初中幾何輔助線(xiàn)技巧秘籍

1、初中幾何輔助線(xiàn)技巧大全一 初中幾何常見(jiàn)輔助線(xiàn)口訣人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線(xiàn)。輔助線(xiàn)，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，常向兩端把線(xiàn)連。線(xiàn)段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線(xiàn)段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線(xiàn)。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相

2、似，比線(xiàn)段，添線(xiàn)平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線(xiàn)段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線(xiàn)，比例中項(xiàng)一大片。圓形半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線(xiàn)，切點(diǎn)圓心半徑連。切線(xiàn)長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線(xiàn)，半徑垂線(xiàn)仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線(xiàn)弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線(xiàn)。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線(xiàn)夢(mèng)圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線(xiàn)。若是添上連心線(xiàn)，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。注意點(diǎn)輔助線(xiàn)，是虛線(xiàn)，畫(huà)圖

3、注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。精選文庫(kù)切勿盲目亂添線(xiàn)，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線(xiàn)。二 由角平分線(xiàn)想到的輔助線(xiàn)口訣：圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。角平分線(xiàn)具有兩條性質(zhì)： a、對(duì)稱(chēng)性； b、角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線(xiàn)的輔助線(xiàn)的作法，一般有兩種。從角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)；利用角平分線(xiàn)，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下， 出現(xiàn)

4、了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線(xiàn)； 其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線(xiàn)EA（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與ODC猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能FB圖1-1掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。 下面就幾何中常見(jiàn)的定理所涉及到的輔助線(xiàn)作以介紹。如圖 1-1 ，AOC=BOC，如取 OE=OF，并連接 DE、DF，則有 OED OFD，從而為我們證明線(xiàn)段、角相等創(chuàng)造了條件。A例1如圖 1-2 ，AB/CD， BE平分 BCD，ECE平分 BCD，點(diǎn) E 在 AD上，求證：

5、BC=AB+CD。BF圖1-2DC-2精選文庫(kù)分析：此題中就涉及到角平分線(xiàn)， 可以利用角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形， 即利用解平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形， 同時(shí)此題也是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題， 在證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明， 延長(zhǎng)短的線(xiàn)段或在長(zhǎng)的線(xiàn)段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線(xiàn)段。 但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線(xiàn)段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線(xiàn)段與某條線(xiàn)段相等，截取要證明截取后剩下的線(xiàn)段與某條線(xiàn)段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線(xiàn)段BC上截取 BF=AB，再證明 CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。 此題

6、的證明也可以延長(zhǎng)BE與 CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。例2已知：如圖 1-3 ，AB=2AC， BAD=CAD，DA=DB，求證 DCAC分析：此題還是利用角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線(xiàn)段相等。其它問(wèn)題自已證明。ACEDB圖 1-3例3已知：如圖 1-4 ，在 ABC中， C=2 B,AD 平分 BAC，求證： AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線(xiàn)， 在證明A中還要用到構(gòu)造全等三角形， 此題還是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題。 用到的是截取法來(lái)證明的， 在長(zhǎng)的E線(xiàn)段上截取短的線(xiàn)段， 來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？BCD練習(xí)圖 1-41已知在 ABC中， A

7、D平分 BAC， B=2C，求證： AB+BD=AC2已知：在 ABC中， CAB=2B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC，求證： AE=2CE-3精選文庫(kù)3已知：在 ABC中， AB>AC,AD為 BAC的平分線(xiàn)， M為 AD上任一點(diǎn)。求證： BM-CM>AB-AC4已知： D是 ABC的 BAC的外角的平分線(xiàn)AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證： BD+CD>AB+AC。（二）、角分線(xiàn)上點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)構(gòu)全等過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。A例1 如圖 2-1 ，已知 AB>AD, BAC= FAC,CD

8、=BC。求證： ADC+B=180分析：可由 C 向 BAD的兩邊作垂線(xiàn)。近而證 ADCDEF與 B 之和為平角。BC圖 2-1例2 如圖 2-2 ，在 ABC中， A=90，AB=AC， ABD= CBD。求證： BC=AB+ADA分析：過(guò) D 作 DEBC于 E，則 AD=DE=CE，則構(gòu)造出D全等三角形，從而得證。此題是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題，BC從中利用了相當(dāng)于截取的方法。E圖2-2例3 已知如圖 2-3 ， ABC的角平分線(xiàn)BM、CN相交于點(diǎn) P。求證： BAC的平分線(xiàn)也經(jīng)過(guò)點(diǎn) P。A分析：連接 AP，證 AP平分 BAC即可，也就是證 P 到 AB、AC的距離相等。NMDPFBC圖

