必修四 第三章 三角恒等變換

1、 必修四 第三章 三角恒等變換3.1.1 兩角差的余弦公式一、教學(xué)目標(biāo)掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡(jiǎn)單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎(chǔ).二、教學(xué)重、難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式；2. 教學(xué)難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)，這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識(shí)是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和方法的能力問題，等等.三、教學(xué)設(shè)想：（一）導(dǎo)入：?jiǎn)栴}1：我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道 ，由此我們能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根據(jù)我們?cè)诘谝徽滤鶎W(xué)的知識(shí)可知我們的猜想是錯(cuò)誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式（二）

2、探討過程：在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，在設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，等于角與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角的余弦線來表示。思考1：怎樣構(gòu)造角和角？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來.）思考2：我們?cè)诘诙聦W(xué)習(xí)用向量的知識(shí)解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識(shí)來證明？（1）結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？（2）怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？?jī)山遣畹挠嘞夜剑?（三）例題講解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、構(gòu)造成兩個(gè)特殊角的和、差. 點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)具體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：，要學(xué)會(huì)靈

3、活運(yùn)用.例2、已知，是第三象限角，求的值.解：因?yàn)椋纱说糜忠驗(yàn)槭堑谌笙藿?，所以所以點(diǎn)評(píng)：注意角、的象限，也就是符號(hào)問題. 思考：本題中沒有，呢？（四）練習(xí)：1.不查表計(jì)算下列各式的值：解: 2教材P127面1、2、3、4題（五）小結(jié)：兩角差的余弦公式，首先要認(rèn)識(shí)公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角、的象限，也就是符號(hào)問題，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.（1）牢記公式（2）在“給值求值”題型中，要能靈活處理已、未知關(guān)系（六）作業(yè)：習(xí)案作業(yè)二十九3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（一）一、教學(xué)目標(biāo)理解以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)兩角和、差正弦和正切

4、公式的方法，體會(huì)三角恒等變換特點(diǎn)的過程，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)：兩角和、差正弦和正切公式的推導(dǎo)過程及運(yùn)用；2. 教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運(yùn)用.三、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：（1）大家首先回顧一下兩角差的余弦公式： （2）？（二）新課講授問題：由兩角差的余弦公式，怎樣得到兩角差的正弦公式呢？探究1、讓學(xué)生動(dòng)手完成兩角和與差正弦公式. 探究2、讓學(xué)生觀察認(rèn)識(shí)兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切公式.（學(xué)生動(dòng)手）探究3、我們能否推倒出兩角差的正切公式呢？探究4、通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同時(shí)除

5、以，得到注意： 5、將、稱為和角公式，、稱為差角公式。（三）例題講解例1、已知是第四象限角，求的值.解：因?yàn)槭堑谒南笙藿牵茫?，于是有： 思考：在本題中，那么對(duì)任意角，此等式成立嗎？若成立你能否證明？ 練習(xí)：教材P131面1、2、3、4題例2、已知求的值（）例3、利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、解：（1）、；（2）、；（3）、練習(xí)：教材P131面5題（四）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.（五）作業(yè)：習(xí)案作業(yè)三十。3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（二）一、教學(xué)目標(biāo)1、理解兩角和與差的余弦、正弦和正切公

6、式，體會(huì)三角恒等變換特點(diǎn)的過程；2、掌握兩角和與差的余弦、正弦和正切公式的應(yīng)用及類型的變換。二、教學(xué)重、難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)：兩角和、差正弦和正切公式的運(yùn)用；2. 教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運(yùn)用.三、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：（1）基本公式 （2）練習(xí)：教材P132面第6題。思考：怎樣求類型？（二）新課講授例1、化簡(jiǎn)解：此題與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象，但我們能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？ 思考：是怎么得到的？，我們是構(gòu)造一個(gè)叫使它的正、余弦分別等于和的.歸納：例2、已知：函數(shù)（1） 求的最值。（2）求的周期、單調(diào)性。例3已知A、B、C為ABC的三內(nèi)角，向量，且，（1

7、） 求角A。（2）若，求tanC的值。練習(xí)：（1）教材P132面7題 （2）在ABC中，則ABC為（ ） A直角三角形 B鈍角三角形 C銳角三角形 D等腰三角形 （2） （ ） A 0 B2 C D思考：已知，求三、小結(jié)：掌握兩角和與差的余弦、正弦和正切公式的應(yīng)用及類型的變換四、作業(yè)：習(xí)案作業(yè)三十一的1、2、3題。3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教學(xué)目標(biāo)以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式；教學(xué)難點(diǎn)：二倍角的理解及其靈活運(yùn)用.三、教

8、學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式， 練習(xí)：（1）在ABC中，則ABC為（ ） A直角三角形 B鈍角三角形 C銳角三角形 D等腰三角形 （2） （ ） A 0 B2 C D思考：已知，求我們由此能否得到的公式呢？（學(xué)生自己動(dòng)手，把上述公式中看成即可），（二）公式推導(dǎo)：；思考：把上述關(guān)于的式子能否變成只含有或形式的式子呢？；注意： （三）例題講解例1、已知求的值解：由得又因?yàn)橛谑牵焕?在ABC中，例3已知求的值解：，由此得解得或例4已知（四）練習(xí)：教材P135面1、2、3、4、5題（五）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過

