相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率典型例題

1、典型例題例1擲三顆骰子，試求：（1）沒(méi)有一顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)的概率；（2）恰好有一顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)的概率.分析：我們把三顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)分別記為事件ARC,由已知,A B. C是相互獨(dú)立事件.問(wèn)題（1）沒(méi)有1顆骰子出現(xiàn)1旦 6衛(wèi)當(dāng)丁 A8C , 問(wèn)題（2）恰有一顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)可分為三類：abc.abcJbc ,三個(gè)事 件為互斥事件.問(wèn)題（1）可以用相互獨(dú)立事件的概率公式求解,問(wèn)題（2）可以 用互斥事件的概率公式求解.解：記“第1顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)” 互獨(dú)立事件，且（1）沒(méi)有1顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)，也就是事件A B, C全不發(fā)生，即 事件ABC ,所以所求概率為：PfABC）

2、= P（A） P（B） PfC） = -x-x- = 3 3 3 27 .（2）恰好有1顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)，即0發(fā)生日 不發(fā)生C不發(fā)生或 不竺_c不發(fā)生或4不發(fā)生占 不發(fā)生°發(fā)生，用符號(hào)表示為事件 ABC -ABCABC ,所求概率為：PABC + ABC+ABC = P（頑）+P（ABC） + P（ABC）=P（A）P（B）P（C'） + P（£）P（B）P（C）+P（A） P（B）P（P） 122212221 12 4 = X X 5 + X X + X X. * .333333333 27 9說(shuō)明：再加上問(wèn)題：至少有1顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)的概率是多少？我們逆

3、 向思考，其對(duì)立事件為“沒(méi)有一顆骰子出現(xiàn) 1點(diǎn)或6點(diǎn)，即問(wèn)題（1）中的事件， 19P（A+B+C） = -PABC） = 所求概率為27 ,在日常生活中，經(jīng)常遇到幾個(gè)獨(dú)立事件，要求出至少有一個(gè)發(fā)生的概率，比如例1中的至少有1個(gè)人譯出密碼的概 率，再比如：有兩門高射炮，每一門炮擊中飛機(jī)的概率都是0.6,求同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈，擊中飛機(jī)的概率是多少？把兩門炮彈擊中飛機(jī)分別記為事件A與B,擊中飛機(jī)即A與B至少有1個(gè)發(fā)生，所求概率為 彤+R）二1頊婀=1-晌啊584 .例2某工廠的產(chǎn)品要同時(shí)經(jīng)過(guò)兩名檢驗(yàn)員檢驗(yàn)合格方能出廠，但在檢驗(yàn)時(shí) 也可能出現(xiàn)差錯(cuò)，將合格產(chǎn)品不能通過(guò)檢驗(yàn)或?qū)⒉缓细癞a(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)，對(duì)丁兩名

4、檢驗(yàn)員，合格品不能通過(guò)檢驗(yàn)的概率分別為 即巧,不合格產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概 率分別為加A，兩名檢驗(yàn)員的工作獨(dú)立.求：（1）一件合格品不能出廠的概 率，（2） 一件不合格產(chǎn)品能出廠的概率.分析：記“一件合格品通過(guò)兩名檢驗(yàn)員檢驗(yàn)”分別記為事件 4和事件4 , 問(wèn)題（1）一件合格品不能出廠相當(dāng)丁一件合格品至少不能通過(guò)一個(gè)檢驗(yàn)員檢驗(yàn)， 逆向考慮，其對(duì)立事件為合格品通過(guò)兩名檢驗(yàn)，即 AB發(fā)生，而kb的概率可 以用相互獨(dú)立事件的概率公式求解.我們把“一件不合格品通過(guò)兩名檢驗(yàn)員檢 驗(yàn)”分別記為事件和事件也，則問(wèn)題（2） 一件不合格品能出廠相當(dāng)丁一件 不合格品同時(shí)通過(guò)兩名檢驗(yàn)員檢驗(yàn)，即事件發(fā)生，其概率可用相互獨(dú)立事