9、 2-3練習(xí)：1如圖 2-4 AOP=BOP=15 ， PC/OA，PDOBA，如果 PC=4，則 PD=（）CPOAD圖2-4-4精選文庫(kù)A4B3C2D12已知在 ABC中， C=90， AD平分 CAB，CD=1.5,DB=2.5. 求 AC。3已知：如圖 2-5,BAC=CAD,AB>AD，CEAB，1AAE=2 （ AB+AD）. 求證： D+ B=180。D4. 已知：如圖 2-6, 在正方形 ABCD中， E 為 CD 的中點(diǎn)，ECBF為 BC上的點(diǎn)， FAE=DAE。求證： AF=AD+CF。5 已知：如圖 2-7 ，在 Rt ABC中， ACB=90 E 平分 CAB交

10、CD于 F，過(guò) F 作 FH/AB 交 BC于 H。求證圖 2-5,CDAB，垂足為 D，A CF=BH。ADEB圖2-6FCCEFHADB圖 2-7（三）：作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線(xiàn)又成為底邊上的中線(xiàn)和高，以利用中位線(xiàn)的性質(zhì)與等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線(xiàn)的線(xiàn)段，則延長(zhǎng)該線(xiàn)段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1 ， BAD=DAC，AB>AC,CDAD于 D，H 是 BC中點(diǎn)。1（AB-AC）A求證： DH=2分析：延長(zhǎng) CD交 AB于點(diǎn) E，

11、則可得全等三角形。問(wèn)題可證。DCEBH例2 已知：如圖 3-2 ， AB=AC， BAC=90 ，AD為 A圖示 3-1 FABC的平分線(xiàn)， CEBE.求證： BD=2CE。DEBC圖3-2-5精選文庫(kù)分析：給出了角平分線(xiàn)給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)， 可延長(zhǎng)此垂線(xiàn)與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例 3已知：如圖 3-3 在 ABC中， AD、AE分別 BAC的內(nèi)、外角平分線(xiàn)，過(guò)頂點(diǎn) B 作 BFAD，交 AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于 F，連結(jié) FC并延長(zhǎng)A交AE于M。M求證： AM=ME。BDCE分析：由 AD、AE 是 BAC內(nèi)外角平分線(xiàn)，可得EAFN圖3-3 AF，從而有 BF/AE，所以想

12、到利用比例線(xiàn)段證相等。例4 已知：如圖3-4 ，在 ABC中， AD 平分 BAC， AD=AB，CM AD 交 AD1延長(zhǎng)線(xiàn)于 M。求證： AM= （AB+AC）2分析：題設(shè)中給出了角平分線(xiàn)AD，自然想到以 AD為軸作對(duì)稱(chēng)變換，作 AB1D 關(guān)于 AD的對(duì)稱(chēng) AED，然后只需證DM= EC，另外21由求證的結(jié)果AM= （AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可2AEF嘗試作 ACM關(guān)于 CM的對(duì)稱(chēng) FCM，然后只需證 DF=C BDnCF 即可。圖 3-4M練習(xí)：1已知：在 ABC中， AB=5， AC=3， D 是 BC中點(diǎn)， AE 是 BAC的平分線(xiàn)，且 CEAE于 E，連接 DE，求

13、 DE。2已知 BE、BF 分別是 ABC的 ABC的內(nèi)角與外角的平分線(xiàn)， AFBF于 F，AE BE于 E，連接 EF分別交 AB、AC于 M、 N，求證 MN=1 BC2（四）、以角分線(xiàn)上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線(xiàn)有角平分線(xiàn)時(shí)， 常過(guò)角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線(xiàn)，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線(xiàn)的平行線(xiàn)與另外一邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1 和圖 4-2 所示。-6精選文庫(kù)CAHDIFEBCGAB圖4-2圖4-1例 4 如圖， AB>AC, 1=2，求證： ABAC>BDCD。CA1D2B例 5 如圖， BC>BA，BD平分 ABC

