最全“將軍飲馬”類問題(類型大全+分類匯編)

1、 最全“將軍飲馬”類問題(類型大全+分類匯編)1.如圖，直線 l 和 l 的異側(cè)兩點(diǎn) A、B，在直線 l 上求作一點(diǎn) P，使 PA+PB 最小。2.如圖，直線 l 和 l 的同側(cè)兩點(diǎn) A、B，在直線 l 上求作一點(diǎn) P，使 PA+PB 最小。3.如圖，點(diǎn) P 是MON 內(nèi)的一點(diǎn)，分別在 OM，ON 上作點(diǎn) A，B。使PAB 的周長(zhǎng)最小 4.如圖，點(diǎn) P，Q 為MON 內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在 OM，ON 上作點(diǎn) A，B。使四邊形 PAQB 的 周長(zhǎng)最小。5.如圖，點(diǎn) A 是MON 外的一點(diǎn)，在射線 OM 上作點(diǎn) P，使 PA 與點(diǎn) P 到射線 ON 的距離之和最小6. .如圖，點(diǎn) A 是MON 內(nèi)的一

2、點(diǎn)，在射線 OM 上作點(diǎn) P，使 PA 與點(diǎn) P 到射線 ON 的距離之和最小二、常見題型三角形問題1如圖，在等邊ABC 中，AB = 6，ADBC，E 是 AC 上的一點(diǎn)，M 是 AD 上的一點(diǎn)，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值A(chǔ)MEH解：點(diǎn) C 關(guān)于直線 AD 的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) B，AEM連接 BE，交 AD 于點(diǎn) M，則 ME+MD 最小，過點(diǎn) B 作 BHAC 于點(diǎn) H，則 EH = AH AE = 3 2 = 1，BH =BC2 - CH2 =62 - 32 = 3 3在直角BHE 中，BE =BH2 + HE2B=(3 3)2 + 12 = 2 7DCBDC2如圖，在銳角AB

3、C 中，AB = 4 2，BAC45°，BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) D，M、N 分別是 AD 和 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，則 BM+MN 的最小值是解：作點(diǎn) B 關(guān)于 AD 的對(duì)稱點(diǎn) B'，過點(diǎn) B'作 B'EAB 于點(diǎn) E，交 AD 于點(diǎn) F， 則線段 B'E 的長(zhǎng)就是 BM的最小值 在等腰 RtAEB'中， 根據(jù)勾股定理得到，B'E = 4CB'M FDAN EB3如圖，ABC 中，AB=2，BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一點(diǎn) M、N，使 BM+MN 的值最小，則這個(gè)最小值CM 30° 解：作 AB

4、 關(guān)于 AC 的對(duì)稱線段 AB'，過點(diǎn) B'作 B'NAB，垂足為 N，交 AC 于點(diǎn) M， 則 B'N = MB'+MN = MB+MNB'N 的長(zhǎng)就是 MB+MN 的最小值則B'AN = 2BAC= 60°，AB' = AB = 2，ANB'= 90°，B' = 30°。AN = 1在直角AB'N 中，根據(jù)勾股定理 B'N =3AN2BM30°B'CAN2B正方形問題1如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 8，M 在 DC 上，丐 DM2，N 是 AC

5、 上的一動(dòng)點(diǎn)，DNMN 的最小值為_。N即在直線 AC 上求一點(diǎn) N，使 DN+MN 最小AD解：故作點(diǎn) D 關(guān)于 AC 的對(duì)稱點(diǎn) B，連接 BM，交 AC 于點(diǎn) N。則 DNBNM線段的長(zhǎng)就是 DN的最小值 在直角中， 則故 DN的最小值是BC2如圖所示，正方形 ABCD 的面積為 12，ABE 是等邊三角形，點(diǎn) E 在正方形 ABCD 內(nèi)，在對(duì)角線 AC 上有一點(diǎn) P，使 PDPE 的和最小，則這個(gè)最小值為（）EPA2 3B2 6C3D 6AD解：即在 AC 上求一點(diǎn) P，使 PE+PD 的值最小點(diǎn) D 關(guān)于直線 AC 的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) B，連接 BE 交 AC 于點(diǎn) P，則 BE = PB+

