線性代數(shù)相似矩陣及二次型習(xí)題課學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁(yè)，共89頁(yè)。第1頁(yè)/共89頁(yè)第二頁(yè)，共89頁(yè)。第2頁(yè)/共89頁(yè)第三頁(yè)，共89頁(yè)。第3頁(yè)/共89頁(yè)第四頁(yè)，共89頁(yè)。定義定義(dngy)., , 22112121的的內(nèi)內(nèi)積積與與稱稱為為向向量量令令維維向向量量設(shè)設(shè)有有yxyxyxyxyxyxyyyyxxxxnnnnn 第4頁(yè)/共89頁(yè)第五頁(yè)，共89頁(yè)。., 都是列向量都是列向量其中其中內(nèi)積的矩陣表示內(nèi)積的矩陣表示yxyxyxT .,)3(;,)2(;,)1(:),( zyzxzyxyxyxxyyxnzyx 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)量量維維向向?yàn)闉槠淦渲兄袃?nèi)內(nèi)積積滿滿足足下下列列運(yùn)運(yùn)算算規(guī)規(guī)律律第5頁(yè)/共89頁(yè)第六頁(yè)，共89頁(yè)。定義定義(dng

2、y).(, 22221或范數(shù)或范數(shù)的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度維向量維向量稱為稱為令令xnxxxxxxxn 向量的長(zhǎng)度向量的長(zhǎng)度(chngd)具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)：.)3(;)2(; 0,0; 0,0)1(yxyxxxxxxx 三角不等式三角不等式齊次性齊次性時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)非負(fù)性非負(fù)性 第6頁(yè)/共89頁(yè)第七頁(yè)，共89頁(yè)。.,1為為單單位位向向量量稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx ).0( , 1, 2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)從從而而有有不不等等式式向向量量的的內(nèi)內(nèi)積積滿滿足足施施瓦瓦茨茨 yxyxyxyyxxyx第7頁(yè)/共89頁(yè)第八頁(yè)，共89頁(yè)。定義定義(dngy).,arccos ,0, 0的的夾夾角角與與維維向向量量稱稱為為時(shí)時(shí)

3、當(dāng)當(dāng)yxnyxyxyx ., 0.,0,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若正交正交與與稱向量稱向量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxyxyx 第8頁(yè)/共89頁(yè)第九頁(yè)，共89頁(yè)。所謂正交向量所謂正交向量(xingling)組，是指一組兩兩正交的非零組，是指一組兩兩正交的非零向量向量(xingling)向量向量(xingling)空間的基若是正交向量空間的基若是正交向量(xingling)組，就稱為正組，就稱為正交基交基定理定理(dngl).,2121線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)則則零零向向量量是是一一組組兩兩兩兩正正交交的的非非維維向向量量若若aaaaaanrr.,)(,212121的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基是是則則

4、稱稱兩兩兩兩正正交交如如果果的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間維維向向量量設(shè)設(shè)VeeeeeeRVVeeenrrnr 定義定義(dngy)第9頁(yè)/共89頁(yè)第十頁(yè)，共89頁(yè)。)., 2 , 1(, ,221121rieaaeeeeaaVVeeeiTiirrr 其其中中都都可可表表為為中中任任一一向向量量那那么么的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基是是若若施密特正交化方法施密特正交化方法(fngf).,2121范范正正交交化化這這個(gè)個(gè)基基規(guī)規(guī)只只需需把把的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基要要求求的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間設(shè)設(shè)aaaVVaaarr第10頁(yè)/共89頁(yè)第十一頁(yè)，共89頁(yè)。.,.,;,

5、;2121111122221111111212211等價(jià)等價(jià)且與且與兩兩正交兩兩正交則則取取aaabbbbbbabbbbabbbbababbbbabababrrrrrrrrrrr 第一步正交化第一步正交化第11頁(yè)/共89頁(yè)第十二頁(yè)，共89頁(yè)。第二步單位第二步單位(dnwi)化化.,1,1,1222111的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基就就得得取取Vbbebbebberrr 第12頁(yè)/共89頁(yè)第十三頁(yè)，共89頁(yè)。定義定義(dngy).),( 1為為正正交交矩矩陣陣那那么么稱稱即即滿滿足足階階矩矩陣陣如如果果AAAEAAAnTT .)(的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基向向量量構(gòu)構(gòu)成成向向量量空空間