14、，且 AD=CD，求證： A+C=180。ABDC例 6 如圖， ABCD， AE、DE分別平分 BAD各 ADE，求證： AD=AB+CD。DCEAB練習(xí)：1. 已知，如圖， C=2A，AC=2BC。求證： ABC是直角三角形。-7A精選文庫(kù)CB2已知：如圖， AB=2AC， 1=2，DA=DB，求證： DCACA1 2CBD3已知 CE、AD是 ABC的角平分線(xiàn)， B=60°，求證： AC=AE+CDAEBDC4已知：如圖在 ABC中， A=90°，AB=AC，BD是 ABC的平分線(xiàn)，求證：BC=AB+ADADBC三 由線(xiàn)段和差想到的輔助線(xiàn)口訣：線(xiàn)段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短

15、可試驗(yàn)。線(xiàn)段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線(xiàn)段等于另兩條線(xiàn)段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：-8精選文庫(kù)1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線(xiàn)段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線(xiàn)段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線(xiàn)段，然后證明新線(xiàn)段等于長(zhǎng)線(xiàn)段。對(duì)于證明有關(guān)線(xiàn)段和差的不等式， 通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線(xiàn)段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、已知如圖 1-1：D、E 為 AB

16、C 內(nèi)兩點(diǎn) ,求證 :AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）A將 DE 兩邊延長(zhǎng)分別交 AB、AC 于 M 、N，在AMN 中， AM+AN>MD+DE+NE;（ 1）MDE N在BDM 中， MB+MD>BD ；（2 ）BC圖11在CEN 中， CN+NE>CE ；（3 ）由（ 1）+ （2）+ （3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CEAB+AC>BD+DE+ECA（法二：圖 1-2）GF延長(zhǎng) BD 交 AC 于 F，廷長(zhǎng) CE 交 BF 于 G，在ABFDEB圖1C和GFC 和GDE 中有：2AB+AF>BD

17、+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊） （ 1）GF+FC>GE+CE （同上）（2 ）ADG+GE>DE （同上）（3 ）GED由（ 1）+ （2）+ （3）得：BFC-圖219精選文庫(kù)AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊， 構(gòu)造三角形， 使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1：已知 D 為 ABC 內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：BDC> BAC。分析： 因

18、為 BDC 與 BAC 不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造新的三角形，使 BDC 處于在外角的位置， BAC 處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng) BD 交 AC 于點(diǎn) E，這時(shí)BDC 是EDC 的外角，BDC> DEC，同理DEC> BAC ，BDC> BAC證法二：連接 AD ，并廷長(zhǎng)交 BC 于 F，這時(shí)BDF 是ABD 的外角，BDF> BAD ，同理，CDF> CAD ，BDF+CDF> BAD+ CAD ，即：BDC> BAC 。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)

19、角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線(xiàn)時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，如：A例如：如圖：已知AD為ABC的中線(xiàn)，且1=3-1N 2,3= 4,求證： BE+CF>EF 。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定EF理證明，須把 BE，CF，EF 移到同一個(gè)三角形中，而由1 2 34BDC已知 1=2，圖313=4，可在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF 移到同個(gè)三角形中。證明：在 DN 上截取 DN=DB ，連接 NE，NF ，則 DN=DC ，-10精選文庫(kù)在DBE 和NDE 中：DN=DB （輔助線(xiàn)作法）1

20、= 2（已知）ED=ED （公共邊）DBENDE （ SAS）BE=NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得： CF=NF在EFN 中 EN+FN>EF （三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF 。注意：當(dāng)證題有角平分線(xiàn)時(shí)， ?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、 截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線(xiàn)。例如：已知如圖6-1 ：在 ABC中， AB>AC， 1=2，P為 AD上任一點(diǎn)求證： AB-AC>PB-PC。分析： 要證： AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線(xiàn)段之差，故用兩邊之差小于第三

