變化率與導數(shù)

1、第二章 第十一節(jié) 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算一、選擇題1.(2012·新田模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f(x)是f(x)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是()A0<f(2)<f(3)<f(3)f(2)B0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)C0<f(3)<f(2)<f(3)f(2)D0<f(3)f(2)<f(2)<f(3)解析：由導數(shù)的幾何意義可知，f(2)、f(3)分別表示曲線在x2，x3處的切線的斜率，而f(3)f(2)表示直線AB的斜率，即kABf(3)f(2)由圖形可知0<f(3)<f

2、(3)f(2)<f(2)答案：B2(2011·山東高考)曲線yx311在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是()A9B3C9 D15解析：y3x2，故曲線在點P(1,12)處的切線斜率是3，故切線方程是y123(x1)，令x0得y9.答案：C3(2011·湖南高考)曲線y在點M(，0)處的切線的斜率為()A B.C D.解析：y，把x代入得導數(shù)值為.答案：B4設曲線yax2在點(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a()A1 B.C D1解析：y2ax，y|x12a.即yax2在點(1，a)處的切線斜率為2a.直線2xy60的斜率為2.這兩直線平行，它們的

3、斜率相等，即2a2，解得a1.答案：A5(2012·泰安模擬)若點P是曲線yx2lnx上任意一點，則點P到直線yx2的最小距離為()A1 B.C. D.解析：設P(x0，y0)，則y|xx02x0.由2x01，得x01或x0(舍)P點坐標(1,1)P到直線yx2距離為d.答案：B6(2011·湖北高考)放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變假設在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M(單位：太貝克)與時間t(單位：年)滿足函數(shù)關系：M(t)M02，其中M0為t0時銫137的含量已知t30時，銫137含量的變化率是10ln2(

4、太貝克/年)，則M(60)()A5太貝克 B75ln2太貝克C150ln2 太貝克 D150太貝克解析：因為M(t)M02·ln2，所以M(30)M0ln210ln2.所以M0600.所以M(t)600×2.所以M(60)600×22150(太貝克)答案：D二、填空題7已知f(x)x22xf(1)，則f(0)_.解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.答案：48(2012·啟東模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax4(aR)，若函數(shù)yf(x)的圖象在點P(1，f(1)處的切線的傾斜角為，則a_.解析：f(x)

5、3x2a，yf(x)的圖象在點P處的切線的傾斜角為，即f(1)tan，3a1，解得a4.答案：49若曲線f(x)ax5lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：曲線f(x)ax5lnx存在垂直于y軸的切線，即f(x)0有解又f(x)5ax4，方程5ax40有解5ax51有解又x>0，a<0.故實數(shù)a的取值范圍是(，0)答案：(，0)三、解答題10求下列函數(shù)的導數(shù)(1)yx2sin x；(2)y；解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)法一：y.法二：y1，y1()，即y.11已知曲線f(x)e2x1在點A處的切線和曲線g(x

6、)e2x1在點B處切線互相垂直，O為坐標原點且·0，求AOB的面積解：f(x)e2x1·(2x1)e2x1，g(x)e2x1·(2x1)e2x1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1，y2，f(x1)，g(x2)，x1x21，x1x2，x1，x2，y1，y2，OA，OB，即A(，)，B(，)·0，SAOB××.12已知曲線S：y3xx3及點P(2,2)(1)求過點P的切線方程；(2)求證：與曲線S切于點(x0，y0)(x00)的切線與S至少有兩個交點解：(1)設切點為(x0，y0)，則y03x0x.又f(x)33x2，切線斜率k33x.即3x0x2(x02)(33x)(x01)(x01)230.解得x01或x01±.相應的斜率k0或k9±6，切線方程為y2或y(9±6)(x2)2.(2)證明：與曲線S切于點(x0，y0)的切線方程可設為yy0(33x)(xx0)，與曲線S的方程聯(lián)立，消去y，得3x