6、間行行個(gè)個(gè)列列的的正正交交矩矩陣陣RnAn方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行（列）向量都是單位向量，且兩兩正交（列）向量都是單位向量，且兩兩正交AA第13頁(yè)/共89頁(yè)第十四頁(yè)，共89頁(yè)。定義定義(dngy)(dngy)若為正交矩陣，則線性變換稱為若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換正交變換正交變換的特性在于保持線段正交變換的特性在于保持線段(xindun)的長(zhǎng)度不變的長(zhǎng)度不變.,xxxpxPxyyyPxyTTTT 則則有有為為正正交交變變換換設(shè)設(shè)PPxy 第14頁(yè)/共89頁(yè)第十五頁(yè)，共89頁(yè)。定義定義(dngy).,的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特

7、征值稱為稱為量量非零向非零向的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數(shù)這樣的數(shù)那么那么成立成立使關(guān)系式使關(guān)系式維非零列向量維非零列向量和和如果數(shù)如果數(shù)階矩陣階矩陣是是設(shè)設(shè) AxAxAxxnnA .)(.0的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式稱為方陣稱為方陣的特征方程的特征方程稱為方陣稱為方陣AEAfAEA 第15頁(yè)/共89頁(yè)第十六頁(yè)，共89頁(yè)。.)2(;)1(,)(.2122112121AaaaaAnAnnnnnnij 則有則有的特征值為的特征值為若若個(gè)特征值個(gè)特征值有有階方陣階方陣第16頁(yè)/共89頁(yè)第十七頁(yè)，共89頁(yè)。.1;1,)3(.)(,)(.)()();()2(;)1(,)(11010特征值特征值的

8、的是是的特征值的特征值是是可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng)其中其中的特征值的特征值是是為任意自然數(shù)為任意自然數(shù)的特征值的特征值是是的特征值的特征值也是也是則則的特征值的特征值是是設(shè)設(shè)AAAAAaAaEaAaaaAkAAaAmmmmkkTijnn 第17頁(yè)/共89頁(yè)第十八頁(yè)，共89頁(yè)。定理定理(dngl)., , , 21212121征征向向量量是是線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的即即屬屬于于不不同同特特征征值值的的特特線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)則則各各不不相相等等如如果果向向量量依依次次是是與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征個(gè)個(gè)特特征征值值的的是是方方陣陣設(shè)設(shè)ppppppmAmmmm 定理定理 屬于屬于(shy)(shy)同一個(gè)特征值的

9、特征向量的非零線性同一個(gè)特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于組合仍是屬于(shy)(shy)這個(gè)特征值的特征向量這個(gè)特征值的特征向量第18頁(yè)/共89頁(yè)第十九頁(yè)，共89頁(yè)。定義定義(dngy).,.,11的相似變換矩陣的相似變換矩陣變成變成稱為把稱為把可逆矩陣可逆矩陣進(jìn)行相似變換進(jìn)行相似變換稱為對(duì)稱為對(duì)進(jìn)行運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算對(duì)對(duì)相似相似與與或說(shuō)矩陣或說(shuō)矩陣的相似矩陣的相似矩陣是是則稱則稱使使若有可逆矩陣若有可逆矩陣階矩陣階矩陣都是都是設(shè)設(shè)BAPAAPPABAABBAPPPnBA 矩陣之間的相似矩陣之間的相似(xin s)(xin s)具有具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)對(duì)稱性；對(duì)稱性；(

10、3)(3)傳遞性傳遞性第19頁(yè)/共89頁(yè)第二十頁(yè)，共89頁(yè)。.,)2( 2121個(gè)特征值個(gè)特征值的的是是則則相似相似與對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣若若nAAnn 若與相似，則與的特征多項(xiàng)式若與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值亦相同相同，從而與的特征值亦相同ABAABB)1(第20頁(yè)/共89頁(yè)第二十一頁(yè)，共89頁(yè)。.)()(,.)()(,)3(111111PPAPPAAPPPPBPAPBPAPPBAkkkk 則有則有為對(duì)角陣為對(duì)角陣使使若有可逆陣若有可逆陣特別地特別地則則若若(4)(4)能對(duì)角化能對(duì)角化(jio hu)(jio hu)的充分必要條件是有個(gè)線的充分必要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量性