6、PE = PD+PE，BE 的長(zhǎng)就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 2 3BC3在邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD 中，點(diǎn) Q 為 BC 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) P 為對(duì)角線 AC 上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PB、PQ，則PBQ 周長(zhǎng)的最小值為_（結(jié)果不取近似值）. 解：在 AC 上求一點(diǎn) P，使 PB+PQ 的值最小點(diǎn) B 關(guān)于 AC 的對(duì)稱點(diǎn)是 D 點(diǎn)，連接 DQ，與 AC 的交點(diǎn) P 就是滿足條件的點(diǎn) DQ = PD+PQ = PB+PQ故 DQ 的長(zhǎng)就是 PB+PQ 的最小值在直角CDQ 中，CQ = 1 ，CD = 2 根據(jù)勾股定理，得，DQ =5A DPB QC4如圖，四邊形 ABCD 是正

7、方形， AB = 10cm，E 為邊 BC 的中點(diǎn)，P 為 BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+PE 的最小值；解：連接 AE，交 BD 于點(diǎn) P，則 AE 就是 PE+PC 的最小值A(chǔ) D在直角ABE 中，求得 AE 的長(zhǎng)為 5 5B EC矩形問題1如圖，若四邊形 ABCD 是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E 為邊 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P 為 BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+ PD 的最小值；C'HP解：作點(diǎn) C 關(guān)于 BD 的對(duì)稱點(diǎn) C'，過點(diǎn) C'，作 C'BBC，交 BD 于點(diǎn) P，則 C'E 就是 PE+PC 的最小值20AD直角BC

8、D 中，CH = 5直角BCH 中，BH = 8 5BCC'的面積為：BH×CH = 160 C'E×BC = 2×160則 CE' = 16BEC菱形問題1如圖，若四邊形 ABCD 是菱形， AB=10cm，ABC=45°，E 為邊 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P 為 BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+PE的最小值；解：點(diǎn) C 關(guān)于 BD 的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) A， 過點(diǎn) A 作 AEBC，交 BD 于點(diǎn) P，則 AE 就是 PE+PC 的最小值 在等腰EAB 中，求得 AE 的長(zhǎng)為 5 2ABP D EC梯形問題1已知直角梯形 ABCD 中，AD

9、BC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn) P 在 BC 上秱動(dòng)，則當(dāng) PA+PD 取最小值時(shí)，APD 中邊 AP 上的高為（）1717A、 2B、 4C、 8 17D、3AD171717解：作點(diǎn) A 關(guān)于 BC 的對(duì)稱點(diǎn) A'，連接 A'D，交 BC 于點(diǎn) P則 A'D = PA'+PD = PA+PDA'D 的長(zhǎng)就是 PA+ PD 的最小值 SAPD = 4在直角ABP 中，AB = 4，BP = 1 根據(jù)勾股定理，得 AP = 17BPC4AP 上的高為：2× =178 1717A'圓的有關(guān)問題1已知O 的直徑 CD 為 4，A

10、OD 的度數(shù)為 60°，點(diǎn) B 是AD的中點(diǎn)，在直徑 CD 上找一點(diǎn) P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值解：在直線 CD 上作一點(diǎn) P，使 PA+ PB 的值最小A作點(diǎn) A 關(guān)于 CD 的對(duì)稱點(diǎn) A'，連接 A'B，B交 CD 于點(diǎn) P，則 A'B 的長(zhǎng)就是 PA+ PB 的最小值連接 OA'，OB，則A'OB=90°，CDOA' = OB = 4OP根據(jù)勾股定理，A'B = 4 2A'2如圖，MN 是半徑為 1 的O 的直徑，點(diǎn) A 在O 上，AMN30°，B 為 AN 弧的中