21、邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在 AB上截取 AN等于 AC，得 AB-AC=BN，再連接 PN，則 PC=PN，又在 PNB中，PB-PN<BN，即： AB-AC>PB-PC。證明：（截長(zhǎng)法）在 AB 上截取 AN=AC 連接 PN, 在APN 和APC 中AN=AC （輔助線(xiàn)作法）-11精選文庫(kù)1= 2（已知）AP=AP （公共邊）APN APC（SAS）,PC=PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在BPN 中，有 PB-PN<BN （三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PC<AB-AC證明：（補(bǔ)短法）A1 2延長(zhǎng) AC 至 M ，使 AM=AB ，連接 PM ，PN

22、C在ABP 和AMP 中DMB圖 6 1AB=AM （輔助線(xiàn)作法）1= 2（已知）AP=AP （公共邊）ABPAMP （SAS）PB=PM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又在PCM 中有： CM>PM-PC( 三角形兩邊之差小于第三邊)AB-AC>PB-PC 。例 1如圖， AC平分 BAD，CEAB，且 B+D=180°，求證： AE=AD+BE。ADECB例 2 如圖，在四邊形 ABCD中， AC平分 BAD，CEAB于 E，AD+AB=2AE，求證： ADC+B=180oDC-12AEB精選文庫(kù)例 3 已知：如圖，等腰三角形ABC中， AB=AC，A=108°，

23、 BD平分 ABC。求證： BC=AB+DC。ADBC例 4 如圖，已知 RtABC中， ACB=90°， AD是 CAB的平分線(xiàn)， DMAB1A于 M，且 AM=MB。求證： CD=2 DB。MCDB1如圖， ABCD，AE、 DE分別平分 BAD各 ADE，求證： AD=AB+CD。DCEAB2. 如圖， ABC中， BAC=90°， AB=AC，AE 是過(guò) A 的一條直線(xiàn)，且 B，C在 AE的異側(cè)，BD AE于 D，CEAE于 E。求證： BD=DE+CE四 由中點(diǎn)想到的輔助線(xiàn)口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。-13精選文庫(kù)在三角形

24、中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線(xiàn)、中位線(xiàn)、加倍延長(zhǎng)中線(xiàn)及其相關(guān)性質(zhì) （直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)、等腰三角形底邊中線(xiàn)性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（一）、中線(xiàn)把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖 1，AD是ABC的中線(xiàn)，則 S ABD=S ACD=S ABC（因?yàn)锳BD與ACD是等底同高的）。例 1如圖 2， ABC中， AD是中線(xiàn)，延長(zhǎng) AD到 E，使 DE=AD，DF是 DCE的中線(xiàn)。已知ABC的面積為 2，求：CDF的面積。解：因?yàn)?AD是ABC的中線(xiàn)，所以 S ACD=S ABC=×2=1，又因 CD是ACE 的中線(xiàn)，故 S

25、 CDE=S ACD=1，因 DF是CDE的中線(xiàn)，所以 S CDF=S CDE=×1=。 CDF的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線(xiàn)例 2如圖 3，在四邊形 ABCD中，AB=CD，E、F 分別是 BC、AD的中點(diǎn)， BA、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交 EF的延長(zhǎng)線(xiàn) G、 H。求證： BGE= CHE。證明：連結(jié) BD，并取 BD的中點(diǎn)為 M，連結(jié) ME、MF，ME是BCD的中位線(xiàn)，MECD， MEF=CHE，MF是ABD的中位線(xiàn)，-14精選文庫(kù)MFAB， MFE=BGE，AB=CD， ME=MF， MEF=MFE，從而 BGE=CHE。（三）、由中線(xiàn)應(yīng)想到延長(zhǎng)中線(xiàn)例 3圖 4，已

26、知 ABC中，AB=5，AC=3，連 BC上的中線(xiàn) AD=2，求 BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng) AD到 E，使 DE=AD，則 AE=2AD=2×2=4。在 ACD和 EBD中， AD=ED， ADC=EDB， CD=BD， ACD EBD， AC=BE，從而 BE=AC=3。22222在ABE中，因 AE+BE=4 +3 =25=AB，故 E=90°，BD=，故 BC=2BD=2。例 4如圖 5，已知 ABC中， AD是 BAC的平分線(xiàn)， AD又是 BC邊上的中線(xiàn)。求證： ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng) AD到 E，使 DE=AD。仿例 3 可證：BED CAD，故 EB=AC，