11、無(wú)關(guān)的特征向量AAn(5)(5)有有 個(gè)互異的特征值，則個(gè)互異的特征值，則 與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似AAn第21頁(yè)/共89頁(yè)第二十二頁(yè)，共89頁(yè)。.)1(實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣的的特特征征值值為為.)2(量量必必正正交交特特征征值值的的特特征征向向?qū)崒?shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣的的屬屬于于不不同同.,)3(個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量的的必必有有則則對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)重重特特征征值值的的是是實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣若若rrA .,.)4(1對(duì)對(duì)角角陣陣個(gè)個(gè)特特征征值值為為對(duì)對(duì)角角元元素素的的的的以以是是其其中中使使得得則則必必有有正正交交陣陣稱稱陣陣階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)為為即即若若實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣必必可

12、可對(duì)對(duì)角角化化nAAPPPnA 第22頁(yè)/共89頁(yè)第二十三頁(yè)，共89頁(yè)。定義定義(dngy).2 22 ),( ,1, 1311321122222221112121稱稱為為二二次次型型的的二二次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)變變量量含含有有xxaxxaxxaxaxaxaxxxfxxxnnnnnnnnnn 第23頁(yè)/共89頁(yè)第二十四頁(yè)，共89頁(yè)。., .,的的秩秩的的秩秩稱稱為為二二次次型型稱稱陣陣對(duì)對(duì)的的二二次次型型稱稱為為對(duì)對(duì)稱稱陣陣的的矩矩陣陣為為二二次次型型稱稱其其中中二二次次型型可可記記作作fAAffAAAAxxfTT 二次型與它的矩陣二次型與它的矩陣(j zhn)是一一對(duì)應(yīng)的是一一對(duì)應(yīng)的.,

13、;,稱為實(shí)二次型稱為實(shí)二次型是實(shí)數(shù)時(shí)是實(shí)數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)稱為復(fù)二次型稱為復(fù)二次型是復(fù)數(shù)時(shí)是復(fù)數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)fafaijij第24頁(yè)/共89頁(yè)第二十五頁(yè)，共89頁(yè)。定義定義(dngy).( 2222211或或法法式式稱稱為為二二次次型型的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形只只含含平平方方項(xiàng)項(xiàng)的的二二次次型型ykykykfnn 第25頁(yè)/共89頁(yè)第二十六頁(yè)，共89頁(yè)。).()(,)1(ARBRBAACCBCT 且且亦為對(duì)稱陣亦為對(duì)稱陣則則陣陣為對(duì)稱為對(duì)稱如果如果令令任給可逆矩陣任給可逆矩陣.)(,),()2(2122222111,的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形使使有有正正交交變變換換總總?cè)稳谓o給實(shí)實(shí)二

14、二次次型型aAfyyyffPyxaaxxafijnnnjiijjinjiij 第26頁(yè)/共89頁(yè)第二十七頁(yè)，共89頁(yè)。.,)3(變變換換換換一一般般而而言言不不是是正正交交此此時(shí)時(shí)所所用用的的可可逆逆線線性性變變形形二二次次型型化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)拉拉格格朗朗日日配配方方法法亦亦可可把把第27頁(yè)/共89頁(yè)第二十八頁(yè)，共89頁(yè)。定義定義(dngy)., 0)(, 0;,),0)0(0)(, 0,)(是負(fù)定的是負(fù)定的并稱對(duì)稱矩陣并稱對(duì)稱矩陣為負(fù)定二次型為負(fù)定二次型則稱則稱都有都有如果對(duì)任何如果對(duì)任何是正定的是正定的稱對(duì)稱矩陣稱對(duì)稱矩陣并并為正定二次型為正定二次型則稱則稱顯然顯然都有都有如果對(duì)任何如果對(duì)

15、任何設(shè)有實(shí)二次型設(shè)有實(shí)二次型AfxfxAffxfxAxxxfT 第28頁(yè)/共89頁(yè)第二十九頁(yè)，共89頁(yè)。.,),0(),0(,212122222112222211數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)相相等等中中正正中中正正數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)與與則則及及使使及及實(shí)實(shí)的的可可逆逆變變換換有有兩兩個(gè)個(gè)它它的的秩秩為為設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)二二次次型型 rrirrirrTkkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 第29頁(yè)/共89頁(yè)第三十頁(yè)，共89頁(yè)。.2)(; ;,21量量化化線線性性變變換換的的不不變變它它們們是是二二次次型型對(duì)對(duì)于于非非退退差差的的符符號(hào)號(hào)稱稱為為稱稱為為負(fù)負(fù)慣慣性性指指數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)稱稱為為正正慣慣性性指

