大學(xué)物理08--1簡(jiǎn)諧振動(dòng)

1、第八章第八章 振動(dòng)振動(dòng)振動(dòng)和波是物理中的重要領(lǐng)域：振動(dòng)和波是物理中的重要領(lǐng)域：大量存在大量存在無(wú)無(wú)“序序”運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)；分子熱運(yùn)動(dòng)、；分子熱運(yùn)動(dòng)、有序運(yùn)動(dòng)有序運(yùn)動(dòng)；振動(dòng)就是一種周期運(yùn)動(dòng)。；振動(dòng)就是一種周期運(yùn)動(dòng)。振動(dòng)：描寫(xiě)某一系統(tǒng)狀態(tài)的物理量在一定范圍內(nèi)作振動(dòng)：描寫(xiě)某一系統(tǒng)狀態(tài)的物理量在一定范圍內(nèi)作 周期性變化，則這系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為振動(dòng)。周期性變化，則這系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為振動(dòng)。復(fù)雜的振動(dòng)可以分解成若干個(gè)最簡(jiǎn)單的振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)復(fù)雜的振動(dòng)可以分解成若干個(gè)最簡(jiǎn)單的振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)最基本的振動(dòng)，為研究復(fù)雜的振動(dòng)打下基礎(chǔ)。最基本的振動(dòng)，為研究復(fù)雜的振動(dòng)打下基礎(chǔ)。機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近所作的周期性往復(fù)

2、運(yùn)動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近所作的周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)一）何謂簡(jiǎn)諧振動(dòng)一）何謂簡(jiǎn)諧振動(dòng) XoFx)1(kxF平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)OX。（回復(fù)力）（回復(fù)力） maF022 kxdtxdm81 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 22dtxdmShockwave Flash Object022xmkdtxd2mk令：令：)2(0222xdtxd解此微分方程：解此微分方程：)3()cos(tAxA：初始條件決定初始條件決定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程（振動(dòng)方程）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程（振動(dòng)方程）定義定義:符合符合1、2、3式特征的振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)式特征的振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng))cos(tAxdtdxv dtdva x2二）

3、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度二）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度 加速度加速度 )sin(tA)cos(2tA)2cos(tA)cos(2tAtx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT三）描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量三）描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量)cos(tAx1）振幅）振幅 : 離開(kāi)平衡位置最大位移的絕對(duì)值離開(kāi)平衡位置最大位移的絕對(duì)值)cos(tAxAxmax類(lèi)似的類(lèi)似的)sin(tAvAvmax速度振幅速度振幅)cos(2tAa2maxAa加速度振幅加速度振幅2 2）周期）周期一周期一周期T后，振動(dòng)狀態(tài)就重復(fù)一次后，振動(dòng)狀態(tài)就重復(fù)一次)(cosTtAx2T2TcostAcosTtAt+T時(shí)刻時(shí)刻 t時(shí)刻振動(dòng)狀態(tài)完

4、全一樣時(shí)刻振動(dòng)狀態(tài)完全一樣完成一次全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。完成一次全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。4）角（圓）頻率）角（圓）頻率單位（弧度單位（弧度/秒）秒）2秒內(nèi)完成的振動(dòng)次數(shù)秒內(nèi)完成的振動(dòng)次數(shù)2對(duì)彈簧諧振子對(duì)彈簧諧振子mk /kmT22mk2T1mk213）頻率）頻率T1單位：?jiǎn)挝唬?赫茲赫茲 HZ 2單位時(shí)間完成振動(dòng)的次數(shù)單位時(shí)間完成振動(dòng)的次數(shù)T2固有周期固有周期固有頻率固有頻率決定于振動(dòng)決定于振動(dòng)系統(tǒng)本身系統(tǒng)本身)cos(tAx)2cos(tTAx)2cos(tAx用周期，頻率用周期，頻率振動(dòng)方程振動(dòng)方程可以表示為：可以表示為：振幅振幅描述振動(dòng)強(qiáng)度的物理量描述振動(dòng)強(qiáng)度的物理量周期，頻率，圓頻率周期，頻

