淺析歐拉角與四元數(shù).

1、Machine Perception and Interaction Group (MPIGMPIG) 歐拉角和四元數(shù)鄭雪鶴MPIG Seminar 0048Machine Perception and Interaction Group (MPIGMPIG) 鄭雪鶴MPIG Seminar 0048Machine Perception and Interaction Group (MPIG)歐拉角的基本概念歐拉角的基本概念1.描述定點定點轉(zhuǎn)動剛體的位形需要三個獨立坐標變量。2.描述定軸定軸轉(zhuǎn)動剛體的位形只需要一個獨立坐標變量，即轉(zhuǎn)角。3.將定點轉(zhuǎn)動的過程分解為三個相互獨立的定軸轉(zhuǎn)動，相應(yīng)的三

2、個相互獨立的轉(zhuǎn)角，即歐拉角。Machine Perception and Interaction Group (MPIG)歐拉角的基本概念歐拉角的基本概念(1) Roll 滾轉(zhuǎn)角Machine Perception and Interaction Group (MPIG)歐拉角的基本概念歐拉角的基本概念(2) Pitch 俯仰角Machine Perception and Interaction Group (MPIG)歐拉角的基本概念歐拉角的基本概念(3) Yaw 偏航角 Machine Perception and Interaction Group (MPIG)三個歐拉角的獨立性三個歐拉

3、角的獨立性)(x)(y) ,(zzx yy )(z ) (xz x y ORollRoll PitchPitch Yaw YawMachine Perception and Interaction Group (MPIG)歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣繞Z軸旋轉(zhuǎn)Machine Perception and Interaction Group (MPIG)歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣繞Y軸旋轉(zhuǎn)Machine Perception and Interaction Group (MPIG)歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣繞X軸旋轉(zhuǎn)Machine Perception and Int

4、eraction Group (MPIG)歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣 旋轉(zhuǎn)順序下的旋轉(zhuǎn)矩陣Machine Perception and Interaction Group (MPIG)歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣 旋轉(zhuǎn)順序下的旋轉(zhuǎn)矩陣Machine Perception and Interaction Group (MPIG)總結(jié)總結(jié)確定歐拉角 在任意時刻的大小，也就確定了剛體在任意時刻的位形 , ,)(x)(y) ,(zzx yy )(z ) (xz x y OMachine Perception and Interaction Group (MPIG)總結(jié)總結(jié)確定歐拉角

5、在任意時刻的大小，也就確定了剛體在任意時刻的位形 , ,奇異點奇異點不唯一不唯一Machine Perception and Interaction Group (MPIG)總結(jié)總結(jié)確定歐拉角 在任意時刻的大小，也就確定了剛體在任意時刻的位形 , ,Machine Perception and Interaction Group (MPIG)總結(jié)總結(jié)確定歐拉角 在任意時刻的大小，也就確定了剛體在任意時刻的位形 , ,奇異點奇異點萬向萬向節(jié)鎖節(jié)鎖不唯一不唯一Machine Perception and Interaction Group (MPIG)總結(jié)總結(jié)確定歐拉角 在任意時刻的大小，也就確定

6、了剛體在任意時刻的位形 , ,Machine Perception and Interaction Group (MPIG)總結(jié)總結(jié) 理論上，歐拉旋轉(zhuǎn)可以靠這種順序讓一個物體指到任何一個想要的方向 但如果在旋轉(zhuǎn)中不幸讓某些坐標軸重合了就會發(fā)生萬向節(jié)鎖 這時就會丟失一個方向上的旋轉(zhuǎn)能力 也就是說在這種狀態(tài)下我們無論怎么旋轉(zhuǎn)（當然還是要原先的順序）都不可能得到某些想要的旋轉(zhuǎn)效果 除非我們打破原先的旋轉(zhuǎn)順序或者同時旋轉(zhuǎn)3個坐標軸 由于萬向節(jié)鎖的存在，歐拉旋轉(zhuǎn)無法實現(xiàn)球面平滑插值。Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)四元數(shù)四元數(shù)四元數(shù)qu

7、aternionMachine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)四元數(shù)其中i，j，k為四元數(shù)的三個虛部，這三個虛部滿足關(guān)系式：Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)的四元數(shù)的基本性質(zhì)基本性質(zhì)1. 加法和減法2.乘法Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)的四元數(shù)的基本性質(zhì)基本性質(zhì)乘法Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)的四元數(shù)的基本性質(zhì)基本性質(zhì)乘法由于最后一項

8、外積的存在，該乘法通常是不可交換的，除非共線Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)的四元數(shù)的基本性質(zhì)基本性質(zhì)3. 共軛4. 模長5.兩個四元數(shù)乘積的模即為模的乘積， 這保證單位四元數(shù) 相乘后仍是單位四元數(shù)。Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)的四元數(shù)的基本性質(zhì)基本性質(zhì)6. 逆（1） 四元數(shù)和自己的逆的乘積為實四元數(shù)1：（2） 單位四元數(shù)的逆等于共軛Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)M

9、achine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)假設(shè)某個旋轉(zhuǎn)是繞單位向量：則描述該轉(zhuǎn)動的四元數(shù)可以表示成:反之，我們亦可通過任意一個長度為1的四元數(shù)，計算對應(yīng)旋轉(zhuǎn)軸與夾角右手法則旋轉(zhuǎn)Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)用一個虛四元數(shù)來描述一個三維空間點：用另一個四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)：XYZn np pp pMachine Perception and Interaction Group (MPIG)歐拉角轉(zhuǎn)四元數(shù)歐拉角轉(zhuǎn)四元數(shù)設(shè)三次旋轉(zhuǎn)對應(yīng)的四元數(shù)分別為：則：繞x軸單位向量(1, 0, 0)旋轉(zhuǎn)角度繞z軸單位向量(1, 0, 0)旋轉(zhuǎn)角度繞y軸單位向量(1, 0, 0)旋轉(zhuǎn)角度Machine Perception and Interaction Group (MPIG)歐拉角轉(zhuǎn)四元數(shù)歐拉角轉(zhuǎn)四元數(shù)設(shè)三次旋轉(zhuǎn)對應(yīng)的四元數(shù)分別為：則：Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元數(shù)四元數(shù)轉(zhuǎn)歐拉角轉(zhuǎn)歐拉角旋轉(zhuǎn)序為Z-Y-X時，旋轉(zhuǎn)矩陣可以表示為:Machine Perception