16、指中中正正數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)frpprpNpsNprpkkkr 注意注意(zh y)第30頁(yè)/共89頁(yè)第三十一頁(yè)，共89頁(yè)。;,:)1(npnAxxfT 即即正正慣慣性性指指數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)系系數(shù)數(shù)全全為為正正它它的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形的的是是為為正正定定的的充充分分必必要要條條件件實(shí)實(shí)二二次次型型;:)2(特特征征值值全全為為正正的的是是為為正正定定的的充充分分必必要要條條件件對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣AA第31頁(yè)/共89頁(yè)第三十二頁(yè)，共89頁(yè)。)., 2 , 1( , 0)1( ,:; 0,; 0; 0 ,:)(3(111111112221121111nraaaaAaaaaaaaaaAArrrrrnnnn 即即而偶

17、數(shù)階主子式為正而偶數(shù)階主子式為正式為負(fù)式為負(fù)奇數(shù)階主子奇數(shù)階主子是是為負(fù)定的充分必要條件為負(fù)定的充分必要條件對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣即即的各階主子式都為正的各階主子式都為正要條件是要條件是為正定的充分必為正定的充分必對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣霍爾維茨定理霍爾維茨定理第32頁(yè)/共89頁(yè)第三十三頁(yè)，共89頁(yè)。一、證明一、證明(zhngmng)所給矩陣為正交矩陣所給矩陣為正交矩陣二、將線性無(wú)關(guān)二、將線性無(wú)關(guān)(wgun)向量組化為正向量組化為正交單位向量組交單位向量組三、特征值與特征向量的求法三、特征值與特征向量的求法四、已知的特征值，求與四、已知的特征值，求與相關(guān)矩陣的特征值相關(guān)矩陣的特征值A(chǔ)A第33頁(yè)/共89頁(yè)第三

18、十四頁(yè)，共89頁(yè)。五、求方陣五、求方陣(fn zhn)的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式六、關(guān)于六、關(guān)于(guny)特征值的其它問(wèn)題特征值的其它問(wèn)題七、判斷方陣可否七、判斷方陣可否(k fu)對(duì)角化對(duì)角化八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣矩陣化為對(duì)角陣九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形AA第34頁(yè)/共89頁(yè)第三十五頁(yè)，共89頁(yè)。;, 2 , 1,),()(111njiaaaaijjknkikijkjnkki 或或交條件交條件元素滿足正元素滿足正或行或行證明矩陣的各列證明矩陣的各列方法方法.,2EAAATT 驗(yàn)證驗(yàn)證然后然后先求出先求出根據(jù)正交陣的定義根據(jù)正交陣的定義方法

19、方法第35頁(yè)/共89頁(yè)第三十六頁(yè)，共89頁(yè)。.)/(2,為正交矩陣為正交矩陣證明證明階單位矩陣階單位矩陣為為維列向量維列向量是是設(shè)設(shè)aaaaEAnEnaTT 例1例1證明證明(zhngmng).,EAAAATT 證證義義驗(yàn)驗(yàn)然然后后根根據(jù)據(jù)正正交交矩矩陣陣的的定定先先驗(yàn)驗(yàn)證證)/2(aaaaEATTTT aaaaETT)/2( ,A AAT)/2()/2(aaaaEaaaaETTTT AA 第36頁(yè)/共89頁(yè)第三十七頁(yè)，共89頁(yè)。.)()( /4)( /2)( /22aaaaaaaaaaaaaaETTTTTTT .2,1是正交矩陣是正交矩陣時(shí)時(shí)特別當(dāng)特別當(dāng)aaEAaaTT , 0為一非零數(shù)為一

20、非零數(shù)aaaT ),)()(aaaaaaaaTTTT 故故,)/(4)/(4EaaaaaaaaEAATTTTT .是正交矩陣是正交矩陣故故A第37頁(yè)/共89頁(yè)第三十八頁(yè)，共89頁(yè)。將線性無(wú)關(guān)向量將線性無(wú)關(guān)向量(xingling)組化為正交單位向量組化為正交單位向量(xingling)組，可組，可以先正交化，再單位化；也可同時(shí)進(jìn)行正交化與以先正交化，再單位化；也可同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化單位化.,1001,0101,0011321向量組向量組求與之等價(jià)的正交單位求與之等價(jià)的正交單位無(wú)關(guān)向量組無(wú)關(guān)向量組是線性是線性已知向量已知向量 例2例2第38頁(yè)/共89頁(yè)第三十九頁(yè)，共89頁(yè)。解一先正交化，再單位

