輻射井流量計算

1、輻射井流量計算摘要輻射井是由一口大口徑的豎井和自豎井內(nèi)周圍含水層任意方向、高程打進一 層數(shù)條水平輻射管組成，地下水沿水平輻射管匯集到燧井中。輻射井與常規(guī)井相 比，具有出水量大、壽命長、管理費用低、維修方便、便于集中管理等優(yōu)點。從 20世紀60年代以來，輻射井技術己在我國推廣應用。如輻射井在華北深基坑工 程降水中，取得了較好的效果。隨著北京東直門地鐵站采用輻射井降水技術取得 成功，目前輻射井技術在地鐵施工乂發(fā)揮著重要作用。本題要求我們根據(jù)黃土地I乂地下水滲透特點，求出地下水降落曲線，輻射井 水量計算模型。解題過程中我們運用了微積分和函數(shù)極限的概念，并參考文獻中 的部分計算理論。針對第一問，參考文

2、獻【1】中理論及其分析，得知地下水降落曲線與水平 距離x近似滿足自然對數(shù)函數(shù)關系，據(jù)此我們假設了地下水降落曲線方程，運用 積分及函數(shù)極限的概念，求出待定系數(shù)，最終確定方程針對第二問，參考文獻2理論及分析，我們得到了水平距離x處的流量 與該處地下水水位線高度的函數(shù)關系，帶入數(shù)值驗證并對方程系數(shù)進行修正。關鍵字：輻射井，降水，滲透，極限，微積分，自然對數(shù)函數(shù)。一、問題重述問題背景輻射井是由大直徑集水豎井和集水井內(nèi)沿水平方向向含水層打進具有一定 長度的多層、數(shù)根至數(shù)十根水平輻射管組成。輻射井能夠有效開采不同含水層的 水源，單井出水量大，井的壽命長，節(jié)約動力，管理運行費用低，維修方便。福 射井的出水量

3、，是設計和布置輻射井工作中所需要解決的問題之一。需解決的問題本題是關于黃土中輻射井流量的問題?？紤]到黃土豎直滲透系數(shù)遠大于水平 滲透系數(shù)的特點，我們在建立模型計算時，在輻射管半徑范圍內(nèi)，只考慮豎直滲 透，在輻射管半徑范圍外，水平方向的水流很難流入輻射管內(nèi)，據(jù)此以及黃土的 特點，在抽水進行到一定階段，即輻射管半徑范圍內(nèi)的地下水水位與隔水底板高 差不太大時，水流的補給主要依靠輻射管半徑范圍外黃土中水的水平滲流。為了 得出輻射井出水量計算公式，在查閱有關文獻后我們建立了輻射井出水量與降落 曲線的函數(shù)關系，并通過積分，得到了出水量的計算公式。二、問題分析針對本題進行分析，可知本題的重點是得出地下水降落

4、曲線隨距離X的方程, 并且建立出水量計算方程。完整的解決這個問題需要運用積分，以及將數(shù)據(jù)帶入 建立好的方程，對方程的合理性進行分析，并得出最終方程。針對第一問，參考文獻1我們假設出地下水降落曲線隨距離X的方程， 式中含有待定系數(shù)，求解出該待定系數(shù)成為解決該問題的關鍵。對問題進一步分 析得知，該系數(shù)的求解將有其后流量與地下水高度的關系解出。針對第二問，參考文獻2的理論，我們得到了流量和地下水曲線高度的 函數(shù)關系，式中存在阻抗系數(shù)，并且在具體情況下應對上述流量和地下水曲線高 度的函數(shù)關系進行修正。在計算水量時，由于每根輻射管的情況相同，我們通過 對一根輻射管流量的計算，乘以輻射管數(shù)后得到總流量。三

5、、基本假設1. 在輻射管半徑范困內(nèi)只考慮土中水的豎直滲透。2. 潛水含水層均質(zhì)，隔水底板水平，在平面上無限分布；不考慮水和介質(zhì)骨架的壓縮性。3. 潛水完整井，無越流補給也無入滲或蒸發(fā)。4地下水降落曲線的高度變化僅與距集水豎井中心的距離有關，即距集水豎 井中心相同時，地下水降落曲線高度的z坐標相同您符號意義單位Hx距集水豎井中心水平距 離X處的水位高度米集水豎井中水面高度米Ho輻射管端點處水面高度米Ro輻射管端點距井中心的 水平距離米R2距集水豎井為&2-點米Ri距集水弦井為一點米Hi距集水豎井為月一點的 地下水水面高度米h2距集水嗟井為玲一點的 地下水水面高度米Qn輻射井出水量米 時a