9、程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.（六）作業(yè)：習(xí)案作業(yè)三十二。3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換（一）一教學(xué)目標(biāo)1、通過二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力。2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形，體會(huì)三角恒等變形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。3、通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生以已

10、有的十一個(gè)公式為依據(jù)，以推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式的推導(dǎo)作為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會(huì)三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程的能力三、教學(xué)設(shè)想： （一）復(fù)習(xí)：三角函數(shù)的和（差）公式，倍角公式（二）新課講授：1、由二倍角公式引導(dǎo)學(xué)生思考：有什么樣的關(guān)系？學(xué)習(xí)和（差）公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行變換的性工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富，這為我們的推理、運(yùn)算能力提供了新的平臺(tái) 例1、試以表示解：我們可以通過二倍角和來做此題因?yàn)?，可以得到；?/p>

11、為，可以得到又因?yàn)樗伎迹捍鷶?shù)式變換與三角變換有什么不同？代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換對(duì)于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)例2已知，且在第三象限，求的值。例3、求證：（）、；（）、證明：（）因?yàn)楹褪俏覀兯鶎W(xué)習(xí)過的知識(shí)，因此我們從等式右邊著手；兩式相加得；即；（）由（）得；設(shè)，那么把的值代入式中得思考：在例3證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想？例3證明中用到換元思想，（）式是積化和差的形式，（）式是和差化積的形式，在后面的練習(xí)當(dāng)中還

12、有六個(gè)關(guān)于積化和差、和差化積的公式三練習(xí)：P142面1、2、3題。四小結(jié)：要對(duì)變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用五作業(yè)：習(xí)案三十三。3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換（二）一、教學(xué)目標(biāo)1、通過三角恒等變形，形如的函數(shù)轉(zhuǎn)化為的函數(shù)；2、靈活利用公式，通過三角恒等變形，解決函數(shù)的最值、周期、單調(diào)性等問題。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：三角恒等變形的應(yīng)用。難點(diǎn)：三角恒等變形。三、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)：二倍角公式。（二）典型例題分析例1： ；解：（1）由得（2）例2解： .例已知函數(shù)（1） 求的最小正周期，（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值及取得最小值時(shí)的集合點(diǎn)評(píng)：例是三角恒等變換在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的

13、舉例，它使三角函數(shù)中對(duì)函數(shù)的性質(zhì)研究得到延伸，體現(xiàn)了三角變換在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式中的作用例4若函數(shù)上的最大值為6，求常數(shù)m的值及此函數(shù)當(dāng)時(shí)的最小值及取得最小值時(shí)的集合。（三）練習(xí)：教材P142面第4題。（四）小結(jié)：(1) 二倍角公式：(2)二倍角變式：(3)三角變形技巧和代數(shù)變形技巧常見的三角變形技巧有切割化弦；“1”的變用；統(tǒng)一角度，統(tǒng)一函數(shù)，統(tǒng)一形式等等（五）作業(yè)：習(xí)案作業(yè)三十四3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換（三）教學(xué)目標(biāo)（一） 知識(shí)與技能目標(biāo)熟練掌握三角公式及其變形公式（二） 過程與能力目標(biāo)抓住角、函數(shù)式得特點(diǎn)，靈活運(yùn)用三角公式解決一些實(shí)際問題（三） 情感與態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、解決問題的能

14、力教學(xué)重點(diǎn)和、差、倍角公式的靈活應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)如何靈活應(yīng)用和、差、倍角公式的進(jìn)行三角式化簡(jiǎn)、求值、證明教學(xué)過程例1：教材P141面例4例1. 如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記COPa，求當(dāng)角a取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.例2：把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面的面積最大？（分別設(shè)邊與角為自變量）解：（1）如圖，設(shè)矩形長(zhǎng)為l，則面積，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最大值，此時(shí)S取得最大值，矩形的寬為即長(zhǎng)、寬相等，矩形為圓內(nèi)接正方形.（2）設(shè)角為自變量，設(shè)對(duì)角線與一條邊的夾角為，矩形長(zhǎng)與寬分別為

15、、，所以面積.而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，S取最大值，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)， S取最大值，此時(shí)矩形為內(nèi)接正方形.變式：已知半徑為1的半圓，PQRS是半圓的內(nèi)接矩形如圖，問P點(diǎn)在什么位置時(shí)，矩形的面積最大，并求最大面積時(shí)的值PQRSO解：設(shè)則故S四邊形PQRS故為時(shí)，課堂小結(jié) 建立函數(shù)模型利用三角恒等變換解決實(shí)際問題.課后作業(yè) 1. 閱讀教材P.139到P.142; 2. 習(xí)案作業(yè)三十五.第一章三角函數(shù)復(fù)習(xí)(一)教學(xué)目的【過程與方法】一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：二、知識(shí)要點(diǎn)：1. 角的概念的推廣：(1) 正角、負(fù)角、零角的概念：(2) 終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合： 象限角的集合：

