初三數(shù)學圓知識點總結(2)

1、.初三數(shù)學圓知識點總結一、本章知識框架二、本章重點1圓的定義：(1) 線段 OA繞著它的一個端點 O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點 A 所形成的封閉曲線，叫做圓(2) 圓是到定點的距離等于定長的點的集合2判定一個點 P 是否在 O上設 O的半徑為 R，OP d，則有d>r點 P在O 外；dr點 P 在 O 上；d<r點 P在O 內(nèi)3與圓有關的角(1) 圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)(2) 圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對

2、的弧相等 90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角(3) 弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半4圓的性質(zhì)：;.(1) 旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等(2) 軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)

3、過圓心的任一直線都是它的對稱軸垂徑定理及推論：(1) 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧(2) 平分弦 ( 不是直徑 ) 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧(3) 弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧(4) 平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦(5) 平行弦夾的弧相等5三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1) 三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I ”表示(2) 三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角

4、三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示(3) 三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的 2 倍，通常用 G表示(4) 垂心：是三角形三邊高線的交點6切線的判定、性質(zhì)：(1) 切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線到圓心的距離 d 等于圓的半徑的直線是圓的切線(2) 切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心(3) 切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長(4) 切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相

5、等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角7圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1) 四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角(2) 各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等8直線和圓的位置關系：設 O 半徑為 R，點 O到直線 l 的距離為 d(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R(2)直線和 O有唯一公共點直線 l 和 O相切d R(3)直線 l 和 O 有兩個公共點直線 l和 O 相交 d<R9圓和圓的位置關系：設的半徑為 R、r(R>r) ，圓心距;.(1)沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離d>

6、Rr (2)沒有公共點，且的每一個點都在外部內(nèi)含 d<R r(3)有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切dRr (4)有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內(nèi)部內(nèi)切dRr (5)有兩個公共點相交R r<d<Rr 10兩圓的性質(zhì)：(1) 兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線(2) 相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點11圓中有關計算：圓的面積公式：，周長 C 2R圓心角為 n°、半徑為 R 的弧長圓心角為 n°，半徑為 R，弧長為 l 的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算圓柱的側面圖是一個

7、矩形， 底面半徑為 R，母線長為 l 的圓柱的體積為，側面積為 2 Rl ，全面積為圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為 l ，高為 h 的圓錐的側面積為 Rl ，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有【經(jīng)典例題精講】例 1 如圖 23-2 ，已知 AB為O直徑， C為上一點， CDAB于 D， OCD的平分線 CP交 O于 P，試判斷 P 點位置是否隨C點位置改變而改變？;.分析：要確定 P 點位置，我們可采用嘗試的辦法， 在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察P 點位置的變化，然后從中觀察規(guī)律解：連結 OP，P 點為中點小結：此題運用垂徑定理進行推斷例 2 下列命題正確的是

8、( ) A相等的圓周角對的弧相等B等弧所對的弦相等C三點確定一個圓D平分弦的直徑垂直于弦解：A在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以 A 不正確B等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此 B 正確C三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓D平分弦 ( 不是直徑 ) 的直徑垂直于此弦故選 B例 3 四邊形 ABCD內(nèi)接于 O， A B C123，求 D分析：圓內(nèi)接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等解：設 Ax， B2x， C3x，則 D A C B2xx2x3x 2x360°，x45° D90°小結：此題可變形為：四邊形 ABCD外切于 O，周長為 2

9、0，且 ABBC CD1 2 3，求 AD的長例 4 為了測量一個圓柱形鐵環(huán)的半徑， 某同學采用如下方法： 將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為 30°的三角板和一個刻度尺，用如圖 23-4 所示方法得到相關數(shù)據(jù)，進而可以求得鐵環(huán)半徑若測得 PA5cm，則鐵環(huán)的半徑是_cm分析：測量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識進;.行合作解決，即過 P 點作直線 OP PA，再用三角板畫一個頂點為 A、一邊為 AP、大小為 60°的角，這個角的另一邊與 OP的交點即為圓心 O，再用三角函數(shù)知識求解解：小結：應用圓的知識解決實際問題，應將實際問

10、題變成數(shù)學問題，建立數(shù)學模型例 5已知相交于 A、B 兩點，的半徑是 10，的半徑是 17，公共弦 AB 16，求兩圓的圓心距解：分兩種情況討論：(1) 若位于 AB的兩側 ( 如圖 23-8) ，設與 AB交于 C，連結，則垂直平分 AB，又 AB 16 AC8在中，在中，故(2) 若位于 AB的同側 ( 如圖 23-9) ，設的延長線與 AB交于 C，連結垂直平分 AB，又 AB 16， AC8在中，在中，故;.注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題三、相關定理：1. 相交弦定理圓內(nèi)的兩條

11、相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）說明 ：幾何語言：若弦 AB、CD交于點 P，則 PA·PB=PC·PD（相交弦定理）例 1 已知 P 為 O內(nèi)一點， O半徑為，過P 任作一弦 AB，設，則關于的函數(shù)關系式為。解：由相交弦定理得，即，其中2. 切割線定理推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項說明：幾何語言：若AB是直徑， CD垂直 AB于點 P，則 PC2=PA·PB例 2 已知 PT切 O于 T，PBA為割線，交 OC于 D， CT為直徑，若 OC=BD=4cm，

12、AD=3cm，求 PB長。解：設 TD= ，BP= ，由相交弦定理得：即，（舍）由切割線定理，由勾股定理，四、輔助線總結1.圓中常見的輔助線1）作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等2）作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關系進行證明3）作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算4）作弦構造同弧或等弧所對的圓周角5) 作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角直角6) 遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角7) 遇到切線，作過切點的半徑，構造直角8) 欲證直線為圓的切線時，分兩種情況： (1) 若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；

13、 (2) 不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑;.9) 遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點10) 遇到三角形的內(nèi)心，常作： (1) 內(nèi)心到三邊的垂線； (2) 連結內(nèi)心和三角形的頂點11) 遇相交兩圓，常作： (1) 公共弦； (2) 連心線12) 遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線13) 求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊2、圓中較特殊的輔助線1) 過圓外一點或圓上一點作圓的切線2) 將割線、相交弦補充完整3) 作輔助圓例 1 如圖 23-10 ， AB是 O的直徑，弦 CD AB，垂足為 E，如果 AB

14、10， CD8，那么 AE的長為 ( )A2B3C4D5分析：連結 OC，由 AB是 O的直徑，弦 CDAB知 CDDE設AEx，則在 Rt CEO中，即，則，(舍去)答案： A例 2 如圖 23-11 ， CA為 O的切線，切點為 A，點 B 在 O 上，如果 CAB55°，那么 AOB等于 ( )A35°B90°C110°D120°分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關系可以知道 AOB 2 BAC2×55° 110°答案： C例 3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為 5cm，那么側面積等于 ()ABCD分

15、析：圓柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即答案： B例 4 如圖 23-12 ，在半徑為 4 的 O中，AB、CD是兩條直徑， M為 OB的中點，延長 CM交 O于 E，且 EM>MC，連結 OE、 DE，求： EM的長;.簡析：(1) 由 DC是 O的直徑，知 DEEC，于是設 EMx，則 AM· MBx(7 x) ，即所以而 EM>MC，即 EM 4例 5 如圖 23-13 ，AB是 O的直徑， PB切 O于點 B， PA交 O于點 C， PF分別交 AB、BC于