雙曲線及其標準方程教學(xué)設(shè)計

1、.2014 年河南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課大賽人教 A版 選修 1-1雙曲線及其標準方程教學(xué)設(shè)計鶴壁高中喬肖燕2014 年 14 月.課題：雙曲線及其標準方程授課人：河南省鶴壁市鶴壁高中喬肖燕2014年 4 月【教材內(nèi)容分析】本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)選修1-1 第二章第二節(jié)第一課時的內(nèi)容， 前面有橢圓知識及學(xué)習(xí)方法的鋪墊，后面有拋物線學(xué)習(xí)的延續(xù)，有利于學(xué)生掌握和鞏固.三種圓錐曲線中，雙曲線是最復(fù)雜的一種 .但本節(jié)課的知識難度不是很大，比較易于學(xué)生理解和掌握 .【學(xué)情分析】知識結(jié)構(gòu)分析：學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過橢圓，對橢圓有了系統(tǒng)的認知和了解，從定義到方程，從方程到性質(zhì)，從性質(zhì)到應(yīng)用. 雙曲線雖然和橢圓不同，但研究方法是

2、類似的，所以雙曲線的學(xué)習(xí)可以說是輕車熟路，但是，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注橢圓與雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系 .能力體系分析：本章對學(xué)生的運算能力要求較高，而這恰恰是許多學(xué)生的弱點，因此在教學(xué)過程中在培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、 轉(zhuǎn)化與劃歸能力的同時需著重關(guān)注學(xué)生的運算能力 .【教學(xué)目標】通過雙曲線軌跡的探索過程，體驗雙曲線的特征，探求總結(jié)雙曲線的定義；通過類比橢圓的標準方程，推導(dǎo)并掌握雙曲線的標準方程；通過對雙曲線概念和標準方程的探索，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和分析能力，激發(fā)學(xué)生探究事物運動規(guī)律，進一步認清事物的本質(zhì)特征的興趣.【教學(xué)重點】雙曲線的定義；雙曲線標準方程的兩種形式.【教學(xué)難點】雙曲線標準方程的推導(dǎo)方法及化簡過程

3、.【教具準備】多媒體投影儀，幾何畫板動畫【教學(xué)方法】采用啟發(fā)、探究式教學(xué) .【教學(xué)環(huán)節(jié)】教 學(xué)教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖環(huán) 節(jié)回顧初中時學(xué)( 一)習(xí)過的反比例函通過學(xué)生熟創(chuàng)數(shù)的圖像；教師引入，學(xué)生回憶初中所學(xué)悉的知識以及設(shè)觀察電廠的冷內(nèi)容；生活中的實例情卻塔圖片，它的軸多媒體展示圖片，學(xué)生觀察，讓學(xué)生感知雙境截面的外輪廓就實物感知雙曲線的形狀 .曲線的形狀，是雙曲線的一部教師引入課題，告知學(xué)生本節(jié)這樣的兩個例感分.課的學(xué)習(xí)目標、學(xué)習(xí)重點和學(xué)習(xí)子簡單、生動，知難點 . 這一段可由一名學(xué)生代表學(xué)生易于接圖閱讀 .受 .形教師手動演示雙曲線的形成過雙曲線是如何形成的？可以如何給雙曲線下定義？借助經(jīng)典的

4、( 二)拉鏈動畫，引導(dǎo)學(xué)動生總結(jié)動點在運畫動過程中的特征，演從而引入雙曲線示的定義 .，引入定義程，先演示靠近 F 2 的一支，由學(xué)充分調(diào)動學(xué)生的積極性，生總結(jié)動點特征 :突出學(xué)生的主MF1 MF 2 常數(shù).體地位，并且通過總結(jié)特征并解釋為什么有這樣的特征 :提高學(xué)生的語隨著拉鏈的閉攏和拉開，兩條線言表達能力，段減小或增加的量相等，所以差對圖形的認知值始終是同一個常數(shù) .能力 .再演示靠近 F1 的那一支，仍學(xué)生概述定義時往往會漏然由學(xué)生總結(jié)特征 :掉常數(shù)的范MF 2 MF1 常數(shù).圍，這個問題暫時保留，下接著，強調(diào)以上兩個常數(shù)是相一個環(huán)節(jié)來解等的，兩支曲線合在一起叫做雙決。曲線，引導(dǎo)學(xué)生把兩

5、個式子合二保留常數(shù)的為一: MF 1 MF2常數(shù) .范圍這一問題，由學(xué)生自并把數(shù)學(xué)式子轉(zhuǎn)化成自然語己發(fā)現(xiàn)，方能言，概述雙曲線的定義：平面內(nèi)印象更加深到兩個定點的距離的差的絕對值刻 .等于常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線. ( 此處暫時不說常數(shù)的范圍 .).教 學(xué)教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖環(huán) 節(jié)( 三)剖析定義，夯實基礎(chǔ)剖析定義中的要點： “平面內(nèi)”三個第一點教師做提醒；字容易漏掉，去掉后第二點要點撥學(xué)生去掉 “絕不嚴謹；對值”三個字后點的軌跡會是學(xué)生的表達由學(xué)生發(fā)現(xiàn)什么，學(xué)生慎重考慮后應(yīng)該能往往不嚴謹，“絕對值”三個字的夠找到正確答案 : 去掉絕對值“平面內(nèi)”這重要性；后軌跡變成了雙曲線的一支 .三個字