27、E=2，又 1=2， 1=E，AB=EB，從而 AB=AC，即ABC是等腰三角形。-15精選文庫(kù)（四）、直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)例 5如圖 6，已知梯形 ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證： AC=BD。證明：取 AB的中點(diǎn) E，連結(jié) DE、CE，則 DE、CE分別為 Rt ABD，Rt ABC斜邊 AB上的中線(xiàn)，故 DE=CE= AB，因此 CDE= DCE。AB/DC， CDE= 1， DCE= 2， 1=2，在 ADE和 BCE中，DE=CE， 1= 2， AE=BE， ADE BCE， AD=BC，從而梯形 ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（五）、角平分線(xiàn)且垂直一線(xiàn)段

28、，應(yīng)想到等腰三角形的中線(xiàn)例 6如圖 7， ABC是等腰直角三角形， BAC=90°， BD平分 ABC交 AC 于點(diǎn) D，CE垂直于 BD，交 BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) E。求證： BD=2CE。證明：延長(zhǎng) BA，CE交于點(diǎn) F，在BEF和BEC中， 1=2，BE=BE， BEF=BEC=90°， BEF BEC， EF=EC，從而 CF=2CE。又 1+F=3+F=90°，故 1=3。在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC， BAD=CAF= 90°， ABD ACF， BD=CF， BD=2CE。注：此例中 BE是等腰 BCF的底邊 CF的中線(xiàn)。（六）

29、中線(xiàn)延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線(xiàn)，常延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段 ，再將端點(diǎn)連結(jié)， 便可得到全等三角形。-16精選文庫(kù)例一：如圖 4-1 ：AD為 ABC的中線(xiàn)，且 1=2，3=4，求證： BE+CF>EF。A證明：廷長(zhǎng) ED至 M，使 DM=DE，連接 CM，MF。在 BDE和 CDM中，EFBD=CD（中點(diǎn)定義）231=5（對(duì)頂角相等）4C1BDED=MD（輔助線(xiàn)作法） BDE CDM（SAS）又1= 2， 3=4（已知）圖41M1+2+ 3+4=180°（ 平角的定義 ） 3+2=90°即： EDF=90° FDM= EDF

30、=90°在 EDF和 MDF中ED=MD（輔助線(xiàn)作法）EDF=FDM（已證）DF=DF（公共邊） EDF MDF（SAS）EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 CMF中， CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF上題也可加倍 FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段， 構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖 5-1 ：AD為 ABC的中線(xiàn)，求證： AB+AC>2AD。分析：要證 AB+AC>2AD，由圖想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有 AB+AC+BD +CD&g

31、t;AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多 BD+CD，故不能直接證出此題，而由 2AD想到要構(gòu)造 2AD，即加倍中線(xiàn)，把所要證的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去-17精選文庫(kù)證明：延長(zhǎng) AD至 E，使 DE=AD，連接 BE，CEAD為 ABC的中線(xiàn)（已知）ABD=CD（中線(xiàn)定義）在 ACD和 EBD中DBCBD=CD（已證）1=2（對(duì)頂角相等）AD=ED（輔助線(xiàn)作法）E圖5 1 ACD EBD（SAS）BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 ABE中有： AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC>2AD。練習(xí)：1 如圖， AB=6，AC=8，D為 BC 的中點(diǎn)，求 AD的取

32、值范圍。A68BDC2如圖， AB=CD，E 為 BC的中點(diǎn)， BAC=BCA，求證： AD=2AE。ABECD3如圖， AB=AC，AD=AE，M為 BE中點(diǎn)， BAC=DAE=90°。求證： AM DC。ABMCED-18精選文庫(kù)4，已知 ABC，AD是 BC邊上的中線(xiàn)，分別以AB邊、 AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2 ，求證 EF=2AD。EFABDC5已知：如圖 AD為 ABC的中線(xiàn)， AE=EF，求證：圖52ABF=ACEFBDC五 全等三角形輔助線(xiàn)找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線(xiàn)段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）

33、可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法：延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線(xiàn)構(gòu)造全等三角形；作連線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形。常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折” -19精選文庫(kù)2) 遇到三角形的中線(xiàn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 3) 遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角