21、解一先正交化，再單位(dnwi)化化;)1(11 取取,)2(12212正交正交與與使得使得令令 k, 0,211121 k,21,1121 k;0121212 故故第39頁(yè)/共89頁(yè)第四十頁(yè)，共89頁(yè)。得得交交正正與與且且令令, , )3(123322113 kk,21,11311 k,31,22222 k.13131313 故故第40頁(yè)/共89頁(yè)第四十一頁(yè)，共89頁(yè)。得得單位化單位化將將,)4(321 333 111 222 ;002121 ;0626161 .23)32(1)32(1)32(1 第41頁(yè)/共89頁(yè)第四十二頁(yè)，共89頁(yè)。解二同時(shí)進(jìn)行解二同時(shí)進(jìn)行(jnxng)正交化與單位化正

22、交化與單位化并單位化得并單位化得取取,)1(11 111 ;002121 得得正交正交與與使得使得令令,)2(12212 k,21 k,21 第42頁(yè)/共89頁(yè)第四十三頁(yè)，共89頁(yè)。.06261612 ,0121212 得得正交正交與與且且令令,)3(123322113 kk,311 k,322 k,21 ,61 第43頁(yè)/共89頁(yè)第四十四頁(yè)，共89頁(yè)。.23)32(1)32(1)32(13 ,13131313 .,321為所求之向量組為所求之向量組則則 第44頁(yè)/共89頁(yè)第四十五頁(yè)，共89頁(yè)。第三步將每一個(gè)第三步將每一個(gè)(y )特征值代入相應(yīng)的線性方程組，特征值代入相應(yīng)的線性方程組，求出基礎(chǔ)

23、解系，即得該特征值的特征向量求出基礎(chǔ)解系，即得該特征值的特征向量第一步第一步計(jì)算的特征多項(xiàng)式；計(jì)算的特征多項(xiàng)式；A第二步第二步求出特征多項(xiàng)式的全部根，即得的全部求出特征多項(xiàng)式的全部根，即得的全部特征值；特征值；A第45頁(yè)/共89頁(yè)第四十六頁(yè)，共89頁(yè)。.3242024233和特征向量和特征向量的全部特征值的全部特征值階實(shí)矩陣階實(shí)矩陣計(jì)算計(jì)算 A例3例332422423)( AEf.)1( )8(2 解解第一步計(jì)算的特征多項(xiàng)式第一步計(jì)算的特征多項(xiàng)式A第46頁(yè)/共89頁(yè)第四十七頁(yè)，共89頁(yè)。.,)(的全部特征值的全部特征值即即的全部根的全部根求出特征多項(xiàng)式求出特征多項(xiàng)式第二步第二步Af ., 1,

24、 8, 0)(321全部特征值全部特征值的的為為解之得解之得令令A(yù)f .0)(, 811的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系求相應(yīng)線性方程組求相應(yīng)線性方程組對(duì)對(duì) xAE 第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量A第47頁(yè)/共89頁(yè)第四十八頁(yè)，共89頁(yè)。 , 0524, 0282, 0425321321321xxxxxxxxx.2121 個(gè)基礎(chǔ)解系個(gè)基礎(chǔ)解系化簡(jiǎn)求得此方程組的一化簡(jiǎn)求得此方程組的一).0(81111數(shù)數(shù)為實(shí)為實(shí)的全部特征向量為的全部特征向量為屬于屬于 kk 第48頁(yè)/共89頁(yè)第四十九頁(yè)，共89頁(yè)。.021,101:, 0424, 022, 0424:0)(, 1223213213

25、21232 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系求解得此方程組的一個(gè)求解得此方程組的一個(gè)的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系求相應(yīng)線性方程組求相應(yīng)線性方程組同理對(duì)同理對(duì)xxxxxxxxxxAE第49頁(yè)/共89頁(yè)第五十頁(yè)，共89頁(yè)。., 1 32332232是不全為零的實(shí)數(shù)是不全為零的實(shí)數(shù)的全部特征向量為的全部特征向量為的屬于的屬于于是于是kkkkA .,0,;321332211是不全為零的實(shí)數(shù)是不全為零的實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)里里這這的全部特征向量為的全部特征向量為從而從而kkkkkkA 第50頁(yè)/共89頁(yè)第五十一頁(yè)，共89頁(yè)。.,121量量的特征值與特征向的特征值與特征向求求的特征向量為的特征向量為于于屬屬的全部特征值為的全