16、第一象限角集合為： ；第二象限角集合為： ；第三象限角集合為： ；第四象限角集合為： ； 軸線角的集合：終邊在x軸非負(fù)半軸角的集合為： ；終邊在x軸非正半軸角的集合為： ；故終邊在x軸上角的集合為： ；終邊在y軸非負(fù)半軸角的集合為： ；終邊在y軸非正半軸角的集合為： ；故終邊在y軸上角的集合為： ；終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為： .2. 弧度制：我們規(guī)定，長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制. 在弧度制下，1弧度記做1rad. (1) 角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換： 將角度化為弧度： 將弧度化為角度： (2) 把上述象限角和軸線角用弧度表示.(3) 上述象限角和軸

17、線角用弧度表示：3. 任意角的三角函數(shù)： (2) 判斷各三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：(3) 三角函數(shù)線：4. 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式： (1) 平方關(guān)系： (2) 商數(shù)關(guān)系：5. 誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式(一)誘導(dǎo)公式(二)誘導(dǎo)公式(三)誘導(dǎo)公式(四)sin(pa)=sina cos(p a)=cosa tan (pa)=tana誘導(dǎo)公式(五)對(duì)于五組誘導(dǎo)公式的理解 ：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限3. 利用誘導(dǎo)公式將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的基本步驟：三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：四、典型例題： 例3. 五、課堂小結(jié)1. 任意角的三角函數(shù)；2. 同角三角函數(shù)的關(guān)系；3. 誘導(dǎo)公式.六、課后作業(yè)1. 閱讀教材P.67-P

18、.68；2. 習(xí)案作業(yè)十六中1至6題. 第二章 平面向量復(fù)習(xí)課（一）一、教學(xué)目標(biāo)1. 理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四邊形法則（共起點(diǎn)）和三角形法則（首尾相接）。4. 了解向量形式的三角形不等式：|-|±|+|(試問：取等號(hào)的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(|+|)=|+|+|.5. 了解實(shí)數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）：6. 向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法7. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算（加.減.實(shí)數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積）8. 數(shù)量積（點(diǎn)乘或內(nèi)積）的概念，·=|cos=

19、xx+yy注意區(qū)別“實(shí)數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”二、知識(shí)與方法向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視. 數(shù)量積的主要應(yīng)用：求模長(zhǎng)；求夾角；判垂直三、教學(xué)過程（一）重點(diǎn)知識(shí)： 1. 實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：2. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律: 3. 向量運(yùn)算及平行與垂直的判定:則 4. 兩點(diǎn)間的距離: 5. 夾角公式:6. 求模： （二）習(xí)題講解：習(xí)案P167 面2題，P168面6題，P169面1題，P170面5、6題， P171面1

20、、2、3題，P172面5題，P173面6題。（三）典型例題例1 已知O為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，AOB=150°，BOC=90°，設(shè)=，=，=，且|=2，|=1，| |=3，用與表示 解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系xoy，其中, 是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= , =， =-3所以-3=3+|即=33（四）基礎(chǔ)練習(xí)：習(xí)案P178面6題、P180面3題。 （五）、小結(jié)：掌握向量的相關(guān)知識(shí)。（六）作業(yè)：習(xí)案作業(yè)

21、二十七。第二章 平面向量復(fù)習(xí)課（二）一、教學(xué)過程（一）習(xí)題講解：習(xí)案P173面6題。（二）典型例題例1已知圓C：及點(diǎn)A（1，1），M是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段MA的延長(zhǎng)線上，且，求點(diǎn)N的軌跡方程。練習(xí)：1. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=· （x，yR） 求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；2. 已知常數(shù)a>0，向量，經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a）以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)B（0，a）以為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中.求點(diǎn)P的軌跡C的方程；例2.設(shè)平面內(nèi)的向量, , ，點(diǎn)P是直線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)取最小值時(shí)，的坐標(biāo)及ÐAPB的余弦值解 設(shè)

22、 點(diǎn)P在直線OM上， 與共線，而， x2y=0即x=2y，有 ， = 5y220y+12= 5(y2)28 從而，當(dāng)且僅當(dāng)y=2，x=4時(shí)，取得最小值8，此時(shí)，于是， 小結(jié)：利用平面向量求點(diǎn)的軌跡及最值。作業(yè)：習(xí)案作業(yè)二十八。第三章 三角恒等變換復(fù)習(xí)（一）教學(xué)目標(biāo)：1. 通過對(duì)本章的知識(shí)的復(fù)習(xí)、總結(jié)，使學(xué)生對(duì)本章形成一個(gè)知識(shí)框架網(wǎng)絡(luò).2. 能靈活運(yùn)用公式進(jìn)行求值、證明恒等式.教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用公式求值、證明恒等式.教學(xué)難點(diǎn)：證明恒等式教學(xué)過程一、基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)（略）二、作業(yè)講評(píng)習(xí)案作業(yè)三十五中的第5、6題.三、已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值四、證明恒等式五、課堂小結(jié)1. 給值求角時(shí)，先要求所求角的某一三角函數(shù)值，