi)；求平均變化率蘭二f(X2)f(Xl)LXX2_X)注意：厶 X 是一個(gè)整體符號(hào)，而不是 與 x 相乘;2X2= X 計(jì)厶 X ;3 f= y=y2-yi；三.典例分析例 1

7、 .已知函數(shù)f(x)=-x2x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1：x,-2：y),則=_ 解：2例 2 .求y = x在x=x0附近的平均變化率。解：四.有效訓(xùn)練21._質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為S=t 3，則在時(shí)間(3, t)中相應(yīng)的平均速度為 _ .2. 物體按照S(t)=3t2+t+4 的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，求在 4S附近的平均變化率.3. 過曲線y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P(1, 1)和Q(1+ x,1+ y)作曲線的割線，求出當(dāng) x=0.1 時(shí)割線的斜率反思總結(jié)：1、平均變化率的概念2、如何求函數(shù)在某點(diǎn)附近的平均變化率當(dāng)堂檢測1、函數(shù)f x =X2在區(qū)間-1,3 1上的平均變化率是()1

8、3A4 B、2 C 、D 、一442、 經(jīng)過函數(shù)y = -2x2圖象上兩點(diǎn)AB 的直線的斜率(XA=1.5,XB=1)為_；函數(shù)y =2x2在區(qū)間1 , 1.5上的平均變化率為 _3、如果質(zhì)點(diǎn) M 按規(guī)律s=3+t2運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間2 , 2.1中相應(yīng)的平均速度等于 _課后練習(xí)與提咼21、 已知函數(shù)f(x) - -X1，分別計(jì)算f x在下列區(qū)間上的平均變化率(1) 1, 1.01(2)0.9,12、 已知一次函數(shù)y = f(X)在區(qū)間-2 , 6上的平均變化率為2，且函數(shù)圖象過點(diǎn)(0, 2),試 求此一次函數(shù)的表達(dá)式。3、 已知函數(shù)y = f(x)=2x2-1的圖象上一點(diǎn)(1, 1)及鄰近一點(diǎn)(

9、1+LX,f (-X ), 求衛(wèi)x4、將半徑為 R 的球加熱，若球的半徑增加R,則球的體積增量243V =4兀R(AR)2+_JT(AR)3+(_)1.1.1 變化率問題教學(xué)目標(biāo):1. 理解平均變化率的概念；2. 了解平均變化率的幾何意義；3. 會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率.教學(xué)重點(diǎn)：平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率教學(xué)難點(diǎn)：平均變化率的概念.教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情景為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對(duì)函數(shù)的研究：產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：一、 已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度

10、等；二、 求曲線的切線；三、 求已知函數(shù)的最大值與最小值；四、求長度、面積、體積和重心等.導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一般、最有效的工具.導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度二、新課講授(一)問題提出問題 1 氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？43氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)r33分析：r (V) =3(1)當(dāng)V從0增加到1時(shí)，氣球半徑增加了r(1) -r(0)0.62(

11、dm)氣球的平均 膨脹率為口1一口0:0.62(dm/ L)1-0(2)當(dāng)V從1增加到2時(shí)，氣球半徑增加了r(2)r(1)：0.16(dm)氣球的平均 膨脹率為一一:-0.16(dm/ L)如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么r(V)2-1可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了思考：當(dāng)空氣容量從Vi增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少？-V2Vi問題 2 高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳 水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳 后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t) = -4.9t26.5t - 10.如何用 運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速V度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？思考計(jì)算：

12、0空t乞0.5和1空t空2的平均速度v在0汀乞0.5這段時(shí)間里,V =h(0.5)_h(0) =4.05(m/s)0.5-0在1 2這段時(shí)間里,VJ(2)川川一8.2(m/s)2165探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0乞t這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問題49(1) 運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？(2) 你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=.9t26.5t 10的圖像，6565一h(云)-h(0)結(jié)合圖形可知，h( ) = h(0)，所以v = 0(s/ m)49竺_04965雖然運(yùn)動(dòng)員在0乞t這段時(shí)間里的平均速度為0(s/m),49但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，

13、并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(二)平均變化率概念1. 上述問題中的變化率可用式子f (x2)-f (x1)表示，x2_x稱為函數(shù)f (x)從x2的平均變化率.2. 若設(shè)厶 XXQ-X.f = f (x2) - f (xj(這里x看作是對(duì)于x1的一個(gè)增量”可用捲代替x2，同樣f = y =f (x2) - f (xj)則平均變化率為衛(wèi)二蘭二&2)-口劉)二f(X!切-fd!)=X=XX2- X1LX思考：觀察函數(shù)f (X)的圖象平均變化率 =f(X2)一一f(X1)表示什么？ZX2 X1三、典例分析例 1 已知函數(shù)f(x)=-x2x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B( 1-2 =y)則一y =_._xY=f(x)解：一2二y - -(二x)2(二x)2.=-(：x) (J：x)-2_ 3 _ .,xLXLx2例 2 求y二x在x =x附近的平均變化率.解：y =(x0* =x)2- x022 2 2 2 2y(xoLX) _XOxo2xoixLX- xo所以2x0* =xxx x2所以y = x在x = x0附近的平均變化率為2x x四、 課堂練習(xí)1. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為