26、部特征值為階方陣階方陣設(shè)設(shè)APPAniin 例4例4解解.1式式它們有相同的特征多項(xiàng)它們有相同的特征多項(xiàng)只需證明只需證明有相同的特征值有相同的特征值與與首先證明首先證明APPA APPEfAPP1)(1 APPPP11 AA第51頁(yè)/共89頁(yè)第五十二頁(yè)，共89頁(yè)。PAEP 1),( fAEA .,121的全部特征值的全部特征值就是就是APPn .1的特征向量的特征向量屬于屬于其次求其次求 iAPP , iiiA iiAPPE)(1 又又, 0)( iiAE即即 iiAPPPP)(11 ,)(1 iiPAEP 第52頁(yè)/共89頁(yè)第五十三頁(yè)，共89頁(yè)。 iiPAPPE11)( ),()(111 i

27、iiPPAPP 即即 iiPPAEP11)( , 0)(1 iiAEP.11的特征向量的特征向量屬于屬于是是故故 iiAPPP 第53頁(yè)/共89頁(yè)第五十四頁(yè)，共89頁(yè)。.,)2( ;)1(:,)(,10111的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式求求非奇異時(shí)非奇異時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)奶卣鞫囗?xiàng)式的特征多項(xiàng)式求求求求其特征多項(xiàng)式為其特征多項(xiàng)式為階方陣階方陣是是設(shè)設(shè)AAAaaaAEfnATnnnA 例5例5解解AEfTAT )()1(.有相同的特征多項(xiàng)式有相同的特征多項(xiàng)式與與AAT)(AET AE ),( fA A第54頁(yè)/共89頁(yè)第五十五頁(yè)，共89頁(yè)。則則的全部特征值的全部特征值是是設(shè)設(shè),)2(21An )1()1)(1(

28、21 n ,111211的全部特征值的全部特征值是是An 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為故故A1 AEfA1)(1 .1001101aaaaannn 第55頁(yè)/共89頁(yè)第五十六頁(yè)，共89頁(yè)。AA的行列式的行列式用特征根計(jì)算方陣用特征根計(jì)算方陣1.5;,5, 2, 1, 13,323321EABAABA 求求設(shè)設(shè)個(gè)特征值為個(gè)特征值為它的它的階矩陣階矩陣是是設(shè)設(shè) 例6例6解解.21AAAn來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算要關(guān)系要關(guān)系的行列式與特征值的重的行列式與特征值的重利用利用 ,5)(23xxxf 令令,321的全部特征值的全部特征值是是因?yàn)橐驗(yàn)锳 第56頁(yè)/共89頁(yè)第五十七頁(yè)，共89頁(yè)。故故部特征值部特征值的全的

29、全是是所以所以.5)()31)(23BAAAfifi )(AfB )()()(321 fff .288)12)(6)(4( .5EA 下面求下面求方法方法(fngf)一一,5)(EAAg 令令),(),(),()(321 gggAg的所有特征值為的所有特征值為所以所以, 2, 1, 1321 的所有特征值為的所有特征值為因?yàn)橐驗(yàn)锳第57頁(yè)/共89頁(yè)第五十八頁(yè)，共89頁(yè)。)(5AgEA .72)2()1()1( ggg方法方法(fngf)二二, 2, 1, 1321 的所有特征值為的所有特征值為因?yàn)橐驗(yàn)锳. 22)1(1 A故故.724/28852 ABEA),5(5223EAAAAB 又又,5

30、2EAAB ,288 B但但第58頁(yè)/共89頁(yè)第五十九頁(yè)，共89頁(yè)。),2)(1)(1()( AEfA所以所以方法方法(fngf)三三, 2, 1, 1321 的所有特征值為的所有特征值為因?yàn)橐驗(yàn)锳.725)1(53 AEEA,72)25)(15)(15()5(5 fAEA第59頁(yè)/共89頁(yè)第六十頁(yè)，共89頁(yè)。的可逆性的可逆性來(lái)討論來(lái)討論的特征值的特征值用方陣用方陣AkEA ,2., 0,;, 0,可逆可逆的特征值時(shí)的特征值時(shí)不是不是當(dāng)當(dāng)不可逆不可逆的特征值時(shí)的特征值時(shí)是是當(dāng)當(dāng)AkEAkEAkAkEAkEAk ?, 1,)2( ?8 ,)1( ,2是否可逆是否可逆且且的特征值的特征值是是設(shè)設(shè)是

