連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性72783PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性72783一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則1.1.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理定理1 函數(shù)函數(shù)(x)與與g(x)在在x0 處連續(xù)處連續(xù),則則0( )(3) ( ()0)( )f xg xg x (1)( )( )f xg x (2)( )* ( ) f xg x都在都在x0 處連續(xù)處連續(xù).0lim ( )( )xxf xg x 00lim( )lim( )xxxxf xg x 00()().f xg x ( (利用極限的四則運(yùn)算法則證明利用極限的四則運(yùn)算法則證明) )xx cot,tan在其定義域內(nèi)

2、連在其定義域內(nèi)連續(xù)續(xù)連續(xù)連續(xù)xx cos,sin例如例如,第1頁(yè)/共14頁(yè)2. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = (x)在某個(gè)區(qū)間上在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)且連續(xù)單調(diào)且連續(xù), 則則其反函數(shù)其反函數(shù)y= f -1(x)在相應(yīng)區(qū)間上亦在相應(yīng)區(qū)間上亦單調(diào)且連續(xù)單調(diào)且連續(xù).例如例如,xysin 在在,22 上連續(xù)單調(diào)遞增，上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin 在在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.xey 在在),( 上連續(xù)上連續(xù) 單調(diào)單調(diào) 遞增遞增,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln 在在),0( 上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如又如, ,

3、:對(duì)稱對(duì)稱像關(guān)于直線像關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖直接函數(shù)與反函數(shù)的圖說明說明xy .,可反映出來可反映出來單調(diào)和連續(xù)性從圖像上單調(diào)和連續(xù)性從圖像上單值單值)(證明從略證明從略第2頁(yè)/共14頁(yè),)(,)(lim點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在設(shè)設(shè)auufaxg :則下面的公式成立則下面的公式成立.)(lim)(limxgfxgf.lim可交換可交換與與即即f. )48(P可參考可參考證明略證明略,)()(lim:00axgxgxx 設(shè)設(shè)推論推論, )()(limafufau )(lim0 xgfxx則則f)(limxgxx0)(0 xgf:推論表明推論表明.連續(xù)的連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是

4、*)(0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在xg)(點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在af定理定理3第3頁(yè)/共14頁(yè),)(,)(lim0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在設(shè)設(shè)auufaxgxx .)(lim:0fxgfxx 證明證明)(limxgxx0.證證 .)(,0 afxgf欲證欲證,)(點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在auuf , 對(duì)于正數(shù)對(duì)于正數(shù),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) au .成立成立 afuf,)(limaxgxx0, 對(duì)于正數(shù)對(duì)于正數(shù),0,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,)(成立成立 axg .)(成立成立 afxgf)()(limafxgfxx0.f)(limxgxx0第4頁(yè)/共14頁(yè)例如例如,xy1sin 是由連續(xù)函數(shù)鏈?zhǔn)怯蛇B續(xù)函數(shù)鏈),(,sin uuy,1xu *

5、R x因此因此xy1sin 在在*R x上連續(xù)上連續(xù) .復(fù)合而成復(fù)合而成 ,xyoxy1sin .),0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在其定義域在其定義域冪函數(shù)冪函數(shù) xy,. xy 證證,lnlnxy ,ln xey ,ln的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)與與為兩個(gè)連續(xù)函數(shù)為兩個(gè)連續(xù)函數(shù)xueyu .),0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在所以所以 xy.1例例第5頁(yè)/共14頁(yè)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)復(fù)合后仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)復(fù)合后仍連續(xù)定理定理: 一切初一切初等函數(shù)在等函數(shù)在定義定義區(qū)間區(qū)間內(nèi)內(nèi)連續(xù)連續(xù)例如例

6、如,21xy的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域?yàn)閆nnx,2因此它無連續(xù)點(diǎn)而第6頁(yè)/共14頁(yè):定定理理是是我我們們?cè)认任次丛C證明明的的重重要要定定理理的的直直接接結(jié)結(jié)果果就就則則有有定定義義是是初初等等函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè),)(,)(0 xfxf)()(lim00 xfxfxx xxxsinlnlim0) .ln0(是是連連續(xù)續(xù)的的時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)uu xxxsinlimln01ln.0例例2 2第7頁(yè)/共14頁(yè)例例3. 求求.)1(loglim0 xxax 解解: 原式原式xxax1)1(loglim0 ealog al

7、n1 例例4. 求求.1lim0 xaxx 解解: 令令,1 xat則則, )1(logtxa 原式原式)1(loglim0ttat aln 說明說明: 當(dāng)當(dāng), ea 時(shí)時(shí), 有有0 x)1ln(x 1 xexx)1(lim(log10 xxxa 1)1ln(lim:0 xxx特別地特別地11lim:0 xexx特別地特別地第8頁(yè)/共14頁(yè)例例5. 求求.)21(limsin30 xxx 解解:原式原式ex0lim )21ln(sin3xx exx30lim6e 說明說明: 若若,0)(lim0 xfxx則有則有 )()(1lim0 xgxxxf,)(lim0 xgxxe )(1ln)(lim

8、0 xfxgxx e)()(lim0 xgxfxxx2xxxesin)21ln(3lim0 aealn: 轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換ababeeablnln 經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)公公式式推推導(dǎo)導(dǎo) )01(第9頁(yè)/共14頁(yè)11313lim xxxx )01(11321lim xxx.32ee )()(limxgxfx e 13)1(2lim xxx例例6第10頁(yè)/共14頁(yè).7例例,)(lim,0)(lim00gxGfxFxxxx 設(shè)設(shè).)(lim)(lim)(lim)(000 xGxxxGxxxxxFxF 則則,0)(,)(.0 xFxU內(nèi)內(nèi)在在證證.0,)()( yxFyxG且且有意義有意義)(ln)(lim)(00)(l

9、imxFxGxGxxxxexF 則則)(lnlim)(lim00 xFxGxxxxe 乘法原則乘法原則fgeln gfeln gf .)(lim)(lim00 xGxxxxxF 第11頁(yè)/共14頁(yè))(lim)()(lim)(limxGxxxGxxxxxFxF000同時(shí)同時(shí)的極限可在底和指數(shù)上的極限可在底和指數(shù)上求冪指函數(shù)求冪指函數(shù))()(xGxFy .)( ,存存在在如如果果底底和和指指數(shù)數(shù)的的極極限限都都取取極極限限.中可以應(yīng)用中可以應(yīng)用此結(jié)論在解題此結(jié)論在解題 xxxcot20tan31lim xxxxxcottantantanlim223312031)(01xxxxxxcottanlimtantanlim2023312031xyyxytanlim)(lim310010e.1例例8第12頁(yè)/共14頁(yè).)0(, )(,.1仍連續(xù)仍連續(xù)除式除式商商乘方乘方積積差差連續(xù)函數(shù)的和連續(xù)函數(shù)的和 .2調(diào)連續(xù)的反函數(shù)調(diào)連續(xù)的反函數(shù)單調(diào)的連續(xù)函數(shù)存在單單調(diào)的連續(xù)函數(shù)存在單:lim,.3可交換可交換與與連續(xù)時(shí)連