理想白噪聲和帶限白噪聲的產(chǎn)生與分析

1、理想白噪聲和帶限白噪聲的產(chǎn)生與分析摘要 利用Matlab仿真分析產(chǎn)生的高斯白噪聲和均勻白噪聲通過低通濾波器和 帶通濾波器后的時(shí)域及頻域波形，以便更好地理解白噪聲。背景 在實(shí)際應(yīng)用中，通信設(shè)備的各種電子器件、傳輸線、天線等都會(huì)產(chǎn)生噪聲，伴隨著信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸和處理的全過程。噪聲也是一種隨機(jī)過程，而白噪 聲具有均勻功率譜密度，在數(shù)學(xué)處理上具有方便、簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。電子設(shè)備中的起 伏過程如電阻熱噪聲、散彈噪聲等，在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)具有均勻的功率譜密 度，可以當(dāng)做白噪聲處理，因而研究白噪聲的特性顯得非常重要。實(shí)驗(yàn)特點(diǎn)與原理(1)隨機(jī)信號(hào)的分析方法在信號(hào)系統(tǒng)中，把信號(hào)分為確知信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)兩類。在工程技術(shù)

2、中，一 股用概率密度、均值、均方值、方差、自相關(guān)函數(shù)、頻譜、功率譜密度等描述隨 機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。 均值均值Ex(t)(卜)表示集合平均值或數(shù)學(xué)期望值?；‰S機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性，可用時(shí)間間隔T內(nèi)的幅值平均值表示：Ex(t)=£ x(t)/ N t =0均值表達(dá)了信號(hào)變化的中心趨勢(shì)，或稱之為直流分量。 均方值均方值Ex2(t)(中2),或稱為平均功率：E(x2(t)=Z x2(t)/Nt -0均方值表達(dá)了信號(hào)的強(qiáng)度，其正平方根值，乂稱為有效值，也是信號(hào)的平均 能量的一種表達(dá)。 方差N J定義：c-2 =、 x(t) Ex(t)2/N t =0可以證明，中2=。2 +卜2。其中：。2描述

3、了信號(hào)的波動(dòng)量；P2描述了信號(hào)的靜態(tài)量。 自相關(guān)函數(shù)信號(hào)的相關(guān)性是指客觀事物變化量之間的相依關(guān)系。對(duì)丁平穩(wěn)隨機(jī)過程x(t)和y(t)在兩個(gè)不同時(shí)刻t和t+ r的起伏值的關(guān)聯(lián)程度，可以用相關(guān)函數(shù)表小。在離散情況下，彳號(hào)x(n)和y(n)的相關(guān)函數(shù)定義為：N IN 1Rxy(t,T)=££ x(t)y(t+i)/Nr ,t=0,1 , 2, N-1T t隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)表示波形自身不同時(shí)刻的相似程度。與波形分析、頻譜分析相比，它具有能夠在強(qiáng)噪聲干擾情況下準(zhǔn)確地識(shí)別信號(hào)周期的特點(diǎn)。 頻譜信號(hào)頻譜分析是采用傅立葉變換將時(shí)域信號(hào)x(t)變換為頻域信號(hào)x(f),從另一個(gè)角度來了解信

4、號(hào)的特征。時(shí)域信號(hào) x(t)的傅氏變換為：O0x(f) = J x(t)e-j2ftdt-oO 功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度是隨機(jī)信號(hào)的各個(gè)樣本在單位頻帶內(nèi)的頻譜分量消耗在一歐姆電阻上的平均功率的統(tǒng)計(jì)均值，是從頻域描述隨機(jī)信號(hào)的平均統(tǒng)計(jì)參量，表示x(t)的平均功率在頻域上的分布。它只反映隨機(jī)信號(hào)的振幅信息，而沒 有反映相位信息。隨機(jī)過程的功率譜密度為：| X (，)|2.G(x) = Elim _8< 3 < +00T U： 2T(2)白噪聲 理想白噪聲均值為零而功率譜密度為非零常數(shù)，即一 1 .Sn =一 N0-二"：:：二2的平穩(wěn)隨機(jī)過程N(yùn)(t)稱為白噪聲。利用維納

