復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的乘冪與方根PPT學習教案

1、會計學1復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的乘冪與方根解:sinRecoscos333i 333)sin(cossincosii kkkkic 3303)sin()(cos)sinsincos(sincoscos322333 i2333sincoscoscos 65312)(ii ）（計算：例解:21 ikiArg241 )(421iei 51)(i 52)( 45ie23 ikiArg263 )(623iei 63)(i 6662ie 第1頁/共32頁6531)(ii ）（66645522iiee)( 6522)( )(6645 ie4281ie 1.2.3 1.2.3 復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)的方

2、根( (乘冪的逆運算乘冪的逆運算) )次方根，的為的復(fù)數(shù)稱滿足方程nzwnwzwn),(20 。或記作nnzz1 sincos ,sincosiwirz 設(shè))sin(cosninwnn 則sinsin,coscosrnrnnn sinsin,coscos, nnrn第2頁/共32頁,2, 1,0,2kkn)sin(cosnkinkrzwnn22 ,102 knk)sin(cos00ninrwkn)2sin2(cos, 11ninrwkn)(sin)(cos,nninnrwnknn121211 )sin(cos,nninnrwnknn22 0122wninw)sin(cos 0w 2122 nn

3、wninw)sin(cos第3頁/共32頁1, 1 ,),2sin2(cosnoknkinkrznn個。次方根共有的）復(fù)數(shù)（nnz1注注: :個頂點。邊形的為半徑的圓內(nèi)接正，個值就在以原點為圓心的幾何意義：nnrnznn)(2413i 計算：例解解: :因為)sin(cos4421ii 所以41i 82 )sin(cos424424kik ),(3210 k第4頁/共32頁即)sin(cos1616280iw )sin(cos169169281iw )sin(cos16171617282iw )sin(cos16251625283iw 四個根是內(nèi)接于中心在原點,半徑為21/8的圓的正方形的四個

4、頂點.820w2w1w3wxyi 1第5頁/共32頁1.3 1.3 平面點集平面點集 平面上以 z0為中心, d (任意的正數(shù))為半徑的圓: |zz0|d 內(nèi)部的點的集合稱為z0的鄰域鄰域, 而稱由不等式 0|zz0|d 所確定的點集為z0的去心鄰去心鄰域域.1.3.1 區(qū)域 設(shè)G為一平面點集, z0為G中任意一點. 如果存在z0的一個鄰域, 該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G, 則稱z0為G的內(nèi)點內(nèi)點. 如果G內(nèi)的每個點都是它的內(nèi)點, 則稱G為開集開集 平面點集D稱為一個區(qū)域區(qū)域, 如果它滿足下列兩個條件:1) D是一個開集;2) D是連通連通的。就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D 的一條折線連接起

5、來.第6頁/共32頁例4:201rzzr 圓環(huán)：0z1r2r0zr區(qū)域不是區(qū)域(不是開集)rzz 0|121 zzzzS點集不是區(qū)域(不連通)1z2z第7頁/共32頁 如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面, 即存在正數(shù) M,使區(qū)域 D的每個點z都滿足 |z|M第8頁/共32頁1.3.2 1.3.2 曲線曲線 在數(shù)學上, 經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線. 如果x(t)和y(t)是兩個連續(xù)的實變函數(shù), 則方程組x=x(t), y=y(t), (atb)代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)則此曲線可用一個方程z=z(t)(atb)來代表. 這就是平面

6、曲線的復(fù)數(shù)表示式.1.簡單曲線,簡單閉曲線第9頁/共32頁 設(shè)C: z=z(t) (atb)為一條連續(xù)曲線, z(a)與z(b)分別為C的起點與終點. 對于滿足 at1b, at2b 的 t1與 t2, 當 t1t2而有 z(t1)=z(t2) 時, 點 z(t1)稱為曲線 C的重點. 沒有重點的連續(xù)曲線 C, 稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線. 如果簡單曲線 C的起點與終點閉合, 即 z(a)=z(b) , 則曲線 C 稱為簡單閉曲線簡單閉曲線.)()(bzaz 簡單,閉)(az)(bz簡單,不閉)(az)(bz非簡單,不閉)()(bzaz 非簡單,閉第10頁/共32頁2.光滑曲線,

7、逐段光滑曲線的方程為設(shè)曲線C)(),()()(btatiytxtz 為光滑曲線。曲線連續(xù)且不全為零，則稱上，若在區(qū)間Ctytxa,b)( ),( 由幾段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線.同時為零，則假設(shè))( ),( tytx不存在導(dǎo)數(shù)（斜率）)( )( txtydxdy 第11頁/共32頁1.3.3 1.3.3 單連通區(qū)域單連通區(qū)域, ,多連通區(qū)域多連通區(qū)域為單連通區(qū)域；，則稱區(qū)域的部分總屬于閉曲線，而曲線所圍成內(nèi)任作一條簡單是平面上一區(qū)域，若在定義：設(shè)DDDD域）。多連通區(qū)域（復(fù)連通區(qū)不是單連通的區(qū)域稱為單連通域多連通域(一個整體)(帶有裂痕,漏洞)第12頁/共32頁1.4 1.4 復(fù)