31、否可逆是否可逆若若階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)EAAAEEAnA 例7例7解解, 1, 121 的特征值為的特征值為A,)1(2EA 第60頁(yè)/共89頁(yè)第六十一頁(yè)，共89頁(yè)。.8可逆可逆從而從而AE ,8的特征值的特征值不是不是故故Ak ., 1,均可逆均可逆對(duì)對(duì)一般地一般地AkEk 于是于是的特征值的特征值不是不是所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?1, 1)2(A .均為可逆矩陣均為可逆矩陣故故EA . 0)1( , 01 AEAE,)1()(EAAEAEn 又又; 0 EA,)1()(EAEAAEn , 0 EA第61頁(yè)/共89頁(yè)第六十二頁(yè)，共89頁(yè)。.),(0,)2(?)1(.00221100不可對(duì)角化不可對(duì)角

32、化證明證明且至少有一且至少有一如果如果可對(duì)角化可對(duì)角化在什么條件下在什么條件下階下三角陣階下三角陣是是設(shè)設(shè)AjiaaaaAnAjinn 例8例8A解解(1)可對(duì)角化的充分條件是有個(gè)互異的可對(duì)角化的充分條件是有個(gè)互異的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值A(chǔ)AAn第62頁(yè)/共89頁(yè)第六十三頁(yè)，共89頁(yè)。,02211 aaaAnnAEfA )(, 0)()(2211 aaann 即即).()(2211aaann ).1(niaAiii 的所有特征值的所有特征值得得.,), 2 , 1,( 可對(duì)角化可對(duì)角化時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Aaanjijijjiiji , 0)( fA令令第63頁(yè)/

33、共89頁(yè)第六十四頁(yè)，共89頁(yè)。.)2(用用反反證證法法.)1(),(,211的特征值的特征值是是使使則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣可對(duì)角化可對(duì)角化若若AnidiagAPPPAin 所以所以可知可知由由,)1(11aaiii .111111111EaaaaAPP 第64頁(yè)/共89頁(yè)第六十五頁(yè)，共89頁(yè)。,11111111EaPPaPEaPA .,)(00000對(duì)角化對(duì)角化不可不可故故矛盾矛盾這與至少有一個(gè)這與至少有一個(gè)Ajiaji 第65頁(yè)/共89頁(yè)第六十六頁(yè)，共89頁(yè)。.,0202120221為對(duì)角陣為對(duì)角陣使使求正交變換求正交變換設(shè)實(shí)對(duì)稱陣設(shè)實(shí)對(duì)稱陣ATTTA 例9例9解解第一步求第一步求A的

34、特征值由的特征值由 20212022 AE第66頁(yè)/共89頁(yè)第六十七頁(yè)，共89頁(yè)。, 0)2)(1)(4( . 2, 1, 4321 得得., 0)(的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxAEi 得得由由對(duì)對(duì), 0)4(, 41 xAE .1221 解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 , 042, 0232, 0223232121xxxxxxx第67頁(yè)/共89頁(yè)第六十八頁(yè)，共89頁(yè)。得得由由對(duì)對(duì), 0)(, 12 xAE , 02, 022, 02323121xxxxxx.2122 解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系得得由由對(duì)對(duì), 0)2(, 23 xAE 第68頁(yè)/共89頁(yè)第六十九頁(yè)，共89頁(yè)

35、。 , 022, 0232, 0243232121xxxxxxx.2213 解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系., 3 , , .321兩正交兩正交故它們必兩故它們必兩量量個(gè)不同特征值的特征向個(gè)不同特征值的特征向的的屬于屬于是是因?yàn)橐驗(yàn)閷⑻卣飨蛄空换瘜⑻卣飨蛄空换谌降谌紸 第69頁(yè)/共89頁(yè)第七十頁(yè)，共89頁(yè)。.將特征向量單位化將特征向量單位化第四步第四步得得令令, 3 , 2 , 1, iiii .3/23/23/1,3/23/13/2,3/13/23/2321 第70頁(yè)/共89頁(yè)第七十一頁(yè)，共89頁(yè)。,22121212231),(321 T作作.2000100041 ATT則則第71頁(yè)

