輻射井流量計(jì)算

1、輻射井流量計(jì)算摘要輻射井是由一口大口徑的豎井和自豎井內(nèi)周?chē)畬尤我夥较颉⒏叱檀蜻M(jìn)一 層數(shù)條水平輻射管組成，地下水沿水平輻射管匯集到燧井中。輻射井與常規(guī)井相 比，具有出水量大、壽命長(zhǎng)、管理費(fèi)用低、維修方便、便于集中管理等優(yōu)點(diǎn)。從 20世紀(jì)60年代以來(lái)，輻射井技術(shù)己在我國(guó)推廣應(yīng)用。如輻射井在華北深基坑工 程降水中，取得了較好的效果。隨著北京東直門(mén)地鐵站采用輻射井降水技術(shù)取得 成功，目前輻射井技術(shù)在地鐵施工乂發(fā)揮著重要作用。本題要求我們根據(jù)黃土地I乂地下水滲透特點(diǎn)，求出地下水降落曲線(xiàn)，輻射井 水量計(jì)算模型。解題過(guò)程中我們運(yùn)用了微積分和函數(shù)極限的概念，并參考文獻(xiàn)中 的部分計(jì)算理論。針對(duì)第一問(wèn)，參考文

2、獻(xiàn)【1】中理論及其分析，得知地下水降落曲線(xiàn)與水平 距離x近似滿(mǎn)足自然對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系，據(jù)此我們假設(shè)了地下水降落曲線(xiàn)方程，運(yùn)用 積分及函數(shù)極限的概念，求出待定系數(shù)，最終確定方程針對(duì)第二問(wèn)，參考文獻(xiàn)2理論及分析，我們得到了水平距離x處的流量 與該處地下水水位線(xiàn)高度的函數(shù)關(guān)系，帶入數(shù)值驗(yàn)證并對(duì)方程系數(shù)進(jìn)行修正。關(guān)鍵字：輻射井，降水，滲透，極限，微積分，自然對(duì)數(shù)函數(shù)。一、問(wèn)題重述問(wèn)題背景輻射井是由大直徑集水豎井和集水井內(nèi)沿水平方向向含水層打進(jìn)具有一定 長(zhǎng)度的多層、數(shù)根至數(shù)十根水平輻射管組成。輻射井能夠有效開(kāi)采不同含水層的 水源，單井出水量大，井的壽命長(zhǎng)，節(jié)約動(dòng)力，管理運(yùn)行費(fèi)用低，維修方便。福 射井的出水量

3、，是設(shè)計(jì)和布置輻射井工作中所需要解決的問(wèn)題之一。需解決的問(wèn)題本題是關(guān)于黃土中輻射井流量的問(wèn)題。考慮到黃土豎直滲透系數(shù)遠(yuǎn)大于水平 滲透系數(shù)的特點(diǎn)，我們?cè)诮⒛Ｐ陀?jì)算時(shí)，在輻射管半徑范圍內(nèi)，只考慮豎直滲 透，在輻射管半徑范圍外，水平方向的水流很難流入輻射管內(nèi)，據(jù)此以及黃土的 特點(diǎn)，在抽水進(jìn)行到一定階段，即輻射管半徑范圍內(nèi)的地下水水位與隔水底板高 差不太大時(shí)，水流的補(bǔ)給主要依靠輻射管半徑范圍外黃土中水的水平滲流。為了 得出輻射井出水量計(jì)算公式，在查閱有關(guān)文獻(xiàn)后我們建立了輻射井出水量與降落 曲線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系，并通過(guò)積分，得到了出水量的計(jì)算公式。二、問(wèn)題分析針對(duì)本題進(jìn)行分析，可知本題的重點(diǎn)是得出地下水降落

