空間幾何體的結(jié)構(gòu)及練習(xí)題

1、§ 1-2空間幾何體的結(jié)構(gòu)【知識要點】1. 簡單空間幾何體的基本概念:棱柱底巾始平行四邊形平行六面體直平行六面體底面是理形 長方體俱核質(zhì)底面也長相等*正方體撥與底面口直觸斜梭柱；1側(cè)憧與底面垂直 * 底面是正參邊形 十y1直棱柱正棱柱、特殊的四棱柱:(3)其他空間幾何體的基本概念:幾何體基本概念正棱錐底面是正多面形，并且頂點在底面的射影是底面的中心正棱臺正棱錐被平行于底面的平面所截，截面與底面間的幾何體是正棱臺圓柱以矩形的一邊所在的直線為軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲曲圍成的幾何體:圓錐以直角三角形的一邊所在的直線為軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成 的幾何體圓臺以直角梯形中垂直于底

2、邊的腰所在的直線為軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲 面圍成的幾何體球面半圓以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)而成的曲面球球面所圍成的幾何體2.簡單空間幾何體的基本性質(zhì):幾何體性質(zhì)補充說明棱柱側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形(2) 兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形(3) 過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對角面)是 平行四邊形(1) 直棱柱的側(cè)棱長與局相等，側(cè)向及對角面都是矩形(2) 長方體一條對角線的平方等于一 個頂點上三條棱長的平方和正棱錐(i)側(cè)棱都相等，側(cè)面是全等的等腰三角形 棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影 組成一個直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和 側(cè)棱在底面上的射影也組成一個直角二角 形球(i)球心和

3、球的截囪圓心的連線垂直于截面球心到耐的距離d,球的半徑 R,截面圓的半徑r滿足r=JR2d2過球心的截面叫球的大圓，不過球心的截面叫球的小圓(2)在球面上，兩點之間的最短距離， 就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度(兩點的球面距離)3. 簡單幾何體的三視圖與直觀圖：(1)平行投影： 概念：如圖，已知圖形 F,直線l與平面a相交，過F上任意一點 M作直線MMi平 行于1,交平面a于點Mi,則點Mi叫做點M在平面a內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影.如果圖形 F上的所有點在平面 a內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形 Fi,則Fi叫圖形F在口內(nèi)關(guān)于直 線l的平行投影.平面0(叫投射面，直線l叫投射線. 平

4、行投影的性質(zhì)：性質(zhì)1.直線或線段的平行投影仍是直線或線段；性質(zhì)2.平行直線的平行投影是平行或重合的直線；性質(zhì)3.平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；性質(zhì)4.與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等；性質(zhì)5.在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比.(2) 直觀圖：斜二側(cè)畫法畫簡單空間圖形的直觀圖.(3) 三視圖：正視圖左視圖俯視圖 正投影：在平行投影中，如果投射線與投射面垂直，這樣的平行投影叫做正投影. 三視圖：選取三個兩兩垂直的平面作為投射面.若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到這個平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投

5、射到這個平面內(nèi)的圖形叫做主視圖；和直立、水平兩個投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射面，投射到這個平面內(nèi)的圖形叫做左視圖.將空間圖形向這三個平面做正投影，然后把三個投影按右圖所示的布局放在一個水平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫空間圖形的三視圖. 畫三視圖的基本原則是“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”4. 簡單幾何體的表面積與體積：(1)柱體、錐體、臺體和球的表面積： S直棱柱側(cè)面積= ch,其中c為底面多邊形的周長，h為直棱柱的高. S正棱錐形面積=ch，其中c為底面多邊形的周長，h'為正棱錐的斜高2 S正棱偵面和=l(c+c)h，其中c，c分別是棱臺的上、下底面周長，h，為正棱臺口 、2的斜

6、高. S圓柱側(cè)面積= 2;iRh,其中R是圓柱的底面半徑，h是圓柱的高. S圓錐側(cè)面積= 職1,其中R是圓錐的底面半徑，l是圓錐的母線長. S球=4忒，其中R是球的半徑.柱體、錐體、臺體和球的體積： V柱體=Sh,其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.1 V錐體=；Sh,其中S是錐體的底面積，h是錐體的局.1 V臺體=-h(S+JSS+S)，其中S，S分別是臺體的上、下底面的面積，h為臺體3的高._43 諾求=tR3,其中R是球的半徑.3【復(fù)習(xí)要求】1. 了解柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征；2. 會畫出簡單幾何體的三視圖，會用斜二側(cè)法畫簡單空間圖形的直觀圖;3. 理解球、棱柱、棱錐、臺的