5、一辛欽公式，不難得到白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為Rn.Sn，ej d，=乎.ejd，=捉。"2.42 若一個(gè)具有零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程 X (t ),其功率譜密度在某一個(gè)有限頻率范圍內(nèi)均勻分布，而在此范圍外為零，則稱這個(gè)過程為帶限白噪聲。帶限白噪 聲乂可分為低通型的和帶通型的。低通型帶限白噪聲的功率譜密度滿足fS),缶 <wSXxt J g "w自相關(guān)函數(shù)為_1 二-i.Rx . = Bed，2 二-帶通型帶限白噪聲的功率譜密度滿足，d.,=WS031sin W.W.y wS0,切0 <0 <閔>0+Sx2、o,其它自相關(guān)函數(shù)為WS0 sin W 2Rx=二

6、W2 C0S，。(3) Matlab相關(guān)函數(shù)rand(m,n) 產(chǎn)生m亍n歹U的均勻分布randn(m,n) 產(chǎn)生m亍n歹U的高斯分布c,lags =xcorr(x,maxlags,'option')自相關(guān)函數(shù),'option' 選擇'unbiased'無偏估計(jì)，時(shí)域區(qū)間-maxlags:maxlags，序歹0長(zhǎng)度2*maxlags+1Pxx,f = periodogram(x,window,nfft,fs)功率譜密度，偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，Pxx長(zhǎng)度(nfft/2 + 1), 林圍0,pif,xi = ksdensity(x)一維概率密度fft(X)傅里葉

7、變換n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')巴特沃斯濾波器，W的通帶邊界頻率，Ws為阻帶邊界頻率,Rp通帶最大衰減，Rs為阻帶最小衰減，n為階數(shù)，Wift歸一化頻z,p,k = buttap(n)巴特沃斯模擬低通濾波器模型h,w = freqz(hd,n)離散時(shí)域?yàn)V波器的頻率響應(yīng)，h、wR度為n, w范圍0,pifilter(b,a,X) 濾波器b,a=ellip(n, Rp, Rs, Wn, 'option')橢圓濾波器實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)(1)用Matlab編寫和仿真程序。系統(tǒng)框圖如圖所示:x(t)低通y1(t)帶通y2(t)(2) 輸入信號(hào)

8、x(t) : x(t)分別為高斯白噪聲信號(hào)和均勻白噪聲信號(hào)，測(cè)試白噪 聲的均值、均方值、方差，自相關(guān)函數(shù)、概率密度、頻譜及功率譜密度并繪圖， 分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。(3) 設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器和一個(gè)帶通濾波器。要求低通濾波器的通帶為0KHz-2KHz通帶衰減小于1db、阻帶衰減大于35db。帶通濾波器的通帶為10KHz-20KHz通帶衰減小于1db、阻帶衰減大于35db(4) 分別計(jì)算高斯白噪聲、均勻白噪聲經(jīng)低通濾波、帶通濾波器后的均值、均方值、方差、概率密度、自相關(guān)函數(shù)、頻譜及功率譜密度，并加以分析。(5) 所有結(jié)果均用圖示法來表示。仿真程序：hl.m%高斯白噪聲通過低通濾波器Fs=10000;Ns=

9、1024;x=randn(Ns,1);% 產(chǎn)生高斯白噪聲t=0:Ns-1;figure(1)plot(t,x);grid ontitle('高斯白噪聲波形')xlabel('t')x_mean=mean(x) %值figure(2)plot (t,x_mean)grid onx_std=std(x) ; % 標(biāo)準(zhǔn)差x_var=x_std.A2 % 方差x_msv=x_var+x_mean.A2 %方值figure(3)plot (t,x_mean)grid on%計(jì)算高斯白噪聲的相關(guān)函數(shù)x_c,lags=xcorr(x,200,'unbiased'