11、點(diǎn)，P 是直徑 MN 上一動(dòng)點(diǎn)，則PAPB 的最小值為()A 2 2B2C 1 D 2A解：MN 上求一點(diǎn) P，使 PA+PB 的值最小作點(diǎn) A 關(guān)于 MN 的對(duì)稱點(diǎn) A'，連接 A'B，交 MN 于點(diǎn) P，B則點(diǎn) P 就是所要作的點(diǎn)A'B 的長(zhǎng)就是 PA+PB 的最小值MN OP連接 OA'、OB，則OA'B 是等腰直角三角形 A'B =2A'一次函數(shù)問題20一次函數(shù) y=kx+b 的圖象與 x、y 軸分別交于點(diǎn) A（2，0），B（0，4）（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) OA、AB 的中點(diǎn)分別為 C、D，P 為 OB

12、上一動(dòng)點(diǎn)，求 PCPD 的最小值，并求取得最小值時(shí) P 點(diǎn) 坐標(biāo)yBDPxC'OCA解：(1)由題意得：0 = 2x+b，4 = b 解得 k = -2，b= 4， y = -2x+4(2)作點(diǎn) C 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn) C'，連接 C'D，交 y 軸于點(diǎn) P 則 C'D = C'P+PD = PC+PDC'D 就是 PC+PD 的最小值連接 CD，則 CD = 2，CC' = 2在直角C'CD 中，根據(jù)勾股定理 C'D = 2 2 求直線 C'D 的解析式，由 C'(-1，0)，D(1，2)，有 0 =

13、-k+b，2 = k+b 解得 k = 1，b = 1， y = x+1當(dāng) x = 0 時(shí)，y =1，則 P(0，1)二次函數(shù)問題1如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（-2，0），連結(jié) 0A，將線段 OA 繞原點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120。，得到線段 OB.（1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過 A、O、B 三點(diǎn)的拋物線的解析式；yBCxAO（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) C，使BOC 周長(zhǎng)最小？若存在求出點(diǎn) C 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解：(1)B(1， 3 )(2) y =32 3x2 +x33(3)點(diǎn) O 關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) A，則連接 AB， 交對(duì)稱軸于點(diǎn) C，則

14、BOC 的周長(zhǎng)最小3y =x2 + 32 33x ，當(dāng) x=-1 時(shí)，y =333C(-1，) 32如圖，在直角坐標(biāo)系中，A，B，C 的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過 A，B，C 三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直 線 l，D 為直線 l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，(1)求拋物線的解析式；(2)求當(dāng) AD+CD 最小時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)； (3)以點(diǎn) A 為圓心，以 AD 為半徑作圓 A；解：（1）證明：當(dāng) AD+CD 最小時(shí)，直線 BD 與圓 A 相切；寫出直線 BD 與圓 A 相切時(shí)，點(diǎn) D 的另一個(gè)坐標(biāo)。（2）連接 BC，交直線 l 于點(diǎn) D，則 DA+DC = DB+DC = BC， BC

15、的長(zhǎng)就是 AD+DC 的最小值BC：y = -x + 3則直線 BC 與直線 x = 1 的交點(diǎn) D(1，2)，yCDAOBx3拋物線 y = ax2+bx+c(a0)對(duì)稱軸為 x = -1，與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，其中 A(-3，0)、C(0，-2)（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn) P，使得PBC 的周長(zhǎng)最小請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)（3）若點(diǎn) D 是線段 OC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) O、點(diǎn) C 重合）過點(diǎn) D 作 DEPC 交 x 軸于點(diǎn) E，連接 PD、PE設(shè) CD 的長(zhǎng)為 m，PDE 的面積為 S求 S 與 m 之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)OxAB

16、PC試說明 S 是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由bïì2a = 1 (1)由題意得í9a-3b+c = 02解得 a =34，b =3，c = - 2îïc = -2拋物線的解析式為 y =2x2 + 34x - 23yEOxABDPC(2)點(diǎn) B 關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) A，連接 AC 交對(duì)稱軸于點(diǎn) P，則PBC 的周長(zhǎng)最小 設(shè)直線 AC 的解析式為 y = kx +b，A(-3，0)，C(0，-2)，則ïì0 = -3k + bíîï-2 = b2解得 k = -3，b = -22直線 AC 的解析式為 y = -34x 24把 x = -1 代入得 y = -3，P(-1，-) 3(3)S 存在最大值OEDEPC，= OAODOE，即=OC32-m2OE = 3 -