6、是很容常數(shù)是不是像之后教師提醒學(xué)生做題時需易被忽略的，橢圓中一樣有范圍限注意這一點；所以教師要強制？如果有的話，是第三點由學(xué)生分組去討論，調(diào).第二點學(xué)什么？為什么？然后派代表說明本組的討論生略作思考，剛才給出定義時結(jié)果，直至解決問題 , 得到結(jié)就能夠意識到?jīng)]有加上常數(shù)的范論：這三個字的重圍，定義敘述不完整，常數(shù)等于 F1F 2 時，點的要性；第三點所以現(xiàn)在要對定義進對學(xué)生而言最行補充，確保定義的軌跡是直線 F1F 2上以 F1、F2為困難，如果嚴謹性 . 最終雙曲線強硬給出的的定義為：為端點向外的兩條射線；話，學(xué)生被動平面內(nèi)到兩個定常數(shù)大于 F1F 2 時，點的接受，不利于學(xué)生的理解和點 F1

7、、 F 2 的距離的差掌握，所以我軌跡不存在；的絕對值等于常數(shù)采取小組討論（小于 F1 F2 ） 的點的常數(shù)等于 0 時，點的軌跡的做法，由學(xué)生自己得出范是線段 F1F2 的垂直平分線 .軌跡叫做雙曲線 .兩圍，加深學(xué)生個定點叫做雙曲線的以雙曲線和橢圓作比較， 兩對范圍的理焦點，兩焦點間的距類曲線中 a 和 c 的大小關(guān)系不解 .離叫做雙曲線的焦同，在橢圓中， ac 0, 而在距.通常情況下，焦距用 2c 表示，常數(shù)用雙曲線中， c a0.要提醒學(xué)2a 表示，顯然這里有生注意 .2c2a0.回顧橢圓的標準方程的推導(dǎo)步驟，推導(dǎo)雙曲線的標準方程 . 標準方程為x 2y21 .a 2b 2其中 a0

8、, b 0.學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過橢圓， 對橢圓的標準方程的推導(dǎo)過程印象比較深刻，用同樣的步驟推導(dǎo)雙曲線的標準方程：建系以直線 F1F2 為 x 軸，線段F1F2 的垂直平分線為y 軸建立平面直角坐標系 .設(shè)點設(shè)雙曲線上任意一點M 坐標 為 ( x, y) ， 焦 距為 2c, 則( 四)類比橢圓，推導(dǎo)方程橢圓的標準方程有兩種，雙曲線的方程在推導(dǎo)時也可以換一種建系方式，得到另一種形式的方程：y 2x2a2b21.其 中 a0,b 0.兩種形式的標準方程，應(yīng)該如何判斷焦點所在軸？學(xué)生思考并做答：在等式右邊是 1 或其它正常數(shù)時，焦點在系數(shù)為正數(shù)的軸上 . 這與橢圓判斷焦點所在軸的方法也不一樣，同樣要給學(xué)

9、生強調(diào).F1( c,0), F2 (c,0). 常 數(shù) 記 為2a .寫出限制條件MF 1MF 2 2a.列出等式( x a) 2y 2(x a)2y22a.化簡這一步由學(xué)生自己動手完成，并且找一個學(xué)生演板，最終化簡為x 2y21a2c 2a2像橢圓一樣，為了使雙曲線方程的形式更加簡潔， 結(jié)合ca0, 可設(shè) c2a2b2 , 其中 b 0 ( 意義講性質(zhì)時再涉及 ). 于是雙曲線的方程可化為 x 2y21. 這就是焦點在a 2b2x 軸上的雙曲線的標準方程，焦點坐標為 F1 ( c,0), F2 (c,0).雙曲線與橢圓標準方程中a、b、c 的關(guān)系不同，要給學(xué)生強調(diào)，這也是今后在做題過程中學(xué)生

10、易混淆的地方 .培養(yǎng)學(xué)生的運算能力 .通過雙曲線與橢圓的對比，學(xué)生可以加深對兩種曲線的理解 .( 五)例題講解例 1、已知雙曲線的焦點 F1( 5,0), F2(5,0), 雙曲線上一點到兩焦點的距離之差的絕對值等于 8，求雙曲線的標準方程 .對例題的條件進行修改，得到如下三個變式訓(xùn)練：1、已知 F1 (0, 5), F2(0,5), 動點 P 滿足PF1PF28. 求點P 的軌跡方程 .2、已知 F1 ( 5,0), F2例 1 難度系數(shù)不大，給學(xué)生適當?shù)臅r間，自己去做，一般情況下學(xué)生會在練習(xí)本本節(jié)課的重點上直接寫出本題的正確答就是雙曲線的定案，所以教師要通過投影給義及標準方程，而出規(guī)范的解