10、;);%相關(guān)函數(shù)figure(2)plot(lags,x_c);%畫出相關(guān)函數(shù)的圖形title('白噪聲的自相關(guān)函數(shù)')grid on%利用periodogram函數(shù)計(jì)算功率譜nfft=1024;index=0:round(nfft/2-1);k=index.*Fs./nfft;window=boxcar(length(x_c);Pxx,f=periodogram(x_c,window,nfft,Fs);x_Px=Pxx(index+1);figure(3)plot(k,x_Px);grid ontitle(' 白噪聲的功率譜')Xlabel('Freq

11、uencyZHz')咻高斯白噪聲的一維概率密度x_pdf,x1=ksdensity(x);figure(4)plot(x1,x_pdf);% 畫出高斯白噪聲的一維概率密度grid ontitle('白噪聲的一維概率密度')咻高斯白噪聲的頻譜f=(0:Ns-1)/Ns*Fs;X=fft(x);% 對(duì)高斯白噪聲進(jìn)行傅里葉變換mag=abs(X); %取信號(hào)X勺幅度figure(5)plot(f(1:Ns,mag(1:Ns/2);%畫出白噪聲的頻譜grid ontitle('白噪聲頻譜')；xlabel('Frequency/Hz');%利用雙

12、極性Z變換設(shè)計(jì)0-2kHz低通濾波器fp=2000;fs=2200;rp=0.5;rs=50;wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);Fs=1;N,Wn=buttord(w ap,was,rp,rs,'s');%估計(jì)所需濾波器的階數(shù)z,p,k=buttap(N);bp,ap=zp2tf(z,p,k);bs,as=lp2lp(bp,ap,wap);bz,az=bilinear(bs,as,Fs/2);H,w=freqz(bz,az,512,Fs*10000);%計(jì)算數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)figure(6)plo

13、t(w,abs(H);%低通濾波器的頻譜title('0-2kHz的低通濾波器的頻譜')xlabel('Frequency/Hz')ylabel('Mag of frequency response')grid on以掃噪聲通過濾波器以及通過后y相關(guān)參數(shù)y=filter(bz,az,x);%白噪聲通過濾波器y_mean=mean(y) %頂勺均值y_std=std(y); % 標(biāo)準(zhǔn)差y_var=y_std.A2 % 方差y_msv=y_var+y_mean，2y_pdf,y1=ksdensity(y);figure(7)plot(y1,y_pdf

14、);%y的一維概率密度grid ontitle('y的一維概率密度函數(shù)圖像');y_c,lags1=xcorr(y,200,'unbiased');%計(jì)算y 的相關(guān)函數(shù)figure(8)plot(lags1,y_c);% 畫出y的相關(guān)函數(shù)的圖形axis(-50,50, -0.1,0.5 );title('y 的自相關(guān)函數(shù)')grid on咐算y的頻譜Y=fft(y);% 對(duì)y進(jìn)行傅里葉變換magY=abs(Y);figure(9)plot(f(1:Ns ,magY(1:Ns/2);%畫出 y 的頻譜grid ontitle('白噪聲通過低

15、通濾波器的頻譜');xlabel('Frequency/Hz');%的功率譜nfft=1024;Fs=10000;index=0:round(nfft/2-1);ky=index.*Fs./nfft;window=boxcar(length(y_c);Pyy,fy=periodogram(y_c,window,nfft,Fs);y_Py=Pyy(index+1);figure(10)plot(ky,y_Py);grid ontitle('白噪聲通過低通濾波器后的功率譜')xlabel('Frequency/Hz')仿真波形:高斯白噪聲波形

16、白噪聲的自相關(guān)函數(shù)白噪聲的一維概率密度Frequency/HzesnoDspr vcneuooTfo aaM白噪聲頻譜90807060504030201000500100015002000250030003500400045005000Frequency/Hz0-2kHz的低通濾波器的頻譜1.4O2 O OIL O O 5 2O O 54y的一維概率密度函數(shù)圖像0.70.60.50.40.30.20.1-3-2-1y的自相關(guān)函數(shù)白噪聲通過低通濾波器的頻譜h2.m%高斯白噪聲通過帶通濾波器Fs=100000;Ns=1024;x=randn(Ns,1);% 產(chǎn)生白噪聲t=0:Ns-1;figure