5、率，圓頻率描述振動(dòng)快慢的物理量描述振動(dòng)快慢的物理量描述的都是振動(dòng)的總體情況，無(wú)法描述振動(dòng)描述的都是振動(dòng)的總體情況，無(wú)法描述振動(dòng)的細(xì)節(jié)情況，下面介紹其它的物理量的細(xì)節(jié)情況，下面介紹其它的物理量5）相位：）相位：)(t決定振動(dòng)狀態(tài)及進(jìn)程的物理量。決定振動(dòng)狀態(tài)及進(jìn)程的物理量。t=0時(shí)的相位稱(chēng)為初相。反映時(shí)的相位稱(chēng)為初相。反映t=0時(shí)的狀態(tài)。時(shí)的狀態(tài)。)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAa若相位已知，則振動(dòng)狀況就了如指掌了若相位已知，則振動(dòng)狀況就了如指掌了用相位表示，可以更好的反映振動(dòng)的周期性用相位表示，可以更好的反映振動(dòng)的周期性6）初相：）初相：振動(dòng)狀態(tài)決定其振幅振動(dòng)狀態(tài)決定其振幅A、頻

6、率、頻率 （或（或 T或或 ） 、初相初相 。這三者稱(chēng)為振動(dòng)三要素。這三者稱(chēng)為振動(dòng)三要素。)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAx)()(21tt21212121振動(dòng)振動(dòng)“1”超前超前“2”振動(dòng)振動(dòng)“1”落后落后“2”振動(dòng)振動(dòng)“1”和振動(dòng)和振動(dòng)“2”同相；同相；振動(dòng)振動(dòng)“1”和振動(dòng)和振動(dòng)“2”反相。反相。規(guī)定：規(guī)定：21另另在比較同頻率的諧振動(dòng)時(shí)，往往用到相位差概念。在比較同頻率的諧振動(dòng)時(shí)，往往用到相位差概念。)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAa)2cos(tA)cos(2tA速度超前位移速度超前位移2加速度超前速度加速度超前速度2加速度的積累得到速度加速度的

7、積累得到速度速度的積累得到位移速度的積累得到位移討論一下討論一下txav)cos(tAx)2cos(tAv)cos(2tAax-t圖圖v-t圖圖a-t圖圖t)cos(tAx)2cos(tAv)cos(2tAax-t圖圖v-t圖圖a-t圖圖紅紅黃黃綠綠vxa四）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示四）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示重要的是將三要素表示出來(lái)。重要的是將三要素表示出來(lái)。1）三角函數(shù)及其振動(dòng)曲線）三角函數(shù)及其振動(dòng)曲線)cos(tAxtx注意：對(duì)一個(gè)諧振動(dòng)而言，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相不同。注意：對(duì)一個(gè)諧振動(dòng)而言，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相不同。tx)cos(tAx設(shè)有一諧振動(dòng)設(shè)有一諧振動(dòng)作大小為作大小為A的以的以旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)

8、矢量A在在X軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)。軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)。2）用旋轉(zhuǎn)矢量表示）用旋轉(zhuǎn)矢量表示XY)(tA)cos(tAx投影點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)投影點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)故：旋轉(zhuǎn)矢量可以表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)故：旋轉(zhuǎn)矢量可以表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)能把三要素一目了然地表示出來(lái)。能把三要素一目了然地表示出來(lái)。優(yōu)點(diǎn)：形象化，便于振動(dòng)的合成。優(yōu)點(diǎn)：形象化，便于振動(dòng)的合成。旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅振幅矢量長(zhǎng)度矢量長(zhǎng)度圓頻率圓頻率角速度角速度初相初相初始時(shí)刻矢量與初始時(shí)刻矢量與X軸夾角軸夾角任意時(shí)刻矢量與任意時(shí)刻矢量與X軸夾角軸夾角相位相位XY)(tA)cos(tAx2tvtAv 在在X軸上的投影軸上的投影)2cos(tAvx)sin(

9、tA同樣：同樣：2Aa 在在X軸上的投影軸上的投影)cos(2tAax)cos(2tAa3）用復(fù)數(shù)表示）用復(fù)數(shù)表示歐拉公式歐拉公式)cos(tAxcossin iei對(duì)一諧振動(dòng)對(duì)一諧振動(dòng)為一復(fù)數(shù)為一復(fù)數(shù))(tiAeA的實(shí)部的實(shí)部)(tieAeRxx)(tiAe把諧振動(dòng)用復(fù)數(shù)代表：把諧振動(dòng)用復(fù)數(shù)代表：優(yōu)點(diǎn)：便于諧振動(dòng)的計(jì)算。優(yōu)點(diǎn)：便于諧振動(dòng)的計(jì)算。XoFx)cos(tAx動(dòng)能：動(dòng)能：)sin(tAdtdxv221mvEk221kxEP五）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量五）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量)(sin21222tmA勢(shì)能：勢(shì)能：)(cos2122tkA系統(tǒng)總能：系統(tǒng)總能：pkEEE2mk2mk 2221mAE 221