6、待定系數(shù)r集水豎井半徑米n輻射管數(shù)0相鄰兩輻射管夾角度AH輻射管中心與隔水底板"匚1米其余符號均會在首次出現(xiàn)時作以說明，以上各符號代表的高度，均從隔水底板起算。五、模型的分析、建立與求解5. 1地下水降落曲線及輻射井出水量的分析分析題目條件，黃土地區(qū)由于黃土中豎直滲流遠大于水平滲流的特點，在輻 射管半徑范圍內(nèi)，地下水經(jīng)豎直滲流，匯入輻射管后流入集水井內(nèi)。而普通筒并 則是依靠微弱的水平滲流，使地下水匯入井中，這就造成了兩種井的地下水降落 曲線的不同。Z地面集豎AH不透水層XRo圖1 （輻射井工作狀況縱剖而圖）如圖1所示，輻射井在輻射管延伸范I韋1內(nèi)，水力坡度近井處平緩，遠處陡峭， 降落

7、曲線呈下凹曲線，與普通筒井相反，井壁處不發(fā)生水躍現(xiàn)象。在輻射管端點， 水力坡度陡增，并出現(xiàn)凹凸拐點。在輻射管延伸范圍外，降落曲線呈上凸曲線, 水力由陡變緩，與普通筒井一致。并且，參考文獻【5】知地下水降落曲線集中 反映了地下水的水頭沿輻射管方向的分布和變化，最大水頭出現(xiàn)在輻射管的端點 處，從該點進入輻射管的水最最多，靠近集水豎井水頭逐漸減小，進入輻射管的 水星也逐漸減小。考慮到黃土中呸直滲流遠大于水平滲流的特點，在抽水初期, 由于輻射管半徑范圍內(nèi)水量較豐富，這時輻射井的出水主要來自半徑范圍內(nèi)地下 水的騷r漆流，當抽水進行到一定階段，即輻射管半徑范圍內(nèi)的地下水水位降至 接近輻射管時，輻射井的出水

8、主要為輻射管半徑范圍外土中的水經(jīng)水平滲流，流 入輻射管半徑范圍內(nèi)后再經(jīng)豎直滲流流入輻射管，然后匯入豎直集水井中，這使 得抽水后期出水最明顯減少。據(jù)此，在對出水最方程進行數(shù)值檢驗時，應乘以一 個相應的修正系數(shù)才能符合實際情況。5. 2模型的建立針對第一問，由參考文獻【1】中所述模型及本題題目描述，我們假設地下 水降落曲線與水平距離X之間近似滿足自然對數(shù)函數(shù)關系式：HX=HW + （Ho- HQ 卿。-、）（1） o將x=Ro帶入（1）式，得H廣Ho：將x=r帶入（1）式，得Hx=Hr=Hw + （Ho - Hw）ea°,即井壁處的水位 高度與井中心水面高度有一個差值，因Ro比r大很多，

9、所以這個差值很小， 能夠滿足實際情況。此處，運用公式（1）,積分以及極限的概念求解待定系數(shù)a,具 體步驟如下1. 距豎直集水井中心Ri處地下水高度Hi=& + （H0-Hw）e-a-i）2. 運用極限的概念，當/?2從右邊無限靠近R1時，卅玲段地下水水位的高度 無限逼近,公式表達為%=£或3. 由上述兩式聯(lián)立求解a,由于求解過程及結(jié)果較為復雜，最終將a簡化,結(jié)果為a =1 In：? J，（ 2）h*K化一圖2輻射井縱剖面和計算中各符號圖示參考文獻【2】知，對于任意距離x處，進入輻射管的流量為：q 廣 k3)k為黃土含水層滲透系數(shù)，題中給出的范圍為0.0554 0.1607 (

10、米/小時)虻£牛冷*為相應于x剖面的局部阻抗系數(shù)d為輻射管直徑由于流量衣是隨水平距離x變化的，所以求解輻射管流量時必須對整個輻射 管路徑進行積分，計算步驟如下：運用定積分求出輻射管路徑上地下水水位線的平均高度H，用R,b,甲分別 表示相應于H的水平距離，地下水水位線的運動面寬度和局部阻抗系數(shù)。所以輻 射管單位長度上的平均流量q=k,再乘以輻射管長度，即可得到單管流量：n 1 z DH-HwQ=k (R0-r)-輻射管路徑上地下水平均水位高度H合如*咽+ (%-處)壬學 將X=R, Hx = H帶入(1)式得到相應于平均高度H的水平距離R=7?o-下面給出簡化后的地下水水位面寬度計算方

