人教版高中數(shù)學(xué)任意角的三角函數(shù)——三角函數(shù)線(xiàn)教案

1、任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)線(xiàn)教學(xué)背景：    1教材地位分析：三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而三角函數(shù)線(xiàn)的概念及其應(yīng)用不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又貫穿整個(gè)三角函數(shù)的教學(xué).借助三角函數(shù)線(xiàn)可以推出三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，求解三角函數(shù)不等式，探索三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以說(shuō),三角函數(shù)線(xiàn)是研究三角函數(shù)的有利工具.2學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析：學(xué)習(xí)本節(jié)前,學(xué)生已經(jīng)掌握任意角三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)值在各象限的符號(hào),以及誘導(dǎo)公式一,為三角函數(shù)線(xiàn)的尋找做好了知識(shí)準(zhǔn)備.教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)目標(biāo): 使學(xué)生掌握如何利用單位圓中的有向線(xiàn)段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值,并能利用三角函數(shù)線(xiàn)解決一些

2、簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題.2能力目標(biāo): 通過(guò)尺規(guī)作圖讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類(lèi)比、猜想和實(shí)驗(yàn)探索的能力；充分發(fā)揮學(xué)生的自主探究性，讓學(xué)生借助所學(xué)知識(shí)自己去發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力.3情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：1重點(diǎn)：三角函數(shù)線(xiàn)的作法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.2難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來(lái).教學(xué)方法與教學(xué)手段：1教法選擇：“設(shè)置問(wèn)題，探索辨

3、析，歸納應(yīng)用，延伸拓展”科研式教學(xué).2學(xué)法指導(dǎo)：類(lèi)比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識(shí)遷移；觀察、實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程；猜想、求證，達(dá)到知識(shí)的延展.教學(xué)過(guò)程：一、設(shè)置疑問(wèn),實(shí)驗(yàn)探索（17分鐘）(一)設(shè)置疑問(wèn)，點(diǎn)明主題前面我們學(xué)習(xí)了角的弧度制，角弧度數(shù)的絕對(duì)值 ，其中是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)弧的長(zhǎng)，r是圓的半徑.特別地, 當(dāng)r =1時(shí)，此時(shí)的圓稱(chēng)為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長(zhǎng)度表示所對(duì)圓心角弧度數(shù)的絕對(duì)值，那么能否用幾何圖形來(lái)表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今天一起要研究的問(wèn)題.設(shè)計(jì)意圖：既可以引出單位圓，又可以使學(xué)生通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想主動(dòng)、快速的探索出三角函數(shù)值的幾何形式.（二）概念學(xué)習(xí)，分散

4、難點(diǎn)有向線(xiàn)段：帶有方向的線(xiàn)段.（1）方向：按書(shū)寫(xiě)順序，前者為起點(diǎn)，后者為終點(diǎn)，由起點(diǎn)指向終點(diǎn).如：有向線(xiàn)段OM，O為起點(diǎn)，M為終點(diǎn)，由O點(diǎn)指向M點(diǎn).（動(dòng)態(tài)演示）(2) 數(shù)值：（只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線(xiàn)段）絕對(duì)值等于線(xiàn)段的長(zhǎng)度，若方向與坐標(biāo)軸同向，取正值;與坐標(biāo)軸反向，取負(fù)值.如： OM= 1， ON= -1， AP = 設(shè)計(jì)意圖：相關(guān)概念的學(xué)習(xí)分散了教學(xué)難點(diǎn),使學(xué)生能夠更多的圍繞重點(diǎn)展開(kāi)探索和研究.（三）試驗(yàn)探索角的終邊上任意一點(diǎn)P(除端點(diǎn)外)的坐標(biāo)是（），它與原點(diǎn)的距離是r, 比值叫做的正弦.思考:能否用幾何圖形表示出角的正弦呢?學(xué)生聯(lián)想角的弧度數(shù)與弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化, 類(lèi)比猜測(cè):若令

5、r=1，則.取角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為M，則有向線(xiàn)段MP=.(學(xué)生分析的同時(shí),教師用幾何畫(huà)板演示)請(qǐng)學(xué)生利用幾何畫(huà)板作出垂線(xiàn)段MP,并改變角的終邊位置,觀察終邊在各個(gè)位置的情形,注意有向線(xiàn)段的方向和正弦值正負(fù)的對(duì)應(yīng).特別地,當(dāng)角的終邊在軸上時(shí),有向線(xiàn)段MP變成一個(gè)點(diǎn),記數(shù)值為0.這條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段MP叫做角的正弦線(xiàn).2.思考:用哪條有向線(xiàn)段表示角的余弦比較合適?并說(shuō)明理由.請(qǐng)學(xué)生推導(dǎo)說(shuō)明,老師用圖形演示.有向線(xiàn)段OM叫做角的余弦線(xiàn).3. 如何用有向線(xiàn)段表示？討論焦點(diǎn)：若令=1, 則=AT，但是第二、三象限角的終邊上沒(méi)有橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，若此時(shí)取=-1的點(diǎn)T，

6、tan=-=TA,有向線(xiàn)段的表示方法又不能統(tǒng)一.引導(dǎo)觀察：當(dāng)角的終邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，它們的正切值有什么關(guān)系？統(tǒng)一認(rèn)識(shí)：方案1：在象限角的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)上取=1的點(diǎn)T，則=AT；方案2：借助正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)以及相似三角形知識(shí)得到.動(dòng)畫(huà)演示驗(yàn)證:當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，tan與有向線(xiàn)段AT的對(duì)應(yīng).這條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段AT叫做角的正切線(xiàn).二、作法總結(jié),變式演練（13分鐘）（一）作法總結(jié)正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)線(xiàn).請(qǐng)大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線(xiàn)的作法,并用幾何畫(huà)板演示(一學(xué)生描述,同時(shí)用電腦演示)：第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點(diǎn)P；第二步：過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為M，得正弦