8、變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1.4.1復(fù)變函數(shù)的概念(實變函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的推廣)是給定的復(fù)數(shù)集，設(shè)DwzDf復(fù)數(shù) ).(Dzfwf 上的復(fù)變函數(shù)，記作為定義在則稱單值函數(shù),多值函數(shù)5例3zw 定義在整個復(fù)平面上的多值函數(shù)zw arg 定義在除原點外整個復(fù)平面上的單值函數(shù)上的復(fù)變函數(shù)是定義在設(shè)Dzfw)( ivuwiyxz ,來確定的取值由則yxvu, ),(),(yxvvyxuu第13頁/共32頁),(),()(yxivyxuzfw )(zfw 復(fù)變函數(shù)一一對應(yīng) ),(),(yxvvyxuu二元實變函數(shù)對6例2zw 考察函數(shù)ivuwiyxz ,令則xyiyxiyxivu2222 )(對所對應(yīng)的二元實變函數(shù)

9、函數(shù))(zfw xyvyxu222 ,7例兩類常見的復(fù)變函數(shù)nnzazazaazPn 2210)(次多項式函數(shù)為非負整數(shù)為復(fù)常數(shù)，其中，naaaaann)(,0210 )()(zQzP有理函數(shù)為多項式函數(shù)。其中，)(),(zQzP第14頁/共32頁1.4.2 1.4.2 復(fù)變函數(shù)的幾何解釋復(fù)變函數(shù)的幾何解釋映照映照vuyxzfw,)(個變量涉及復(fù)變函數(shù)4 述函數(shù)的圖像。我們需要兩個平面去描平面。平面與稱為我們?nèi)蓚€平面，分別wz,D)(0zzfwz 內(nèi)取一點的定義域平面上函數(shù)如果在 對應(yīng)。平面上有相應(yīng)的點在通過0wwzfw)( 與之對應(yīng)。平面上有相應(yīng)的點集時，取遍點集當GwDz幾何意義:）。之

10、間的一種變換（映照點集平面上到平面上點集看作是復(fù)變函數(shù)GwDzzfw)( 平面z平面w0z0wDG)(zfw xyvu第15頁/共32頁設(shè)函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 有 u = x2y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz 1231341wwiw Im0Re01zyzxz22Im201wxywuv第16頁/共32頁1.5 1.5 初等函數(shù)初等函數(shù)介紹幾種常見的復(fù)變函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù)1.5.1 指數(shù)函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍的推廣是實指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)xzee)(1的一些性質(zhì)。保留許多實指數(shù)函數(shù)xe)(2x

11、e實指數(shù)函數(shù)ze復(fù)指數(shù)函數(shù)xzeexz ,時當2121xxxxeee 2121zzzzeee xxedxde zzedzde 第17頁/共32頁,iyxz 設(shè)iyxzee 則2121zzzzeee iyzxz 21,若iyxiyxzeeee iyiyeiydde )(iyz 若zzedzde iyiyieydde )()()(iyiyiedyddyed 22iyiyeedydi )(,)(iyeyg 設(shè))()(ygygdyd 22滿足的微分方程得到 g(y)第18頁/共32頁為常數(shù)BAyByAyg,sincos)( 求得根據(jù)初始條件1000 eegi)(00sincosBA iiedydedy

12、dgyiyyiyy 000| )(|00cossinBA iBA , 1yiyeiysincos (歐拉公式)sin(cosyiyeeeeexiyxiyxz 復(fù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì):xzee )(1),()(102 kkyeArgz21212zzzzeee )(zzedzde 第19頁/共32頁ikze23 )()sin()cos(kyikyex22 ze 為周期以周期性：ikez2第20頁/共32頁振蕩電路系統(tǒng)應(yīng)用電源sVwtVscos 電源交流電dtdILVIdtdVCRIVllccrr )Re(iwte第21頁/共32頁此電路系統(tǒng)滿足疊加原則.電源電流)(tV1)(tI1)(tV2)(tI2)(

13、)(tVtV21 )()(tItI21 )(tV復(fù)數(shù)形式)(tI)(RetV)(RetI當電路系統(tǒng)穩(wěn)定后,電路中的電壓,電流變化的頻率2w 最終與電源頻率相一致.為常數(shù)。流都具有形式各元件對應(yīng)的電壓，電kkeiwt,對應(yīng)的電流即可。只要計算電源iwte第22頁/共32頁ccIdtdVC 電容:ciwtcIdtekdC )(ccIiwCV 對應(yīng)的等效電阻為iwCRc1 電感:dtdILVll lliwLIV 對應(yīng)的等效電阻為iwLRl 整個電路的總電阻為:iwLiwCRiwCRReff 1ReseffiwtReI 要計算的電流：第23頁/共32頁1.5.2 對數(shù)函數(shù)定義： :(0),wwez z

14、若 滿足,wuiv記：izreu ivuiviee erelnlnarg2uerurzvArgzzklnarg2wLnzzizklnarg2ln2zizi kzk i 多值性多值性lnlnargzziz-主值主值例如：iki2) 1arg(1ln) 1(Lnik) 12()(0 zzLnw則第24頁/共32頁性質(zhì): 01201xzkixxzxzLn)(lnln)( 00 xzixxzxzlnlnlnikzeLnzezzLn22 ;)(證明:kizizikzizzLneeee22 arglnarglnziezarg z zzzeiArgeeLn ln)()ln(kyiex2 kizkiiyx22 21213zLnzLnzzLn )()(2121zLnzLnzzLn )(第25頁/共32頁1.5.3 1.5.3 冪函數(shù)冪函數(shù)定義:zLnezw 為除去零以外的復(fù)數(shù)為復(fù)常數(shù)，其中，zxxxeelnln 為z的冪函數(shù).性質(zhì)：時，當n )arg(lnkiziznznLnneez2 zinnzinznezeeargargln 單值函數(shù)時，當n1 1arg21zkinnnnzzez.n值函數(shù)互為質(zhì)數(shù)），時當nmnm,( mnmnzz.n值函數(shù)zezLn)2arg(lnikzizeikzizeee2argln為無