函數(shù)表示與定義域值域

1、一般地，我們有：一般地，我們有： 設(shè)設(shè)A、B是是非空數(shù)集非空數(shù)集，如果按照某種，如果按照某種確定的確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)數(shù)x，在，在集合集合B中都有中都有唯一唯一確定的數(shù)確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么稱和它對(duì)應(yīng)，那么稱f：AB為從集合為從集合A到集合到集合B的的一個(gè)一個(gè)函數(shù)函數(shù)（function），記作：），記作：y=f(x)， x A （1）x 自變量自變量（2）A 定義域定義域（3）y的范圍的范圍值域值域一一 函數(shù)的定義函數(shù)的定義解讀解讀（1）A和和B 集合都必須是非空集合。集合都必須是非空集合。（2）在）在A 集合中的任意一個(gè)集合中的

2、任意一個(gè)X，在，在B集合中集合中有且只有唯一值有且只有唯一值與之相對(duì)應(yīng)。與之相對(duì)應(yīng)。多個(gè)多個(gè)X對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)Y可以，可以，1個(gè)個(gè)X對(duì)應(yīng)多個(gè)對(duì)應(yīng)多個(gè)Y不可以。如不可以。如 y=x2（），），x=y2（x）思考一：如何判定一個(gè)圖形是不是函數(shù)圖象？下列思考一：如何判定一個(gè)圖形是不是函數(shù)圖象？下列各圖中，哪些不可能是函數(shù)各圖中，哪些不可能是函數(shù) 的圖象？的圖象？( )yf xOyxOyxOyxOyx（1） （2）（3） （4）二二 區(qū)間的含義區(qū)間的含義特別的，實(shí)數(shù)集特別的，實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間（可以用區(qū)間（- ，+ ）讀作讀作“負(fù)無(wú)窮負(fù)無(wú)窮”到到“正無(wú)窮正無(wú)窮”。X2 可以表示為（可以表示為（2，+

3、）。）。;0:,0,1 ,1)1(;:,)1(;:,)2(|;|:,0y|y,)1(2yxfBAxyxfZBZAxyxfZBZAxyxfBRA例例1 1 下列對(duì)應(yīng)是否為下列對(duì)應(yīng)是否為A A到到B B的函數(shù)：的函數(shù)：例例2函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域使函數(shù)表達(dá)式有意義時(shí)的使函數(shù)表達(dá)式有意義時(shí)的X的取值集合的取值集合例例1 函數(shù)函數(shù)f(x)= x+3 + 1/(x+1) 求求f（x） 的定義域。的定義域。例例2 函數(shù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0,3 ，求，求f（3x+2） 的定義域。的定義域。例例3 函數(shù)函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0,3 ，求，求f（x） 的定義域。的定義域。例例1

4、 函數(shù)函數(shù)y=x2+2x-4，求其值域。，求其值域。函數(shù)的值域函數(shù)的值域二次函數(shù)配方法二次函數(shù)配方法例例2 函數(shù)函數(shù)y=3x2+4x-2，求其值域。，求其值域。拿到一個(gè)函數(shù)，先求定義域，拿到一個(gè)函數(shù)，先求定義域，再求其他再求其他界值法（自變量有取值范圍）界值法（自變量有取值范圍）例例1 函數(shù)函數(shù)y=x2+2x-4，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?-2,3，求其值域。，求其值域。例例2 函數(shù)函數(shù)y=-x2+3x+2，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?2,3 求其值域。求其值域。數(shù)形結(jié)合法（利用圖像）數(shù)形結(jié)合法（利用圖像）例例 函數(shù)函數(shù)y= x-1 求其值域。求其值域。就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)

5、變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。就是用圖象表示兩個(gè)變量之就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。的對(duì)應(yīng)關(guān)系。求函數(shù)解析式（1）代入法例1 已知f(x)=x2+2x , g(x)=3x , 求f(1), f(2x+1),fg(x), gf (x) 例2 已知f(x)=2x-1 , g(x)= x2 ,x0 -1 , x0求fg(x), gf (x) 例3 已知f(x)= x2 ,x-1 -1 ,-1x2 x2 /2, x2 f(a)=3求a（3）待定系數(shù)法對(duì)于已知函數(shù)模型的函數(shù)對(duì)于已知函數(shù)模型的函數(shù)例1 已知f

6、(x)為一次函數(shù)，且ff(x)=4x+7求f(x）f(x)=2x+7/3 or f(x)=-2x-7例2 已知f(x)為一次函數(shù)，且fff(x) =27x+13求f(x）f(x)=3x+1（2）換元法例1 已知f(2x+1)=x2-1, 求f(x）例2 已知f( x +2)=x2-1 , 求f(x）注意：換元的之后，新自變量的定義域的變化注意：換元的之后，新自變量的定義域的變化（4）抽象函數(shù)問(wèn)題例1 已知f(x)-2f(1/x)=3x+2, 求f(x）例2 已知2f(x)-1/3f(-x)=3x2+x-1, 求f(x）例1、已知f(n)= ,則的值為_(kāi)ff(n+5),(n10)n-3,(n 1

7、0)f(5)8（5）循環(huán)問(wèn)題一般地，我們有：一般地，我們有： 設(shè)設(shè)A、B是是非空集合非空集合，如果按照某種，如果按照某種確定的確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)數(shù)x，在，在集合集合B中都有中都有唯一唯一確定的數(shù)確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么稱和它對(duì)應(yīng)，那么稱f：AB為從集合為從集合A到集合到集合B的的一個(gè)一個(gè)映射。映射。（mapping）。）。例例6、以下給出的對(duì)應(yīng)是不是從集合、以下給出的對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合到集合B的映射？的映射？（1）集合）集合A=P|P是數(shù)軸上的點(diǎn)是數(shù)軸上的點(diǎn)，集合，集合B=R，對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：數(shù)：數(shù)軸上的點(diǎn)與它所代表的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)；軸上的點(diǎn)與它所代表的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)；（2）集合）集合A=P|P是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，集合集合B= ，對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：平面直角坐標(biāo)：平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)；系中的點(diǎn)與它的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)；（3）集合）集合A=x|x是三角形是三角形，集合，集合B=x|x是圓是圓，對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)應(yīng)關(guān)系f :每一個(gè)三角形都對(duì)應(yīng)它的內(nèi)切圓；每一個(gè)三角形都