7、線(xiàn)MP、余弦線(xiàn)OM；第三步：過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線(xiàn)，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)設(shè)為T(mén)，得角的正切線(xiàn)AT.特別注意：三角函數(shù)線(xiàn)是有向線(xiàn)段，在用字母表示這些線(xiàn)段時(shí)，要注意它們的方向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書(shū)寫(xiě)順序不能顛倒.余弦線(xiàn)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，正弦線(xiàn)和正切線(xiàn)以此線(xiàn)段與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn)，其中點(diǎn)A為定點(diǎn)（1，0）.設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)歸納總結(jié)，加深知識(shí)的理解和記憶.三、變式演練,提高能力：練習(xí).利用幾何畫(huà)板畫(huà)出下列各角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)：      （1）;      （2）.學(xué)生先做,然后投影展示一學(xué)

8、生的作品,并強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)線(xiàn)的位置和方向.設(shè)計(jì)意圖：鞏固練習(xí),準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)線(xiàn)的作法.例1在單位圓中畫(huà)出滿(mǎn)足的角的終邊. 共同分析：設(shè)角的終邊與單位圓交于P(),則,所以要作出滿(mǎn)足的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點(diǎn)P，則射線(xiàn)OP即為的終邊.（幻燈片動(dòng)態(tài)演示）設(shè)計(jì)意圖：逆向思維,靈活運(yùn)用三角函數(shù)線(xiàn),并為利用三角函數(shù)線(xiàn)求解三角函數(shù)不等式(組)作鋪墊.例2 在單位圓中畫(huà)出滿(mǎn)足的角的終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角的集合：分析：先作出滿(mǎn)足 的角的終邊(例1已做)，然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.（幻燈片演示）答案：（1）練習(xí)：1. 在單位圓中畫(huà)出滿(mǎn)足的角的終邊.2. 在單位圓中畫(huà)出滿(mǎn)足的角的終邊的范

9、圍，并由此寫(xiě)出角的集合.3.求函數(shù)的定義域.答案：.設(shè)計(jì)意圖：數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面.將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線(xiàn)段表示出來(lái)體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化；借助三角函數(shù)線(xiàn)求解三角函數(shù)方程和不等式又發(fā)揮了由形到數(shù)的巨大作用.四、思維拓展，論壇交流觀察角的終邊在各位置的情形,結(jié)合三角函數(shù)線(xiàn)和已學(xué)知識(shí)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,得出哪些結(jié)論？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散式思維，自主探究三角函數(shù)線(xiàn)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 學(xué)生得出的結(jié)論有以下幾種：(1) ； (2)sin + cos 1;(3) -1sin1, -1cos1, tanR;(4) 若兩角終邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，則兩角的正切值相等,正弦、余弦值互為相

10、反數(shù);(5) 當(dāng)角的終邊在第一象限逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小;(6) 當(dāng)角的終邊在直線(xiàn)的右下方時(shí), sincos;當(dāng)角的終邊在直線(xiàn)的左上方時(shí), sincos;設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生建設(shè)一個(gè)開(kāi)放的、有活力、有個(gè)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境.論壇交流既能展示個(gè)人才華,又能照顧到各個(gè)層次的學(xué)生.來(lái)自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知識(shí)又被他人的視點(diǎn)喚起，產(chǎn)生新的思想.這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生在輕松達(dá)成一個(gè)個(gè)階段目標(biāo)之后，順利到達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境界.五、歸納小結(jié),課堂延展（一）歸納小結(jié)1.回顧三角函數(shù)線(xiàn)作法.2.三角函數(shù)線(xiàn)是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問(wèn)題的重要工具，自從著名數(shù)學(xué)家歐拉提出三角函數(shù)與三角

11、函數(shù)線(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡(jiǎn)化，現(xiàn)在仍然是我們解三角不等式、比較大小、以及今后研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ).設(shè)計(jì)意圖：回顧三角函數(shù)線(xiàn)作法,再次加深理解和記憶.點(diǎn)明三角函數(shù)線(xiàn)在其他方面的應(yīng)用,以及數(shù)形結(jié)合思想,便于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中更深入的思考,更廣泛的研究.（二）鞏固創(chuàng)新，課堂延展鞏固作業(yè):習(xí)題4.3  1,2提升練習(xí)：1. 已知：，那么下列命題成立的是（  ）A若、是第一象限的角，則cos>cos.B. 若、是第二象限的角，則tan>tan.C. 若、是第三象限的角，則cos>cos.D. 若、是第四象限的角，則tan>tan.2求下

12、列函數(shù)的定義域：（1） y =;  (2) y = lg(34sin2x) .設(shè)計(jì)意圖：既能保證全體學(xué)生的鞏固應(yīng)用，又兼顧學(xué)有余力的學(xué)生，同時(shí)將探究的空間由課堂延伸到課外.六、板書(shū)設(shè)計(jì)和教學(xué)反思七、作業(yè)布置：教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明： 1.積極響應(yīng)新課標(biāo)教學(xué)理念，把課堂教給學(xué)生，提倡學(xué)生自主學(xué)習(xí).在新課標(biāo)教學(xué)理念指導(dǎo)下，充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢(shì)，既豐富三角函數(shù)線(xiàn)的概念，又培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的探索精神、創(chuàng)新意識(shí).2.不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法. 課堂教學(xué)最終是為了讓學(xué)生擺脫課堂,獨(dú)立學(xué)習(xí),所以不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法.本節(jié)課所采用的科研式教學(xué)法體現(xiàn)了研究新問(wèn)題的一般思路,讓學(xué)生逐步領(lǐng)悟這種科學(xué)的研究方法,有利于