36、/共89頁(yè)第七十二頁(yè)，共89頁(yè)。.2),(2231321為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化用正交變換化xxxxxxf 例10例10.001010100,001010100),(),(321321321 AAxxxxxxxxxxxfT得實(shí)對(duì)稱矩陣得實(shí)對(duì)稱矩陣解解第一步將表成矩陣形式第一步將表成矩陣形式f第72頁(yè)/共89頁(yè)第七十三頁(yè)，共89頁(yè)。. 1, 1, 0)1( )1(.3212 得得由由的所有特征值的所有特征值求出求出第二步第二步AEA.010,101 , 0)(.211 得得它它的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系解解方方程程組組求求正正交交矩矩陣陣第第三三步步xAET第73頁(yè)/共89頁(yè)第七十四頁(yè)，共89頁(yè)。

37、.010,2/102/1, 0,2221112121 得得將它們單位化將它們單位化正交正交與與得得單位化單位化得它的基礎(chǔ)解系得它的基礎(chǔ)解系解方程組解方程組,101 , 0)(33 xAE第74頁(yè)/共89頁(yè)第七十五頁(yè)，共89頁(yè)。.2/102/1333 .100010001,),(,132121331為對(duì)角陣為對(duì)角陣且且為正交矩陣為正交矩陣令令正交正交與與 ATTTT .)(.232221yyyyyyATTyfTyxTTT 作正交變換作正交變換第四步第四步第75頁(yè)/共89頁(yè)第七十六頁(yè)，共89頁(yè)。.282102),(.,313221232221321xxxxxxxxxxxxf 性變換性變換并求相應(yīng)的

38、線并求相應(yīng)的線準(zhǔn)形準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)用配方法化二次型為標(biāo)例11例11解解xxxxxxxxxxxfxf3223223212132118102)(2),(., 應(yīng)的線性變換應(yīng)的線性變換并作相并作相的項(xiàng)集中進(jìn)行配方的項(xiàng)集中進(jìn)行配方中含中含將將第一步第一步第76頁(yè)/共89頁(yè)第七十七頁(yè)，共89頁(yè)。xxxxxxxxxxxx322322322322321218102)()()(2 .69)(3223223212xxxxxxx ,33223211xyxyxxxy作線性變換作線性變換,100010111 , 11 pxpy即即第77頁(yè)/共89頁(yè)第七十八頁(yè)，共89頁(yè)。.69),(32232221321yyy

39、yyxxxf 得得.,69232232221并作相應(yīng)的線性變換并作相應(yīng)的線性變換項(xiàng)集中進(jìn)行配方項(xiàng)集中進(jìn)行配方的的中含中含將將第二步第二步y(tǒng)yyyyyf , 2221為所求標(biāo)準(zhǔn)形為所求標(biāo)準(zhǔn)形得得zzf ,100310001,3,223332211 PyPzyzyyzyz即即令令.)(12xPPPyz 相應(yīng)的線性變換為相應(yīng)的線性變換為.)3(32221yyyf 第78頁(yè)/共89頁(yè)第七十九頁(yè)，共89頁(yè)。一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共3232分分) )特征向量是特征向量是的特征值是的特征值是則方陣則方陣的伴隨矩陣的伴隨矩陣是是階方陣階方陣是是設(shè)設(shè), 2,A,n. 1 AABA

40、AA的的特特征征值值為為則則的的特特征征值值為為三三階階方方陣陣2332, 2 , 1, 1. 2AABA 的的特特征征且且設(shè)設(shè)ABA 200031141,201034011. 3第79頁(yè)/共89頁(yè)第八十頁(yè)，共89頁(yè)。 yxyBxA,1000000210100002. 4則則相相似似與與已已知知矩矩陣陣 的的矩矩陣陣是是二二次次型型232123222143212432,. 5xxxxxxxxxxxf .4225,. 6323121232221321是正定的是正定的實(shí)二次型實(shí)二次型時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxtxxxxxxxf 的特征值為的特征值為那么那么二重二重和和值為值為B),( 12第80頁(yè)/共89頁(yè)第八十一頁(yè)，共89頁(yè)。對(duì)應(yīng)的二次型是對(duì)應(yīng)的二次型是矩陣矩陣 314122421. 7A二