17、(1)plot(t,x);grid ontitle('高斯白噪聲波形')xlabel('t')x_mean=mean(x) %值x_std=std(x) ; % 標(biāo)準(zhǔn)差x_var=x_std.A2 % 方差x_msv=x_var+x_mean.A2 %方值咐算高斯白噪聲的相關(guān)函數(shù)%x_c,lags=xcorr(x,200,'unbiased');%相關(guān)函數(shù)figure(2)plot(lags,x_c);% 畫出相關(guān)函數(shù)的圖形title('白噪聲的自相關(guān)函數(shù)')grid on%利用periodogram函數(shù)計(jì)算功率譜%nfft=10

18、24;index=0:round(nfft/2-1);k=index.*Fs./nfft;window=boxcar(length(x_c);Pxx,f=periodogram(x_c,window,nfft,Fs);x_Px=Pxx(index+1);figure(3)plot(k,x_Px);grid ontitle('白噪聲的功率譜')Xlabel('Frequency/Hz')咻白噪聲的一維概率密度x_pdf,x1=ksdensity(x);figure(4)plot(x1,x_pdf);%畫出白噪聲的一維概率密度grid ontitle('白噪

19、聲的一維概率密度')咻高斯白噪聲的頻譜f=(0:Ns-1)/Ns*Fs;X=fft(x);% 對(duì)白噪聲進(jìn)行傅里葉變換mag=abs(X); %取信號(hào)X勺幅度figure(5)plot(f(1:Ns,mag(1:Ns/2);%畫出白噪聲的頻譜grid ontitle('白噪聲頻譜')；xlabel('Frequency/Hz');以產(chǎn)生一個(gè)十階IIR帶通濾波器杰帶為10KHz-20KHz,并得到其幅頻響應(yīng) Fs=100000b,a=ellip(10,0.5,50,10000,20000*2/Fs);H,w=freqz(b,a,512);figure(6)p

20、lot(w*Fs/(2*pi),abs(H);title('帶通濾波幅頻響應(yīng)');set(gcf,'color','white')xlabel('Frequency Hz');ylabel('Mag of frequency response');grid on%掃噪聲通過帶通濾波器以及通過后y相關(guān)參數(shù)y=filter(b,a,x);%白噪聲通過帶通濾波器y_mean=mean(y) %頂勺均值y_std=std(y); % 標(biāo)準(zhǔn)差y_var=y_std.A2 % 方差y_msv=y_var+y_mean.A2y_

21、pdf,y1=ksdensity(y);figure(7)plot(y1,y_pdf);%y的一維概率密度grid ontitle('y的一維概率密度函數(shù)圖像');y_c,lags1=xcorr(y,200,'unbiased');%計(jì)算y 的相關(guān)函數(shù)figure(8)plot(lags1,y_c);% 畫出y的相關(guān)函數(shù)的圖形title('y的自相關(guān)函數(shù)')grid on咐算y的頻譜Y=fft(y);% 對(duì)y進(jìn)行傅里葉變換magY=abs(Y);figure(9)plot(f(1:Ns ,magY(1:Ns/2);% 畫出 y 的頻譜grid o

22、ntitle('白噪聲通過帶通濾波器的頻譜');xlabel('Frequency/Hz');%的功率譜nfft=1024;index=0:round(nfft/2-1);ky=index.*Fs./nfft;window=boxcar(length(y_c);Pyy,fy=periodogram(y_c,window,nfft,Fs);y_Py=Pyy(index+1);figure(10)plot(ky,y_Py);grid ontitle('白噪聲通過帶通濾波器后的功率譜')Xlabel('Frequency/Hz')仿真波形:高斯白噪聲波形白噪聲的自相關(guān)函數(shù)白噪聲的一維概率密