4、曲線(xiàn)隨距離X的方程, 并且建立出水量計(jì)算方程。完整的解決這個(gè)問(wèn)題需要運(yùn)用積分，以及將數(shù)據(jù)帶入 建立好的方程，對(duì)方程的合理性進(jìn)行分析，并得出最終方程。針對(duì)第一問(wèn)，參考文獻(xiàn)1我們假設(shè)出地下水降落曲線(xiàn)隨距離X的方程， 式中含有待定系數(shù)，求解出該待定系數(shù)成為解決該問(wèn)題的關(guān)鍵。對(duì)問(wèn)題進(jìn)一步分 析得知，該系數(shù)的求解將有其后流量與地下水高度的關(guān)系解出。針對(duì)第二問(wèn)，參考文獻(xiàn)2的理論，我們得到了流量和地下水曲線(xiàn)高度的 函數(shù)關(guān)系，式中存在阻抗系數(shù)，并且在具體情況下應(yīng)對(duì)上述流量和地下水曲線(xiàn)高 度的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行修正。在計(jì)算水量時(shí)，由于每根輻射管的情況相同，我們通過(guò) 對(duì)一根輻射管流量的計(jì)算，乘以輻射管數(shù)后得到總流量。三

5、、基本假設(shè)1. 在輻射管半徑范困內(nèi)只考慮土中水的豎直滲透。2. 潛水含水層均質(zhì)，隔水底板水平，在平面上無(wú)限分布；不考慮水和介質(zhì)骨架的壓縮性。3. 潛水完整井，無(wú)越流補(bǔ)給也無(wú)入滲或蒸發(fā)。4地下水降落曲線(xiàn)的高度變化僅與距集水豎井中心的距離有關(guān)，即距集水豎 井中心相同時(shí)，地下水降落曲線(xiàn)高度的z坐標(biāo)相同您符號(hào)意義單位Hx距集水豎井中心水平距 離X處的水位高度米集水豎井中水面高度米Ho輻射管端點(diǎn)處水面高度米R(shí)o輻射管端點(diǎn)距井中心的 水平距離米R(shí)2距集水豎井為&2-點(diǎn)米R(shí)i距集水弦井為一點(diǎn)米Hi距集水豎井為月一點(diǎn)的 地下水水面高度米h2距集水嗟井為玲一點(diǎn)的 地下水水面高度米Qn輻射井出水量米 時(shí)a

6、待定系數(shù)r集水豎井半徑米n輻射管數(shù)0相鄰兩輻射管夾角度AH輻射管中心與隔水底板"匚1米其余符號(hào)均會(huì)在首次出現(xiàn)時(shí)作以說(shuō)明，以上各符號(hào)代表的高度，均從隔水底板起算。五、模型的分析、建立與求解5. 1地下水降落曲線(xiàn)及輻射井出水量的分析分析題目條件，黃土地區(qū)由于黃土中豎直滲流遠(yuǎn)大于水平滲流的特點(diǎn)，在輻 射管半徑范圍內(nèi)，地下水經(jīng)豎直滲流，匯入輻射管后流入集水井內(nèi)。而普通筒并 則是依靠微弱的水平滲流，使地下水匯入井中，這就造成了兩種井的地下水降落 曲線(xiàn)的不同。Z地面集豎AH不透水層X(jué)Ro圖1 （輻射井工作狀況縱剖而圖）如圖1所示，輻射井在輻射管延伸范I韋1內(nèi)，水力坡度近井處平緩，遠(yuǎn)處陡峭， 降落

7、曲線(xiàn)呈下凹曲線(xiàn)，與普通筒井相反，井壁處不發(fā)生水躍現(xiàn)象。在輻射管端點(diǎn)， 水力坡度陡增，并出現(xiàn)凹凸拐點(diǎn)。在輻射管延伸范圍外，降落曲線(xiàn)呈上凸曲線(xiàn), 水力由陡變緩，與普通筒井一致。并且，參考文獻(xiàn)【5】知地下水降落曲線(xiàn)集中 反映了地下水的水頭沿輻射管方向的分布和變化，最大水頭出現(xiàn)在輻射管的端點(diǎn) 處，從該點(diǎn)進(jìn)入輻射管的水最最多，靠近集水豎井水頭逐漸減小，進(jìn)入輻射管的 水星也逐漸減小?？紤]到黃土中呸直滲流遠(yuǎn)大于水平滲流的特點(diǎn)，在抽水初期, 由于輻射管半徑范圍內(nèi)水量較豐富，這時(shí)輻射井的出水主要來(lái)自半徑范圍內(nèi)地下 水的騷r漆流，當(dāng)抽水進(jìn)行到一定階段，即輻射管半徑范圍內(nèi)的地下水水位降至 接近輻射管時(shí)，輻射井的出水