11、題步驟 .定義中的要點一三個變式均是對定義的考是絕對值，二是常查，如果學(xué)生對定義中的要數(shù)的范圍，設(shè)計例點理解到位，就可以順利地1 就是要使學(xué)生正把三個變式求解出來 .確把握定義，正確教師要強調(diào)雙曲線的一支理解定義 .方程和變式訓(xùn)練3 中兩條射線的方程應(yīng)如何表示，這是易錯點 .，學(xué)以致用(5,0),動點 P 滿足例 2 讓學(xué)生演PF1 PF2 8. 求點例 2 較之例 1 難度略大，板，體現(xiàn)了學(xué)生在計算量也稍大，所以要給學(xué)課堂上的主體作P 的軌跡方程 .生充分的思考時間 . 這道題用，兩種方法的對3、已知 F1 ( 5,0),F2由兩個學(xué)生演板，一般情況比會讓學(xué)生明白下學(xué)生會利用 c 6 和雙曲

12、線解題時技巧的重(5,0), 動點 P 滿足過點 M (2,5) 列方程求解，這要性，從而引導(dǎo)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中PF1 PF2 10.求一方法思路自然，運算較繁；一定要多動腦思有些數(shù)學(xué)程度較好并且善于考，不止為做題而點 P 的軌跡方程 .思考的同學(xué)會想到利用定義做題，一道題目有求出 MF1 MF 2 , 即 2a ，多種解法時，可權(quán)衡一下哪一種解例 2、已知雙曲線再利用 c6 即可求出 b, 從而法更有利于節(jié)省的焦點 F1( 0, 6), F2時間，提高效率 .雙曲線的方程得以求出，這(0,6), 且經(jīng)過點M一方法相對來講計算量較小，而且緊扣本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點 . 要給學(xué)生強調(diào)定義的(2, 5).

13、 求雙曲線的標重要性 .準方程 .1 、已知雙曲線的焦點在坐標軸上，a 7, b 3. 則雙曲線的標準方程為 .2、過雙曲線x 2y2教師通過投影打出三道題41左焦點( 六)3目，學(xué)生自己審題，動手計課F1的直線 交雙曲線算 . 然后教師提問學(xué)生回答堂自己計算得到的答案 :練的左支于 M、N 兩1 、 x 2y2習(xí)點， F2 為其右焦點，1或，499沙MF 2 NF2 MNy2x 2場1.499練的值等于.兵3、在 ABC 中，B2 、8.(4,0), C ( 4,0), 動 點3 、 x2y21( x 2).A 滿足 sin B sin C4121 sin A. 則 動 點 A2的軌跡方程為

14、.( 七)由學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的課收獲：堂雙曲線的定義；小請同學(xué)們回顧本節(jié)雙曲線的標準方程的兩結(jié)課我們所學(xué)習(xí)的主要種形式；，內(nèi)容 .雙曲線標準方程的求解整方法 .理學(xué)生敘述不完整或不準確收的地方，教師予以補充或糾獲正，同時提醒學(xué)生要牢記定義.學(xué)生動手去做，通過學(xué)生的做題狀況教師能夠看出學(xué)生對本節(jié)課知識點的掌握情況，三道練習(xí)題由淺入深，層層深入，使學(xué)生體會到學(xué)習(xí)的快樂和收獲 .第 3 題稍有難度，用到了正弦定理，有些學(xué)生可能會不明白為什么要有 x2, 這一點涉及到雙曲線的性質(zhì)，正好為學(xué)習(xí)雙曲線的性質(zhì)做鋪墊 .學(xué)生總結(jié)，加深理解，印象深刻，形成學(xué)生自己的認知結(jié)構(gòu) . 突出重點，抓住關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生的

15、概括能力 .( 八)課后課本第48 頁練習(xí)檢驗學(xué)生課內(nèi)作1、2；的掌握情況，并讓業(yè)課本第54 頁習(xí)題學(xué)生明白，學(xué)習(xí)不，2.2A 組 1、2；課下獨立完成，同學(xué)之間交流僅僅是課堂上的及自己動手制作表事，課下的時間自時格，列出橢圓與雙曲己要合理支配，科反線的區(qū)別和聯(lián)系 .學(xué)安排 .饋雙曲線及其標準方程一、雙曲線的定義學(xué)生演板：投MF1MF2常數(shù) .雙曲線標準方程的推導(dǎo)附：影MF2MF1常數(shù) .板即 MF1MF 2常數(shù).學(xué)生演板（兩名學(xué)生）：書儀設(shè)二、雙曲線的標準方程例 2 的求解過程計大x 2y21.a 2b 2屏y2x 21.a2b2幕其中， a0, b0.【教后心得】本章教材中的設(shè)計與老教材基本上沒有太大變化，可以說，任何一個有幾年教齡的高中教師，對本節(jié)課都是比較熟悉的，可是，要想講好這堂課，還是需要花費很大功夫 . 本節(jié)課我自認為有可取之處，簡述如下：課堂效果不錯， 學(xué)生熱情高漲， 能積極主動地思考并回答問題，和老師配合得很好；在講解定義的過程中，