5、件概率公式求解.解：（1）記“一件合格品通過(guò)第i名檢驗(yàn)員檢驗(yàn)”為事件=, “一件合格品不能通過(guò)檢驗(yàn)出廠”的對(duì)立事件為“一件合格品同時(shí)通過(guò)兩名檢驗(yàn)員 檢驗(yàn)”，即事件AB發(fā)生.所以所求概率為 1 - P0B）二 1 -=佝）（2） “一件不合格品能通過(guò)第i名檢驗(yàn)員檢驗(yàn)”記為事件玷T,“一 件不合格品能出廠”即不合格品通過(guò)兩名檢驗(yàn)員檢驗(yàn)，事件 約&發(fā)生，所求概 率為：明脫=明）啪）=酗.例3某大學(xué)的校乒乓球隊(duì)與數(shù)學(xué)系乒乓球隊(duì)舉行對(duì)抗賽，校隊(duì)的實(shí)力比系隊(duì)強(qiáng)，當(dāng)一個(gè)校隊(duì)隊(duì)員與系隊(duì)隊(duì)員比賽時(shí)， 校隊(duì)隊(duì)員獲勝的概率為0.6 .現(xiàn)在校、 系雙方商量對(duì)抗賽的方式，提出了三種方案：（1）雙方各出3人；（2

6、）雙方各 出5人；（3）雙方各出7人.三種方案中場(chǎng)次比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利. 問(wèn): 對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō)，哪一種方案最有利？三種方案中，哪一種方案系隊(duì)獲勝的概率更大 一些，哪一種方案對(duì)系隊(duì)更有利.進(jìn)行幾場(chǎng)比賽相當(dāng)丁進(jìn)行幾次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)， 可以用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生k次的概率方式解題.解：記一場(chǎng)比賽系隊(duì)獲勝為事件 /，事件X的對(duì)立事件為校隊(duì)獲勝，所以 FU） = 1-0.6 = 04用方案（1） , K發(fā)生兩次為系隊(duì)勝，/發(fā)生3次也為系隊(duì)勝，所以系隊(duì) 勝的概率為：攻2) +£= C； 0.4<0,6+C； 0,4、0.352用方案(2),發(fā)生3、4、5次為系隊(duì)勝.所以系隊(duì)勝的

7、概率為：齡 +E(4) + 哭)=c； 0,4a 0,0 + C； 0.44 0.6 + C； 0.4J « 0.317用方案(3),發(fā)生4、5、6、7次為系隊(duì)勝.所以系隊(duì)勝的概率為：片(4)+均(5),片(。)十 鳥(7)=C；。一4。d護(hù)中 C； 0 45 0.63 + C? 0 4e 0 6 + C? 0 47Rf 0.290比較可以看出，雙方各出3個(gè)人對(duì)系隊(duì)更有利，獲勝概率為 0.352 .實(shí)際上，對(duì)弱隊(duì)而言，比賽場(chǎng)數(shù)越少，對(duì)弱隊(duì)越有利，僥幸取勝的可能性越 大.說(shuō)明：在日常生活中，經(jīng)常出現(xiàn)方案的比較問(wèn)題，或者方案是否合理的論證 問(wèn)題，比如產(chǎn)品抽查，抽檢幾件比較合理，因?yàn)槌槎嗔死速M(fèi)人力，抽少了容易讓 不合格產(chǎn)品出廠.設(shè)備維修安排幾位維修工較合理，安排人員過(guò)多造成浪費(fèi)，安 排人員過(guò)少設(shè)備不能及時(shí)維修，這些問(wèn)題都可以用本題的思維方法，先設(shè)計(jì)一個(gè) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，然后抓某個(gè)事件發(fā)生的概率，看概率是否較小.我們可以看例子：10臺(tái)同樣的設(shè)備，各自獨(dú)立工作，設(shè)備發(fā)生故障的概率 為0.01，現(xiàn)在安排1名維修工，試說(shuō)明這種配備是否合理？10臺(tái)設(shè)備各自獨(dú)立工作，相當(dāng)丁 10次獨(dú)立重