8、主要為輻射管半徑范圍外土中的水經(jīng)水平滲流，流 入輻射管半徑范圍內(nèi)后再經(jīng)豎直滲流流入輻射管，然后匯入豎直集水井中，這使 得抽水后期出水最明顯減少。據(jù)此，在對(duì)出水最方程進(jìn)行數(shù)值檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)乘以一 個(gè)相應(yīng)的修正系數(shù)才能符合實(shí)際情況。5. 2模型的建立針對(duì)第一問(wèn)，由參考文獻(xiàn)【1】中所述模型及本題題目描述，我們假設(shè)地下 水降落曲線(xiàn)與水平距離X之間近似滿(mǎn)足自然對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系式：HX=HW + （Ho- HQ 卿。-、）（1） o將x=Ro帶入（1）式，得H廣Ho：將x=r帶入（1）式，得Hx=Hr=Hw + （Ho - Hw）ea°,即井壁處的水位 高度與井中心水面高度有一個(gè)差值，因Ro比r大很多，

9、所以這個(gè)差值很小， 能夠滿(mǎn)足實(shí)際情況。此處，運(yùn)用公式（1）,積分以及極限的概念求解待定系數(shù)a,具 體步驟如下1. 距豎直集水井中心Ri處地下水高度Hi=& + （H0-Hw）e-a-i）2. 運(yùn)用極限的概念，當(dāng)/?2從右邊無(wú)限靠近R1時(shí)，卅玲段地下水水位的高度 無(wú)限逼近,公式表達(dá)為%=£或3. 由上述兩式聯(lián)立求解a,由于求解過(guò)程及結(jié)果較為復(fù)雜，最終將a簡(jiǎn)化,結(jié)果為a =1 In：? J，（ 2）h*K化一圖2輻射井縱剖面和計(jì)算中各符號(hào)圖示參考文獻(xiàn)【2】知，對(duì)于任意距離x處，進(jìn)入輻射管的流量為：q 廣 k3)k為黃土含水層滲透系數(shù)，題中給出的范圍為0.0554 0.1607 (

10、米/小時(shí))虻£牛冷*為相應(yīng)于x剖面的局部阻抗系數(shù)d為輻射管直徑由于流量衣是隨水平距離x變化的，所以求解輻射管流量時(shí)必須對(duì)整個(gè)輻射 管路徑進(jìn)行積分，計(jì)算步驟如下：運(yùn)用定積分求出輻射管路徑上地下水水位線(xiàn)的平均高度H，用R,b,甲分別 表示相應(yīng)于H的水平距離，地下水水位線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)面寬度和局部阻抗系數(shù)。所以輻 射管單位長(zhǎng)度上的平均流量q=k,再乘以輻射管長(zhǎng)度，即可得到單管流量：n 1 z DH-HwQ=k (R0-r)-輻射管路徑上地下水平均水位高度H合如*咽+ (%-處)壬學(xué) 將X=R, Hx = H帶入(1)式得到相應(yīng)于平均高度H的水平距離R=7?o-下面給出簡(jiǎn)化后的地下水水位面寬度計(jì)算方

11、法:圖3輻射井平面布設(shè)圖這里，b為相應(yīng)于上述平均高度H,和水平距離R的剖面寬度，我們將其簡(jiǎn) 化為矩形剖面。所以b=2tan () R=2tan ()(乩一土偵牛李)(6)由參考文獻(xiàn)【2】知，相應(yīng)于H, b, AH的阻抗系數(shù)，其方程為含有參變量的函數(shù)：b d AH<P = f(H，萬(wàn)7T)其具體表達(dá)式為：(7)(P = 土、 1"+HYH(+住)“ s費(fèi)2_(血芋M)2明b 2H式中各符號(hào)代表意義同前。輻射井出水SQn=nQ=nk (R0-r)生恥(8)六、模型的改進(jìn)與檢驗(yàn)為了檢驗(yàn)所建立模型的計(jì)算結(jié)果是否與實(shí)際測(cè)量值相符，我們將數(shù)據(jù)帶入計(jì) 算公式進(jìn)行檢驗(yàn)，在帶入數(shù)據(jù)前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分