7、表面積與體積的計算公式.【例題分析】例1如圖，正三棱錐 P-ABC的底面邊長為a,側(cè)棱長為b.(I )證明：PA ± BC;(n )求三棱錐P ABC的表面積；(m )求三棱錐P ABC的體積.PA(BC)的平面即可；對于(n )則要根據(jù)正【分析】對于(I )只要證明BC(PA)垂直于經(jīng)過 三棱錐的基本性質(zhì)進(jìn)行求解.證明：(I )取BC中點D，連接AD , PD .P ABC是正三棱錐，.ABC是正三角形，三個側(cè)面 PAB, PBC, PAC是全等的等腰三角形. D 是 BC 的中點，BC± AD,且 BC ± PD ,. .BCL平面 PAD, . PA

8、7;BC.(H )解：在 RtA PBD 中，PD ="PB2 _BD2 =k4b2 -a2,21 a . o o-S pbc BC PD = 4b - a -2 4.三個側(cè)面 PAB , PBC, PAC是全等的等腰三角形,三棱錐P ABC的側(cè)面積是 3a 4b2 - a2.4.ABC是邊長為a的正三角形，三棱錐 P ABC的底面積是；.4b2-a2=y（a "2-跖2）(m )解：過點P作POL平面ABC于點O,則點O是正 ABC的中心,Ra2 3三棱錐P ABC的表面積為 +蘭J1 1 3a ： i 3a-OD = AD =：, 3b2 一 a2,33 326在 Rt

9、 POD 中，PO = JPD2 -OD2三棱錐P ABC的體積為-乂 M乙 3b2-a2 = ： , 3b2-a2 .34312【評述】1、解決此問題要求同學(xué)們熟悉正棱錐中的幾個直角三角形，如本題中的Rt POD,其中含有棱錐的高 PO;如Rt PBD,其中含有側(cè)面三角形的高 PD,即正棱錐的 斜高；如果連接 OC,則在Rt POC中含有側(cè)棱.熟練運用這幾個直角三角形，對解決正 棱錐的有關(guān)問題很有幫助.2、正n(n= 3, 4, 6)邊形中的相關(guān)數(shù)據(jù):正三角形正方形正六邊形邊長aaa對角線長克a長：2a；短：! 3a邊心距vaa2Ta面積3 2 va2 a33 22 a外接圓半徑寸a例2 如

10、圖，正三棱柱 ABC A1B1C1中，E是AC的中點.(I )求證：平面 BEC1±平面ACC1A1； (n )求證：AB1 II平面BEC1.【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考.證明：(I ). ABC A1B1C1 是正三棱柱，二 AA1±平面 ABC, BEX AA1.ABC是正三角形，E是AC的中點，BE ± AC, .BEX平面 ACC1A1，又BE二 平 面 BEC,平面 BEC1 X平面 ACC1A1 -(n )證明：連接 BiC,設(shè) BOiH Bi

11、C = D.BCC1B1 是矩形，D 是 BiC 的中點，DE / ABi.又 DEU 平面 BECi, ABiQ 平面 BECi,ABi II 平面 BECi .例3 在四棱錐 P ABCD中，平面 FAD±平面 ABCD , AB/ DC , PAD是等邊三角形，已知 BD = 2AD = 8, AB=2DC=4j5.(I )設(shè)M是PC上的一點，證明：平面 MBD上平面FAD;(n )求四棱錐P ABCD的體積.【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從 M是PC上 的動點分析知，MB, MD隨點M的變動而運動，因此可考慮平面MBD內(nèi)“不動”的直線BD是否垂

12、直平面 PAD .證明：(I )在左ABD中，由于 AD = 4, BD = 8, AB = 4寸5 ,所以 AD2+ BD2= AB2.故 AD±BD.又平面PAD!平面 ABCD,平面 PAD n平面 ABCD = AD, BD二 平面 ABCD,所以BD上平面PAD,又BDU平面MBD，故平面 MBD±平面 PAD.(H )解：過 P作POL AD交AD于O,由于平面 PAD!平面 ABCD,所以PO±平面 ABCD.因此PO為四棱錐P ABCD的高，f-又 PAD是邊長為4的等邊三角形.因此 PO=*x4 = 2j3.DC, AB= 2DC, 一4 8 8

