用等效法分析試驗(yàn)測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻測(cè)量誤差

1、用等效法分析實(shí)驗(yàn)“測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”測(cè)雖誤差羅平一中 徐勇關(guān)鍵詞：等效法 測(cè)電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻 測(cè)量誤差 合理性證明摘 要：“等效”是物理學(xué)中的重要的學(xué)習(xí)和研究方法，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用往往 能化難為易，化繁為簡(jiǎn)。例如變力做功可等效為包力做功， 非勻強(qiáng)電場(chǎng)等效為勻 強(qiáng)電場(chǎng)等。實(shí)驗(yàn)誤差分析是中學(xué)生物理學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)， 尤其像在“測(cè)電動(dòng)勢(shì)和內(nèi) 阻”這樣的實(shí)驗(yàn)中，電路復(fù)雜多變，涉及誤差分析時(shí)學(xué)生往往束手無(wú)策，而一般 分析方法復(fù)雜而乂難記難理解。為解決學(xué)生困擾，筆者認(rèn)為可借用“等效”法來(lái) 快速、準(zhǔn)確分析“測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻”實(shí)驗(yàn)中電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量誤差。在 本文中筆者先給出不同實(shí)驗(yàn)方式中等效的方法和結(jié)果，再加以證明

2、，希望有益丁師生教、學(xué)。一、電流表相對(duì)電源外接法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的等效誤差分析如圖1所示的電路為“電流表相對(duì)電源外接”。這是實(shí)驗(yàn)中最常用的方法。實(shí)驗(yàn)誤差分析方法：用此法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻時(shí)，設(shè)電動(dòng)勢(shì)真實(shí)值為 E真，測(cè)量值為E測(cè)，內(nèi)阻的真實(shí)值為r真，測(cè)量值為r測(cè)，貝U可將R等效這電源內(nèi)阻的一部分，圖中虛線框 內(nèi)為等效電源，進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到等效電路圖，則此時(shí)等效電源的電動(dòng)勢(shì)為測(cè)量值E測(cè)，等效電源的內(nèi)阻為r測(cè)由圖1 “等效電路”可知，當(dāng)外電路斷開(kāi)時(shí),E測(cè)即為電壓表兩端電壓，即或=UV。由圖可知，電壓表內(nèi)阻 R與r真申聯(lián)，由電流相等有:E測(cè)E真. .匚E真RV ERv Rz+r真人Rv+r真即電動(dòng)勢(shì)測(cè)

3、量值小丁真實(shí)值。仍由圖1可知，電源內(nèi)阻的測(cè)量值r測(cè)等效丁電壓表內(nèi)阻Q與電源內(nèi)阻r真并 聯(lián)的總電阻，所以有：；可見(jiàn)，r測(cè)v r真，即測(cè)量值比真實(shí)值偏小。r真Rvr測(cè)=Rv+ r 真在“電流表相對(duì)電源外接”中，短路電流的測(cè)量值和真實(shí)值相等。即1短測(cè)=1短真?！暗刃Хā钡目煽啃宰C明如下：1有:設(shè)電壓表兩次測(cè)量的讀數(shù)依次為 Ui、U2,電流表小數(shù)依次為I 1、12,在不考慮電壓表內(nèi)阻的情況下，電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻均為測(cè)量值。由圖U2= E測(cè)一1 2r«,聯(lián)立得:r測(cè)=U2 UiI 1 I 2第10頁(yè)共8頁(yè)_ 11U2T2U1E 測(cè)=I®考慮電壓表內(nèi)阻時(shí)，電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻對(duì)應(yīng)真實(shí)值。由圖 1有:

4、U= E真一('+ Iv) r真,U2= E真-(I2+ IV)r真,其中 Iv =虹，Iv =上,RvRv聯(lián)立消去E真得:r真=U2- Ui1Ii L分子分母同除U2 Ui得:U2 U1Il I 2真=11 I2 = 1U2 U11Rvr 測(cè)RVr 真+ Rv移項(xiàng)整理得： =土+ ,或?qū)懗桑?測(cè)='真& 。r真Rv即：電流表相對(duì)電源外接測(cè)得電源內(nèi)阻等丁電壓表內(nèi)阻與電源真實(shí)內(nèi)阻的 并聯(lián)電阻。再聯(lián)立消去r真得:&=（I：優(yōu):3：U）'分子分母同幻I）得:E真=U12 SIl_ . ( U2-IU 1)'Rv十Il考慮到El I STURUiTI1T

5、212 11UU -二"弋入上I1 2式有:_ RvE 測(cè)Rv r 測(cè)p . 一 r 真 Rv ，乂 測(cè)一r真 + Rv化簡(jiǎn)可得:E真Rvr 真+ Rv即：電流表相對(duì)電源外接測(cè)得電源電動(dòng)勢(shì)值等丁電壓表兩端電壓，因此小 丁電動(dòng)勢(shì)真實(shí)值。二、電流表相對(duì)電源內(nèi)接測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻如圖2所示的連接方式稱為“電流表相對(duì)電源內(nèi)接”實(shí)驗(yàn)誤差分析方法：電流表相對(duì)電源內(nèi)接時(shí)，測(cè)量中沒(méi)有考慮其內(nèi)阻的影響，實(shí)為將電流表等效 為電源內(nèi)阻，故有：測(cè)=r真+ Ra> r真即：電流表內(nèi)接時(shí)，內(nèi)阻的測(cè)量值大丁真實(shí)值。當(dāng)外電路斷開(kāi)時(shí)，電流表等效為導(dǎo)線，此時(shí)電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值等丁真實(shí)值。即：E測(cè)=E真此方法的可靠性證明

6、如下：設(shè)任兩次測(cè)量電壓表和電流表示數(shù)分別為 Ui、Ii和U2、I2,所測(cè)電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻分別為E測(cè)、r測(cè)，真實(shí)值為E真、r真，由圖2,不考慮電流表內(nèi)阻Ra時(shí)，根 據(jù)閉合電路歐姆定律有：E測(cè)=5+ 靜測(cè)，,，E 測(cè)=U 2 + I 測(cè),由兩式解得：U2-U1 L U1I2 U2 Il；丘測(cè)=I1 I2I2 I1考慮電流表內(nèi)阻Ra時(shí)，根據(jù)閉合電路歐姆定律有:E真=Ui+ Ii（ r 真+ Ra） ,E真=U2+ Ir 真+ Ra） ,兩式聯(lián)立得：U2-U1 U2-U1Ra+真=| ,又1"測(cè)= 廠11 1211 k 測(cè)=Ra+ r 真即：內(nèi)阻測(cè)量值等丁真實(shí)值與電流表內(nèi)阻之和乂由兩式消r真得：

7、 Ui I2 U2 Il my Ui I2-U2 Il£直=，由刖可知：£測(cè)=八 I2T1I2T1即：電流表內(nèi)接法測(cè)得的電源電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值等丁真實(shí)值。三、用電流表和可變電阻測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。實(shí)驗(yàn)誤差分析方法：如圖3所示，在不使用電壓表的情況下，可利用可變電阻 R,和一塊電流表 測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。當(dāng)改變R的阻值為R、R2時(shí)，電流表中的電流為Ii、I2,由丁不考慮電流 表內(nèi)阻RA,可將RA等效為電源內(nèi)阻。因此內(nèi)阻測(cè)量值為:測(cè)=r真+ ra > r真即：此法測(cè)出的電源內(nèi)阻大丁真實(shí)值.而當(dāng)外電路斷開(kāi)時(shí)，端電壓等丁電源電動(dòng)勢(shì)，電流表等效為導(dǎo)線，故測(cè)得的端電壓等丁電源電動(dòng)勢(shì)的