12、析，可得從觀測(cè)孔M開(kāi)始，水位下降不明顯，所以驗(yàn)證時(shí)，僅將Ni、N2的數(shù)據(jù)帶入公式進(jìn)行計(jì)算.計(jì)算地下水降落曲線(xiàn)并用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證：觀測(cè)時(shí)間月、日、時(shí)比-HwH2 - HwHwH!-Hwa4. 19. 131. 42. 731. 950. 6680. 01114. 19. 71. 06n 77 匕.I 12. 610. 9610. 01604. 19. 210. 872. 853. 281. 1870. 01984. 20. 31. 063. 233. 051. 1140. 01864. 20. 94. 15.81.410. 34 -0. 005784. 20. 172. 343.421. 46

13、0. 3790. 006324. 21. 10. 833. 23. 861. 3490. 02254.21.90. 853. 13. 651.2940. 02164.21. 170. 843. 043. 621.2860. 02144. 22. 10. 682. 844. 181. 430. 02384. 22. 90. 662. 764. 181.430. 02384. 22. 170. 662. 814. 261.450. 2424. 23. 10. 612. 731. 131. 500. 0254. 23. 50. 572.74. 741.560. 026表一降落曲線(xiàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證表注：Hi、

14、彪分別為觀測(cè)井Ni、此中的水面高度現(xiàn)僅將4月22 H 9時(shí)的一次觀測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果列出，Hw = 76.15,Ho =80.085 f a = 0.0238水平距X米r=l. 752040&=50一口90&2=110Ro = 121. 75Rq x120101. 7581. 7571. 7551. 7531. 7511.750a(R° %)2. 862. 421. 951.1.230. 760. 280ea(P0-x)17.511. 27.05. 533. 422. 141.321. 00(Hq0. 230. 350. 560.711. 151.842. 983. 9

15、4比（計(jì)算）76. 9877. 5280. 09Hx （實(shí)測(cè)）76. 1576. 8180. 085由所有數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果分析可知，所建立的地下水曲線(xiàn)降落模型的計(jì)算值與 實(shí)測(cè)值誤差很小，所以地下水降落模型曲線(xiàn)基本上能反映實(shí)際，是正確的。計(jì)算輻射井出水屋并用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，步驟如為：根據(jù)公式（4） - （6），計(jì)算出沿輻射管路徑地下水的平均高度H,相應(yīng)的簡(jiǎn)化矩形剖而寬度b,然后將二普代入公式（7）得出局部阻抗系數(shù)，將其 n n n帶入公式（8），計(jì)算輻射井出水量。在此，仍將4月22日9時(shí)的一次觀測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果列出：Hw =76.15 米比= 80.085 米，Rq=121. 75 米,a =

16、0.0238, n=8, 0 = 45°, RQ-r =120米,d=0. 12米,AH = 1.2米，將有關(guān)數(shù)據(jù)帶入公式（4）得H=77. 45米，再將H=77. 45米及其他數(shù)據(jù)代入公式（6）得b=62. 23米，由此得出各參變量比值分 別為：bdAH=0.80, = 0.0015, = 0.015nnn將其帶入公式（7）求得q） = 9.67o將以上所有數(shù)據(jù)代入公式（8）求得，k=0. 0554時(shí)Qn=6. 98, k=0. 1607時(shí),（2n=21. 05而Q （實(shí)測(cè)）為46. 15,相差巨大。對(duì)結(jié)果及公式進(jìn)行分析，由于地下水降落曲線(xiàn)的公式能反映實(shí)際，所以不難發(fā)現(xiàn)，造成這一現(xiàn)象的原因出現(xiàn)在局部阻抗系數(shù)（P的計(jì)算上。據(jù)此，我們對(duì)（p進(jìn)行了修正。修正后發(fā)現(xiàn)，將原來(lái)的參變量%, %,絆改為令，導(dǎo)，普帶入公式計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于4. 22. 9及其之前的數(shù)據(jù), n n n n n n計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果相差不大，能大致反應(yīng)出實(shí)際情況，但對(duì)于4.22.9之后的 數(shù)據(jù)，則相差較大，分析其原因，如文章開(kāi)頭第五部分分析所述，是由于此時(shí)水源補(bǔ)給情況不同導(dǎo)致，也就是說(shuō)對(duì)于4. 22. 9以后的數(shù)據(jù)應(yīng)用修正后的公式計(jì)算所產(chǎn)生的誤差己