10、kA2A1）振動(dòng)動(dòng)能和振動(dòng)勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總能量守恒）振動(dòng)動(dòng)能和振動(dòng)勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總能量守恒2AE A是振動(dòng)強(qiáng)度的標(biāo)志是振動(dòng)強(qiáng)度的標(biāo)志2）另：另：2221mA221kAE 2max21mv在任意位置處：在任意位置處：)(xv222121kxmvEEEpk221kA)(222xAmkv)(222xA 22xA 六）確定振動(dòng)方程六）確定振動(dòng)方程)cos(tAx利用初始條件利用初始條件0t0 xx 0vv 求求A1）解析法）解析法)2(sin0Av)1 (cos0Ax )sin(tAdtdxv解方程即可解方程即可2）公式法）公式法)4(00 xvtg)3(22020vxA3）旋轉(zhuǎn)矢量法）旋轉(zhuǎn)矢量法有時(shí)

11、能簡(jiǎn)單求出有時(shí)能簡(jiǎn)單求出例例1 一諧振動(dòng)一諧振動(dòng)X0=0.707cm，sscmov/10,/7. 70求初相求初相00 xvarctg1 arctg解：解：看是否同時(shí)滿(mǎn)足：看是否同時(shí)滿(mǎn)足：)2(sin0Av)1 (cos0Ax )315(45707.01007.7 arctg13545 或)4(00 xvtgX旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法第四象限第四象限tx例例2：諧振動(dòng)的位移時(shí)間曲線如圖，求振動(dòng)方程：諧振動(dòng)的位移時(shí)間曲線如圖，求振動(dòng)方程004.08 . 0由圖可知：由圖可知：mA04.0sT8 .0T25 .2初始條件：初始條件：0t時(shí)時(shí)0cos0Ax2/2/sin0Av02/)2/5 .2cos(

12、04.0tx例例3：一彈簧：一彈簧 K ，如圖：求振動(dòng)方程，如圖：求振動(dòng)方程0l1l2lOX建立坐標(biāo)建立坐標(biāo)0)(01llkmg在在O點(diǎn)點(diǎn)m在任意點(diǎn)在任意點(diǎn)X,彈力彈力)(01xllkffmgF)(01xllkmgkx022kxdtxdm022xmkdtxd2mk令：令：0222xdtxd解此微分方程：解此微分方程：)cos(tAx12llA0tllxcos)(124)4)復(fù)擺復(fù)擺cl很小很小已知：已知：l軸至質(zhì)心的距離軸至質(zhì)心的距離mg擺的質(zhì)量擺的質(zhì)量m及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，JM 22sindtdJmglsin22JmgldtdJmgldtd22022Jmgldtd022

13、Jmgldtd令令Jmgl20222dtd所以小角度復(fù)擺作諧振動(dòng)所以小角度復(fù)擺作諧振動(dòng)2TclmgZ+對(duì)于單擺對(duì)于單擺2mlJ mglJT2mglml22gl2mglJ25 5）如圖所示，一長(zhǎng)為）如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng) L的立方體木塊浮于靜水中，浸入的立方體木塊浮于靜水中，浸入水中部分的高度為水中部分的高度為b b。今用手將木塊壓下去，放手讓其。今用手將木塊壓下去，放手讓其開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。若忽略水對(duì)木塊阻力，證明木塊作諧振動(dòng)。開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。若忽略水對(duì)木塊阻力，證明木塊作諧振動(dòng)。bXmg浮F以水面為原點(diǎn)建立坐標(biāo)以水面為原點(diǎn)建立坐標(biāo)OX受力分析：受力分析：gblmg2水glxbF2)( 水浮x靜止時(shí)，重力等于浮力靜止時(shí)，重力等于浮力一般位置，浮力為一般位置，浮力為maFmg浮gblmg2水glxbF