34、的兩邊作垂線(xiàn)，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折” ，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理或逆定理4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段與特定線(xiàn)段相等，或是將某條線(xiàn)段延長(zhǎng)， 是之與特定線(xiàn)段相等， 再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)， 常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線(xiàn)段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答（一）、倍長(zhǎng)中線(xiàn)（線(xiàn)段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中， AB=5，A

35、C=3，則中線(xiàn) AD的取值范圍是 _.ABDC2：如圖， ABC中， E、F 分別在 AB、AC上， DEDF，D 是中點(diǎn)，試比較BE+CF與 EF的大小 .AEFBDC3：如圖， ABC中， BD=DC=AC，E 是 DC的中點(diǎn)，求證： AD平分 BAE.-20精選文庫(kù)ABDEC中考應(yīng)用（09 崇文二模）以ABC 的兩邊 AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD 和等腰 RtACE ，BADCAE90 , 連接 DE，M、N 分別是 BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與 DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)ABC 為直角三角形時(shí)， AM與 DE的位置關(guān)系是，線(xiàn)段 AM與 DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖

36、中的等腰 RtABD 繞點(diǎn) A 沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0< <90) 后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1. 如圖，ABC 中， AB=2AC， AD平分 BAC ，且 AD=BD，求證： CDACACBD-21精選文庫(kù)2：如圖， ACBD，EA,EB分別平分 CAB,DBA，CD過(guò)點(diǎn) E，求證 ;AB AC+ADBDEBC3：如圖，已知在 VABC 內(nèi)，0C 400BAC 60 ，P，Q 分別在 BC，CAA上，并且 AP，BQ分別是BAC ，ABC 的角平分線(xiàn)。求證： BQ+AQ=AB+BPBQPC4：如圖，在四邊形ABCD中， BC B

37、A,AD CD， BD 平分ABC ，求證：AC 1800ADBC5: 如圖在 ABC中， ABAC， 1 2，P 為 AD 上任意一點(diǎn)，求證 ;AB-AC PB-PCA12PBCD中考應(yīng)用（08 海淀一模）-22精選文庫(kù)（三）、平移變換1.AD 為 ABC的角平分線(xiàn)，直線(xiàn) MN AD于 A.E 為 MN上一點(diǎn)， ABC周長(zhǎng)記為 PA ， E BC周長(zhǎng)記為 PB . 求證 PB PA .2：如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn) D、E，且 BD=CE，求證： AB+AC>AD+AE.ABDEC（四）、借助角平分線(xiàn)造全等1：如圖，已知在ABC中， B=60°， ABC的角平分線(xiàn)AD,CE

38、相交于點(diǎn) O，求證： OE=ODAEOBDC-23精選文庫(kù)2：（06 鄭州市中考題）如圖， ABC中，AD平分 BAC，DG BC且平分 BC，DEAB于 E，DFAC于 F. （ 1）說(shuō)明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、 BE的長(zhǎng) .AEGBCFD中考應(yīng)用（06 北京中考）如圖， OP是 MON的平分線(xiàn)，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P 所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在 ABC中， ACB是直角， B=60°，AD、CE分別是 BAC、 BCA的平分線(xiàn)， AD、CE相交于點(diǎn) F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出 F

39、E 與 FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 (1) 中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在 (1) 中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)B明理由。MBEEFDFDOPACC圖NA圖圖(第 23題圖)（五）、旋轉(zhuǎn)1：正方形 ABCD中， E 為 BC上的一點(diǎn)， F 為 CD上的一點(diǎn)， BE+DF=EF，求 EAF的度數(shù) .ADFBEC2：D 為等腰 Rt ABC 斜邊 AB的中點(diǎn)，DM DN,DM,DN分別交 BC,CA于點(diǎn) E,F。-24（1）當(dāng)MDN 繞點(diǎn) D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證 DE=DF。精選文庫(kù)B（2）若 AB=2，求四邊形 DECF的面積。AEMCAFN3. 如圖，ABC 是邊長(zhǎng)為 3 的等邊三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC1200 ，以 D 為頂點(diǎn)做一個(gè) 600 角，使其兩邊分別交AB 于點(diǎn) M，交 AC于AMNBC點(diǎn) N，連接 MN，則 AMN 的周長(zhǎng)為D；中考應(yīng)用（07 佳木斯）已知四邊形 ABCD 中， AB AD ， BC CD ， AB BC ， ABC 120o ， MBN 60