8、測(cè)量值 E測(cè)，也就等丁真實(shí)的電動(dòng)勢(shì)E真，即：E測(cè)=E真證明如下：設(shè)電阻為Ri時(shí)電流為Ii,貝U：E測(cè)=h（ R+ 5）,當(dāng)可變電阻為R2時(shí)電流為I2：£測(cè)=I（ R+ r測(cè)）,由兩式有：2 R Il R.r測(cè)一，, 也Ili2_ I2（R R）mE,b 11考慮電流表內(nèi)阻，當(dāng)可變電阻分別為R、R2 ,電流Ii、I2時(shí)，由圖3知：E真=h( Ri+ r真+RA) ,E真=12&+ r 真+叫,由消E真得：(l2R2I1R)I2 I1)Ra(I2RiiR) D 由真=+ = Ra,I 1_ I2112112將代入式得：頃=r測(cè)-Ra一 測(cè)=r 真 +ra即：用電流表和可變電阻測(cè)得

9、的電源內(nèi)阻等效丁真實(shí)電阻現(xiàn)電流表內(nèi)阻申 聯(lián)的總電阻。這個(gè)阻值顯然大丁真實(shí)值。乂由消r真得到電動(dòng)勢(shì)的真實(shí)值表達(dá)式： Ii I2( R R) em=I2 Ii由式可知，£測(cè)=E真，即用電流表和可變電阻測(cè)得電源電動(dòng)勢(shì)的值等 丁真實(shí)值。四、用電壓表和可變電阻測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。實(shí)驗(yàn)誤差分析方法：如圖4所示，只用一塊電壓表和一個(gè)可變電阻 R測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，當(dāng)改變R的阻值為R、R2時(shí)，電壓表示數(shù)為 J、U2,由丁實(shí)驗(yàn)中不考慮電壓表內(nèi)阻RV對(duì)結(jié)果的影響，可將 巳等效為電源內(nèi)阻。因此內(nèi)阻測(cè)量值為 r真與巳的并聯(lián)電阻，即：r真+ rvr 真 FV 一 測(cè)一 ,< r 真。即：此法測(cè)出的電源

10、內(nèi)阻小丁真實(shí)值.而當(dāng)外電路斷開(kāi)時(shí)，電源電動(dòng)勢(shì)等效丁電壓表的路端電壓，即:Rv巳測(cè)=ir 真+ FV即：此法測(cè)出的電源電動(dòng)勢(shì)小丁真實(shí)電動(dòng)勢(shì).證明：不考慮電壓表內(nèi)阻，當(dāng)可變電阻為 R、電壓表示數(shù)為Ui時(shí):£測(cè)=U+ &測(cè), R當(dāng)電阻為R2、電流U2時(shí):匚上E測(cè)一 S+ r測(cè),R2由兩式有:"卜s RR ；UR U2 R匚 UU R R)E測(cè)一 二 U2 R1 Ui R考慮電壓表內(nèi)阻，當(dāng)可變電阻分別為R1、R2 ,電壓U1、U2時(shí)，由圖7知:U£真=Ui+ r 真U2E直一U2+' r直,八D八其中R - -RlR . 口 _RR并一, rvhR+ Rv

11、R2+ Rv由化簡(jiǎn)可得:(U2-Ui) RR(U2-Ui)RRRvrw =八 UR1+RV)U2(& +RVUi R2(Ri+Rv) U2RKR2+RV)Ri RvR?Rv為方便求解，取r真的倒數(shù)計(jì)算，則:1UiRs(R+Rv) U2R(R+Rv)UiR； U 2 Ri1:= :一(U2-Ui) RRRv(U2-Ui) RRFV由式知道：-UiR U2 R=,代入第式有:r測(cè)(U2-Ui) RRir1 1 1=+ r測(cè) r真 r v即：用電壓表和可變電阻測(cè)得的電源內(nèi)阻等效丁真實(shí)電阻現(xiàn)電壓表內(nèi)阻并聯(lián)的總電阻。這個(gè)阻值顯然小丁真實(shí)值。乂由化簡(jiǎn)可得：UlU2（R R2） RvE = UiU2（R-島）=U2R U1R2真U2FW UR RR2（U2-Ui）+ r，''''''