11、法:圖3輻射井平面布設圖這里，b為相應于上述平均高度H,和水平距離R的剖面寬度，我們將其簡 化為矩形剖面。所以b=2tan () R=2tan ()(乩一土偵牛李)(6)由參考文獻【2】知，相應于H, b, AH的阻抗系數(shù)，其方程為含有參變量的函數(shù)：b d AH<P = f(H，萬7T)其具體表達式為：(7)(P = 土、 1"+HYH(+住)“ s費2_(血芋M)2明b 2H式中各符號代表意義同前。輻射井出水SQn=nQ=nk (R0-r)生恥(8)六、模型的改進與檢驗為了檢驗所建立模型的計算結(jié)果是否與實際測量值相符，我們將數(shù)據(jù)帶入計 算公式進行檢驗，在帶入數(shù)據(jù)前對數(shù)據(jù)進行分

12、析，可得從觀測孔M開始，水位下降不明顯，所以驗證時，僅將Ni、N2的數(shù)據(jù)帶入公式進行計算.計算地下水降落曲線并用實測數(shù)據(jù)進行驗證：觀測時間月、日、時比-HwH2 - HwHwH!-Hwa4. 19. 131. 42. 731. 950. 6680. 01114. 19. 71. 06n 77 匕.I 12. 610. 9610. 01604. 19. 210. 872. 853. 281. 1870. 01984. 20. 31. 063. 233. 051. 1140. 01864. 20. 94. 15.81.410. 34 -0. 005784. 20. 172. 343.421. 46

13、0. 3790. 006324. 21. 10. 833. 23. 861. 3490. 02254.21.90. 853. 13. 651.2940. 02164.21. 170. 843. 043. 621.2860. 02144. 22. 10. 682. 844. 181. 430. 02384. 22. 90. 662. 764. 181.430. 02384. 22. 170. 662. 814. 261.450. 2424. 23. 10. 612. 731. 131. 500. 0254. 23. 50. 572.74. 741.560. 026表一降落曲線數(shù)據(jù)驗證表注：Hi、

14、彪分別為觀測井Ni、此中的水面高度現(xiàn)僅將4月22 H 9時的一次觀測數(shù)據(jù)的計算結(jié)果列出，Hw = 76.15,Ho =80.085 f a = 0.0238水平距X米r=l. 752040&=50一口90&2=110Ro = 121. 75Rq x120101. 7581. 7571. 7551. 7531. 7511.750a(R° %)2. 862. 421. 951.1.230. 760. 280ea(P0-x)17.511. 27.05. 533. 422. 141.321. 00(Hq0. 230. 350. 560.711. 151.842. 983. 9

15、4比（計算）76. 9877. 5280. 09Hx （實測）76. 1576. 8180. 085由所有數(shù)據(jù)的計算結(jié)果分析可知，所建立的地下水曲線降落模型的計算值與 實測值誤差很小，所以地下水降落模型曲線基本上能反映實際，是正確的。計算輻射井出水屋并用實測數(shù)據(jù)進行驗證，步驟如為：根據(jù)公式（4） - （6），計算出沿輻射管路徑地下水的平均高度H,相應的簡化矩形剖而寬度b,然后將二普代入公式（7）得出局部阻抗系數(shù)，將其 n n n帶入公式（8），計算輻射井出水量。在此，仍將4月22日9時的一次觀測數(shù)據(jù)的計算結(jié)果列出：Hw =76.15 米比= 80.085 米，Rq=121. 75 米,a =

16、0.0238, n=8, 0 = 45°, RQ-r =120米,d=0. 12米,AH = 1.2米，將有關數(shù)據(jù)帶入公式（4）得H=77. 45米，再將H=77. 45米及其他數(shù)據(jù)代入公式（6）得b=62. 23米，由此得出各參變量比值分 別為：bdAH=0.80, = 0.0015, = 0.015nnn將其帶入公式（7）求得q） = 9.67o將以上所有數(shù)據(jù)代入公式（8）求得，k=0. 0554時Qn=6. 98, k=0. 1607時,（2n=21. 05而Q （實測）為46. 15,相差巨大。對結(jié)果及公式進行分析，由于地下水降落曲線的公式能反映實際，所以不難發(fā)現(xiàn)，造成這一現(xiàn)象的原因出現(xiàn)在局部阻抗系數(shù)（P的計算上。據(jù)此，我們對（p進行了修正。修正后發(fā)現(xiàn)，將原來的參變量%, %,絆改為令，導，普帶入公式計算后發(fā)現(xiàn)，對于4. 22. 9及其之前的數(shù)據(jù), n n n n n n計算結(jié)果與實測結(jié)果相差不大，能大致反應出實際情況，但對于4.22.9之后的 數(shù)據(jù)，則相差較大，分析其原因，如文章開頭第五部分分析所述，是由于此時水源補給情況不同導致，也就是說對于4. 22. 9以后的數(shù)據(jù)應用修正后的公式計算所產(chǎn)生的誤差己