13、 5Rt ADB中，斜邊 AB邊上的局為 七8 =8_5 ,即為4、55在底面四邊形ABCD中，AB/所以四邊形ABCD是梯形，在 梯形ABCD的高，一 ，,2 5 4 5 8 - 5所以四邊形 ABCD的面積為s=4 5土5=24.故2 5iVPxbcd =一 24 2.3 =i6.3.3例4如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖.它的主視圖和左視圖在下面畫出 (單位：cm)(I )畫出該多面體的俯視圖；(n)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(m )在所給直觀圖中連結(jié) BC/,證明：BC，/平面EFG.【分析】畫三視圖的基本原則是“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬

14、” ，根據(jù)此原 則及相關(guān)數(shù)據(jù)可以畫出三視圖.證明：(I )該幾何體三視圖如下圖:4(左視圖)(俯視圖)112842.(n )所求多面體體積V =V長方體一V正三棱錐=4j<4x：6 k(x：2x：2)x：2=(cm ).3 23(m )證明：在長方體 ABCD A'B'C'D'中，連結(jié) AD'，貝U AD' / BC'.因為E, G分別為AA', A'D'中點， 所以AD' / EG,從而EG / BC '.又BC'吠平面EFG , 所以BC' /平面 EFG .D*CAB2,

15、例5 有兩個相同的直二棱枉，底面二角形的二邊長分別是3a, 4a, 5a,局為一，其a中a>0.用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的一個是四棱柱，求a的取值范圍.A,解：直三棱柱ABC A1B1C的三個側(cè)面的面積分別是 6, 8, 10,底面積是6a2,因此每 個三棱柱的表面積均是 2 x 6a2+ 6+ 8+ 10 = 12a2+ 24 .情形：將兩個直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面積為：2X (12a2+ 24) 2X 6a2= 12a2+ 48.情形：將兩個直三棱柱的側(cè)面ABB1A1重合拼在一起，結(jié)果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表

16、面積一定是：2X (12a2+ 24) 2X 8 = 24a2+ 32.情形：將兩個直三棱柱的側(cè)面ACC1A1重合拼在一起，結(jié)果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面積一定是：2X (12a2+ 24) 2X 6 = 24a2+ 36.情形：將兩個直三棱柱的側(cè)面 BCC1B1重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面積為：2X (12a2+ 24) 2X 10= 24a2 + 28在以上四種情形中，、的結(jié)果都比大， 所以表面積最小的情形只能在、中產(chǎn)5依題意“表面積最小的一個是四棱柱”，得24a2+ 28 v 12a2 + 48,解得a2 二3一 ,，一 .15所以a的取值范圍是(0,上15)，3例

17、6 在棱長為a的正方體 ABCD A1B1C1D1中，E, F分別是BB，CD的中點，求三 棱錐F A1ED1的體積.ARG 8【分析】計算三棱錐F A1ED1的體積時，需要確定錐體的高，即點F到平面A1ED1的距離，直接求解比較困難.利用等積的方法，調(diào)換頂點與底面的方式,如 Vf AED1 = VA1 -EFD1 ,也不易計算，因此可以考慮使用等價轉(zhuǎn)化的方法求解.解法1:取AB中點G,連接FG, EG, AG. GF / AD / A1D1, GF/ 平面 A1ED1,- F到平面A1ED1的距離等于點 G到平面A1ED1的距離.VF -A1ED1=Vg -A1ED1113 21 3=VD1

18、 AEG = § S. AeG A1D1=3 a a=8a.解法2:取CCi中點H,連接FAi, FD1, FH ,FCi, DiH，并記 FCiH DiH = K. AiDi EH , AiDi= EH, . .Ai, Di , H , E 四點共面.AiDi 上平面 CiCDDi, FC ± AiDi.又由平面幾何知識可得 FCi± DiH, FC±平面AiDiHE .- FK的長度是點F到平面AiDiHE(AiEDi)的距離.六曰卡/曰3一5、,ii 、5 2 3. 5a i谷勿求侍 fk =a, vf/EDi = 3sAiEDi fk =3 -a

19、 io =8練習(xí)1 2一、選擇題：1 .將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則這個球的表面積為（）（A）2 二（B）4 二（C）8 二（D）16 二2.如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（）（A）9 二（B）10 二（C）11 二（D）12 二3. 有一種圓柱體形狀的筆筒，底面半徑為4 cm,高為12 cm.現(xiàn)要為100個這種相同規(guī)格的筆筒涂色（筆筒內(nèi)外均要涂色，筆筒厚度忽略不計）.如果所用涂料每0.5 kg可以涂1 m2, 那么為這批筆筒涂色約需涂料（）（A）1.23 kg（B）1.76 kg（C）2.46 kg（D）3.52 kg4. 某幾何體的一條棱長為J7，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為 V6的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+ b的最大值為（）(A) 2、2(B) 2 - 3(C)4